Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 2 Mục lụcMục lụcMở đầu ii1 Một số bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác tronghình học phẳng 11.1 Bất đẳng thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác trong hình h
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NHẬT TÂN ĐỀ ÁN THẠC SĨ TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Khoá: 24 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Bình Định - Năm 2023 Mục lục Mục lục Mở đầu ii 1 Một số bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác trong hình học phẳng 1 1.1 Bất đẳng thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác trong hình học phẳng 2 1.1.1 Bất đẳng thức giữa các cạnh 2 1.1.2 Bất đẳng thức liên quan đến các giá trị lượng giác của các góc 10 1.1.3 Bất đẳng thức liên quan đến các đường đặc biệt trong tam giác 15 1.2 Bất đẳng thức liên quan đến diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác trong hình học phẳng 20 1.2.1 Bất đẳng thức liên quan đến diện tích tam giác 20 1.2.2 Bất đẳng thức của bán kính các đường tròn đặc biệt của tam giác 26 1.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến điểm bất kỳ và tam giác 34 1.4 Một số bài toán chọn lọc thi học sinh giỏi các cấp trong hình học phẳng 44 2 Một số bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tứ giác trong hình học phẳng 62 2.1 Bất đẳng thức liên quan đến cạnh và góc trong tứ giác trong hình học phẳng 62 2.2 Bất đẳng thức liên quan đến diện tích tứ giác trong hình học phẳng 70 2.3 Một số bài toán chọn lọc thi học sinh giỏi các cấp trong hình học phẳng 82 i Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89 ii Mở đầu Bất đẳng thức hình học là một trong những chủ đề quan trọng nhất của toán cao cấp lẫn toán sơ cấp Ở chương trình toán bậc phổ thông, rất dễ bắt gặp các bài toán bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố hình học như tam giác, tứ giác, đa giác, hình tròn, Các bất đẳng thức hình học cũng là các bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi chọn học sinh giỏi và Olympic toán học các cấp Đề án nhằm nghiên cứu và trình bày một cách hệ thống các dạng toán về bất đẳng thức hình học trong tam giác và tứ giác bao gồm các bất đẳng thức liên quan đến cạnh, góc, diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp và các đường đặc biệt trong tam giác và đa giác Ngoài ra Đề án còn giới thiệu một số đề thi học sinh giỏi các cấp có liên quan đến bất đẳng thức hình học Đề án sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học sinh phổ thông muốn tìm hiểu sâu về các bất đẳng thức hình học và những ứng dụng của chúng trong giải toán Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương, người luôn nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện để tôi có thể hoàn thành Đề án này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Khoa Toán và Thống kê, Phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học ngành Phương pháp Toán sơ cấp khóa 24 Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tôi học thạc sĩ cũng như hoàn thành đề án này Trong thời gian ngắn hoàn thành đề án, chắc chắn không tránh được được những sai sót cũng như thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý, phê bình quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp Bình Định, tháng 11 năm 2023 Học viên Nguyễn Nhật Tân iii Chương 1 Một số bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác trong hình học phẳng Trong chương này, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức hình học liên quan đến các yếu tố cơ bản trong tam giác và các bài toán bất đẳng thức hình học trong đề thi học sinh giỏi các cấp Đầu tiên ta cần lưu ý về một số ký hiệu được dùng trong Đề án này Cho trước tam giác ABC, chúng tôi ký hiệu các yếu tố trong tam giác như sau 1 a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB 2 ma, mb, mc lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến hạ từ các đỉnh A, B, C 3 ha, hb, hc lần lượt là độ dài của các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C 4 ℓa, ℓb, ℓc lần lượt là độ dài của các đường phân giác hạ từ các đỉnh A, B, C 5 R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp 6 r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp 7 ra, rb, rc lần lượt là độ dài bán kính của của các đường tròn bàn tiếp đối diện với các đỉnh A, B, C 8 p = a+b+c là nửa chu vi 2 1 9 Khi không có giải thích gì thì ta hiểu S là diện tích của tam giác ABC 10 SH là diện tích của hình H 1.1 Bất đẳng thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác trong hình học phẳng 1.1.1 Bất đẳng thức giữa các cạnh Đầu tiên là một số bất đẳng thức về cạnh và các giá trị lượng giác của góc Định lý 1.1 (Bất đẳng thức tam giác, [10]) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c Khi đó |c − b| < a < c + b Chứng minh A B H C Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh BC Khi đó áp dụng bất đẳng thức giữa đường xiên và đường vuông góc ta được BH ≤ BA, (Dấu "=" xảy ra khi A ≡ H), CH ≤ C A, (Dấu "=" xảy ra khi A ≡ H) Cộng hai về của bất đẳng thức lại ta được BH + CH ≤ BA + CA, điều này tương đương với BC ≤ BA + CA 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi A trùng với H, điều này dẫn đến A, B, C thẳng hàng, mâu thuẫn Do đó BC < BA + CA Tương tự ta cũng chứng minh được các bất đẳng thức CA < BC + AB và AB < CA + BC Từ đó ta suy ra được CA − AB < BC , AB − CA < BC điều này chứng tỏ |AB − CA| < BC Bài toán 1.1 ([10]) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh rằng AB + AC − BC < AM < AB + AC 2 2 Chứng minh Áp dụng Định lý 1.1 cho các tam giác ABM và ACM ta được AM > AB − BM và AM > AC − CM , suy ra 2AM > AB + AC − (BM + CM ) = AB + AC − BC Từ đó ta được AM > AB + AC − BC 2 Gọi D là điểm đối xứng của A qua M Khi đó ABDC là hình bình hành nên AB = CD Xét tam giác ACD, ta có AD < AC + CD = AC + AB Suy ra 2AM < AB + AC, do đó AM < AB + AC 2 3 Bài toán 1.2 Cho tam giác ABC có AC > AB, tia phân giác góc A cắt BC tại D, E là một điểm nằm trên đoạn thẳng AD Chứng minh rằng AC − AB > EC − EB Chứng minh Trên AC lấy điểm K sao cho AK = AB Khi đó △AEB = △AEK (c.g.c) nên EB = EK Xét tam giác EKC, ta có KC > EC − EK, do đó AC − AB > EC − EK Bài toán 1.3 (Định lý Pompiu, [10]) Cho tam giác đều ABC và một điểm M bất kỳ Chứng minh trong ba đoạn thẳng M A, M B, M C, mỗi đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh M A + M B ≥ M C Gọi N là ảnh của M qua phép quay tâm B góc quay −600, khi đó tam giác BM N là tam giác đều Lại có C cũng là ảnh của A qua phép quay tâm B này nên ta suy ra 4 MA = NC Xét tam giác M N C (có thể suy biến), ta có M N + N C ≥ M C, do đó MA + MB ≥ MC Bài toán 1.4 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm là H Chứng minh rằng 2 HA + HB + HC < (AB + BC + CA) 3 Chứng minh Dựng đường thẳng qua H song song với AB cắt AC tại D Dựng đường thẳng qua H song song AC cắt AB tại E Tứ giác AEHD là hình bình hành nên AD = HE, AE = HD Xét tam giác AHD ta có HA < HD + AD ⇔ HA < AE + AD (1.1) Vì HE ∥ AC mà AC ⊥ BH ⇒ HE ⊥ BH Trong tam giác vuông HBE ta có HB < BE (1.2) Tương tự ta có HC < DC (1.3) 5 Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1.1),(1.2),(1.3),ta suy ra HA + HB + HC < (AE + EB) + (AD + DC) = AB + AC Tương tự ta cũng có HA + HB + HC < AC + BC, HA + HB + HC < AB + BC Suy ra 2 HA + HB + HC < (AB + BC + CA) 3 Bài toán 1.5 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c Chứng minh rằng 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)2 < 4(ab + bc + ca) Chứng minh Dựa vào bất đẳng thức AM-GM, ta có a2 + b2 ≥ 2ab, b2 + c2 ≥ 2bc, c2 + a2 ≥ 2ca Cộng các bất đẳng thức lại ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca, cộng 2 vế cho 2(ab + bc + ca) ta thu được (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Bây giờ ta sẽ chứng minh (a + b + c)2 < 4(ab + bc + ca), điều này tương đương với việc chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Thật vậy do a, b, c là độ dài các cạnh tam giác nên ta có a < b + c, suy ra a2 < a(b + c) Tương tự ta cũng có b2 < a(c + a), c2 < c(a + b) Cộng các bất đẳng thức lại với nhau ta có được điều cần chứng minh Bài toán 1.6 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng a + b + c < 2 b+c c+a a+b 6