Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyễn Thu Hà và PGS.TS Đinh Thanh Đức trong thời gian qua.Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là phântích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ rà
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————– NGUYỄN THỊ THANH HOA THUẬN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ————————– NGUYỄN THỊ THANH HOA THUẬN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN THU HÀ PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC LỜI CAM ĐOAN Đề tài “Một số bất đẳng thức trên thang thời gian” tôi xin cam đoan là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thu Hà và PGS.TS Đinh Thanh Đức trong thời gian qua Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là phân tích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng đã được trích dẫn cụ thể trong quá trình thể hiện nội dung và chưa được công bố dưới bất kỳ hình thức nào Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nếu có sự không trung thực trong thông tin sử dụng trong kết quả nghiên cứu này Ngày 28 tháng 11 năm 2023 Học viên Nguyễn Thị Thanh Hoa Thuận LỜI CẢM ƠN Đế án này được thực hiện tại Khoa Toán và thống kê, trường Đại học Quy Nhơn và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thu Hà và PGS TS Đinh Thanh Đức Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài đề án này Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Ban chủ nhiệm khoa Toán và thống kê cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp và người thân đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Quy Nhơn thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn! Quy Nhơn, ngày 28 tháng 11 năm 2023 Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh sách các ký hiệu Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian 5 1.2 Hàm hồi quy, hàm chính quy và hàm liên tục 7 1.3 Đạo hàm Delta trên thang thời gian 8 1.4 Tích phân Delta trên thang thời gian 10 1.4.1 Độ đo ∆ trên thang thời gian 10 1.4.2 Tích phân Delta trên thang thời gian 11 1.5 Hàm mũ trên thang thời gian 13 2 Một số bất đẳng thức cổ điển trên thang thời gian 16 2.1 Bất đẳng thức Ho¨lder 16 2.1.1 Bất đẳng thức H¨older trên thang thời gian 17 2.1.2 Mở rộng của bất đẳng thức H¨older cho nhiều thừa số 20 2.1.3 Mở rộng bất đẳng thức Ho¨lder cho số mũ âm 25 2.1.4 Mở rộng bất đẳng thức Ho¨lder cho tích phân có trọng số 28 2.1.5 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 31 2.2 Bất đẳng thức Minkowski 32 2.2.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng cổ điển 32 2.2.2 Một số dạng mở rộng của bất đẳng thức Minkowski 34 2.2.3 Bất đẳng thức tích phân Minkowski ngược 40 2.3 Bất đẳng thức Jensen 41 3 Bất đẳng thức Hardy trên thang thời gian và ứng dụng 46 3.1 Bất đẳng thức Hardy 46 3.2 Ứng dụng của bất đẳng thức Hardy trong phương trình vi phân 65 Kết luận và kiến nghị 68 Danh sách các ký hiệu N, R = Tập tất cả các số tự nhiên, số thực T = Thang thời gian Tk = T \ {M } nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái; bằng T trong các trường hợp còn lại Tt0 = {t ∈ T : t ⩾ t0} Crd(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là rd-liên tục Cr+d(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là dương và rd-liên tục R(Tk, R) = Tập tất cả các hàm hồi quy, xác định trên T R+(Tk, R) = Tập tất cả các hàm hồi quy dương, xác định trên T CrdR(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là rd-liên tục và hồi quy GL(Rm) = Tập các tự đẳng cấu tuyến tính của không gian Rm Km×n = Tập tất cả các m × n−ma trận có các phần tử thuộc K L(X) = Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X Ln = Nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [−iπ, iπ) Lloc p Tt0, Rn = Tập các hàm f : Tt0 → Rn khả tích địa phương bậc p trên Tt0 1 Lời mở đầu Bất đẳng thức là một trong những chủ đề quan trọng của toán học, nó không chỉ là một phần kiến thức nền rất quan trọng, một loại bài toán hay và khó có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập ở chương trình Toán học phổ thông mà còn được sử dụng nhiều trong toán học hiện đại để ước lượng, đánh giá nghiệm hệ động lực, Bất đẳng thức có hai dạng: dạng rời rạc ứng với thang thời gian rời rạc liên quan đến các dãy số và dạng liên tục liên quan đến liên quan đến tích phân trên đường thẳng thực hoặc trong không gian Cách trình bày và các chứng minh các kết quả của hai dạng này trong nhiều trường hợp khá tương tự nhau Từ đó, nảy sinh ý tưởng thống nhất các sự trình bày của hai loại này thành bất đẳng thức trên thang thời gian nói chung Ngoài ra, việc sử dụng bất đẳng thức có trong hầu hết các bài toán nghiên cứu, đánh giá nghiệm của hệ động lực dưới rời rạc và liên tục Trong toán sơ cấp, nó cũng là chủ đề dành được rất nhiều sự quan tâm của học sinh và giáo viên phổ thông Có rất nhiều sách và tài liệu tham khảo viết về bất đẳng thức hay như của các tác giả trong và ngoài nước như R.Bellman, E.Beckenbach [2] và B G.Pachpatte [7], tác giả Nguyễn Vũ Lương hay Phan Huy Khải, 2 Mặt khác, trong những năm gần đây, lý thuyết về thang thời gian, với cái tên “Giải tích trên thang thời gian”, được Stefan Hilger giới thiệu nghiên cứu của mình nhằm thống nhất giải tích liên tục và rời rạc [6] Ngay khi lý thuyết này ra đời, nó đã nhận được rất nhiều sự quan tâm Cho đến nay, có rất nhiều sách và bài báo viết về phương trình động lực trên thang thời gian như [1], [3],[4], Nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được "chuyển" và làm "tổng quát" cho thang thời gian Đây là bài toán đáng được quan tâm và cũng đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này như [5] Bản đề án này cũng nghiên cứu về bất đẳng thức trên thang thời gian nhằm thống nhất cách trình bày bất đẳng thức dạng rời rạc và liên tục cũng như phát triển chúng thành các bất đẳng thức tổng quát hơn Thông qua đó, ta cũng thấy được vai trò của nó trong toán học hiện đại và toán học phổ thông Đề án bao gồm ba chương với nội dung cụ thể như sau Chương 1 ta trình bày về thang thời gian, giải tích trên thang thời gian với các định nghĩa và tích chất của đạo hàm, tích phân và hàm mũ trên thang thời gian Nội dung chính của chương này được dựa trên tài liệu [3] Trong chương 2, ta phân tích, tổng hợp và đưa ra các chứng minh về các bất đẳng thức cổ điển trên thang thời gian như bất đẳng thức Holder, Mincopski, Jensen, ta cũng phân tích để thấy rõ mối liên hệ của các bất đẳng thức đó trên các thang thời gian khác nhau như thời gian rời rạc T = Z , thời gian liên tục khi T = R và một số thang thời gian khác dựa trên tài liệu [5] Cuối cùng, ở chương 3, ta trình bày về bất đẳng thức Hardy trên thang thời gian và