Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trang 3 Tôi xin cam đoan đề án Hàm Polygamma, hàm Zeta và một sốứng dụng là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân, được thực hiệndưới sự hướng dẫn k
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGUYỄN THỊ HOA Đề tài HÀM POLYGAMMA, HÀM ZETA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐỀ TÀI THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ HOA Đề tài HÀM POLYGAMMA, HÀM ZETA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8242592007 Khóa 24 (2021-2023) Người hướng dẫn: TS LÊ VĂN AN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề án Hàm Polygamma, hàm Zeta và một số ứng dụng là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Văn An, giảng viên trường Đại học Quy Nhơn Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong luận văn đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham khảo và trích dẫn cụ thể trong quá trình thể hiện nội dung Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nếu có sự không trung thực về các thông tin sử dụng trong quá trình hoàn thành đề án này Tác giả Nguyễn Thị Hoa Lời cảm ơn Trong quá trình xây dựng đề cương và hoàn thành đề án thạc sĩ, tôi đã nhận được rất nhiều sự động viên, khuyến khích và giúp đỡ để có thể thuận lợi đạt được kết quả mong muốn Do vậy, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô và các đơn vị phòng ban của phòng Đào tạo sau đại học tại Trường Đại học Quy Nhơn đã luôn luôn theo dõi và tạo điều kiện trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu tại đây Hơn hết là lời tri ân sâu sắc đến quý Thầy, Cô giáo của khoa Toán và Thống kê ; quý Thầy, Cô là giảng viên thỉnh giảng đã trực tiếp giảng dạy các chuyên đề, giúp tôi có được nền tảng kiến thức vững chắc để hoàn thiện đề án này Đặc biệt, cho phép tôi được bày tỏ sự trân quý và biết ơn sâu sắc nhất đến TS Lê Văn An, giảng viên hướng dẫn trực tiếp của tôi Xin phép được cảm ơn Thầy vì sự hướng dẫn tận tình và chu đáo, luôn sẵn sàng lắng nghe và dẫn dắt tôi đi đúng hướng trong vấn đề nghiên cứu của mình Bên cạnh đó, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn hỗ trợ và khuyến khích tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết đề án này Với thời gian nghiên cứu còn hạn chế, đề án không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được các ý kiến, đóng góp chân thành từ quý Thầy, Cô giáo; đồng nghiệp và bạn bè Xin chân thành cảm ơn Quy Nhơn, tháng 10 năm 2023 Tác giả Nguyễn Thị Hoa Mục lục Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt i Mở đầu 1 1 Kiến thức cơ sở 2 1.1 Lý thuyết chuỗi 2 1.1.1 Chuỗi số 2 1.1.2 Chuỗi hàm 3 1.2 Tích phân suy rộng 6 1.2.1 Một số định nghĩa 6 1.2.2 Một số tính chất 7 1.3 Tích phân phụ thuộc tham số 8 1.3.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 8 1.3.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 9 1.4 Hàm Gamma 10 1.5 Số Bernoulli 12 2 Hàm Polygamma 13 2.1 Hàm Polygamma 13 2.1.1 Định nghĩa 13 2.1.2 Đồ thị 14 2.1.3 Một số tính chất 14 2.1.4 Một số giá trị đặc biệt 19 2.2 Ứng dụng 22 2.2.1 Tính tích phân 22 2.2.2 Tính tổng 34 2.2.3 Bài toán tương tự 41 3 Hàm Zeta 43 3.1 Hàm Rimeman Zeta 43 3.1.1 Định nghĩa 43 3.1.2 Đồ thị 44 3.1.3 Một số định lí và tính chất 44 3.1.4 Một số giá trị đặc biệt 48 3.2 Ứng dụng 48 3.2.1 Tính tích phân 48 3.2.2 Tính tổng 57 3.2.3 Bài toán tương tự 65 Tài liệu tham khảo 68 Một số kí hiệu viết tắt Γ(z) Hàm Gamma ψ(n) Hàm Polygamma ζ(s) Hàm Zeta Bj Số Bernoulli β(p, q) Hàm Beta Re z Phần thực của số phức z ln(x) Logarit tự nhiên của x γ Hằng số Euler i MỞ ĐẦU Tích phân và tổng chuỗi là những vấn đề cơ bản nhất của Toán học, là công cụ đắc lực để nghiên cứu toán và có rất nhiều ứng dụng trong đời sống Do đó, việc nghiên cứu về tích phân và tổng chuỗi đã và đang thu hút được sự quan tâm của đông đảo người giảng dạy Toán từ phổ thông đến đại học, cũng như nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu Toán Một trong những công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu tích phân và tổng chuỗi là các hàm đặc biệt, mà đại diện nổi tiếng nhất là hàm Gamma và hàm Beta Các hàm này đã được các nhà toán học như Euler, Legendre, Laplace, Gauss, Riemann, nghiên cứu từ rất lâu và đạt được khối kiến thức đồ sộ, sâu và rộng Trong những năm gần đây, hàm Polygamma, hàm Zeta đã và đang là chủ đề được các nhà toán học quan tâm Việc tìm hiểu các kết quả về hàm Polygamma và Zeta, đặc biệt là tìm hiểu ứng dụng của chúng trong việc tính tổng và tính tích phân, hai vấn đề thường gặp trong Toán phổ thông, là rất bổ ích và cần thiết cho việc giảng dạy và nghiên cứu Toán ở phổ thông Do đó, học viên đã chọn đề tài “Hàm Polygamma, hàm Zeta và một số ứng dụng” để nghiên cứu cho đề án tốt nghiệp thạc sĩ của mình Trong đề án này, chương 1 tôi trình bày các định nghĩa, tính chất liên quan đến chuỗi bao gồm chuỗi số và chuỗi hàm; một số vấn đề liên quan đến tích phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số; hàm Gamma và số Bernoulli Nội dung trình bày chính tập trung ở chương 2, chương 3 đó là định nghĩa, tính chất và một số ứng dụng của hàm Polygamma, hàm Zeta vào tính tích phân và tổng chuỗi thường gặp ở chương trình phổ thông 1 Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, tôi trình bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau Các vấn đề về chuỗi số, chuỗi hàm, tích phân suy rộng, tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cũng được nhắc lại Ta cũng sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa và các tính chất của hàm Gamma Phần cuối chương tôi đưa ra định nghĩa và một số giá trị cụ thể của số Bernoulli Tài liệu tham khảo chính chủ yếu từ [1], [2], [4], [5] 1.1 Lý thuyết chuỗi 1.1.1 Chuỗi số Định nghĩa 1.1 Cho trước một dãy số {un} Kí hiệu hình thức (1.1) ∞ u1 + u2 + u3 + · · · + un + · · · = un n=1 được gọi là một chuỗi số (đôi khi ta gọi tắt là chuỗi) Ta định nghĩa dãy số {Sn} cho bởi S1 = u1, S2 = u1 + u2, , Sn = u1 + u2 + · · · + un, và gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1) Đại lượng Sn được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi 2 3 Định nghĩa 1.2 Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ và có tổng là S nếu dãy tổng riêng {Sn} hội tụ đến S Khi đó ta viết ∞ un = S n=1 Ngược lại, nếu dãy tổng riêng {Sn} phân kỳ, ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ ∞ Định lí 1.3 (Điều kiện cần cho một chuỗi tụ) Nếu chuỗi un hội tụ n=1 thì lim un = 0 Ngược lại nói chung không đúng n→∞ ∞ ∞ Định lí 1.4 (Các phép toán) Cho hai chuỗi un và vn và số thực n=1 n=1 c̸ = 0 Khi đó ∞ ∞ ∞ i) Nếu hai chuỗi un và vn hội tụ thì các chuỗi (un ± vv) và ∞ n=1 n=1 n=1 (cun) cũng hội tụ và hơn nữa n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ (un ± vv) = (un) ± (vn) , (cun) = c (un) n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ii) Nếu chuỗi un phân kỳ thì chuỗi (cun) cũng phân kỳ n=1 n=1 1.1.2 Chuỗi hàm Như cách thức định nghĩa chuỗi số, chuỗi hàm cũng được định nghĩa thông qua dãy hàm Tức là, fn : D → R là một dãy hàm thì ký hiệu hình thức ∞ f1 + f2 + f3 + · · · + fn + · · · = fn n=1 được gọi là một chuỗi hàm Như vậy đối với chuỗi hàm ta cũng có các khái niệm hội tụ điểm và hội đều theo định nghĩa sau