Đang tải... (xem toàn văn)
Sở dĩ chúng được gọi như vậy vì những tính chấtđặc trưng của chúng thường được ứng dụng rất nhiều trong toán học cũngnhư những lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác, đặc biệt là vật lý lý thuy
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LÊ HẠNH NHI HÀM GAMMA, HÀM BETA VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN LÊ HẠNH NHI HÀM GAMMA, HÀM BETA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - Năm 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trong đề án " Hàm Gamma, hàm Beta và ứng dụng" là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đinh Thanh Đức Các nội dung và kết quả sử dụng trong đề án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày 15 tháng 10 năm 2023 Tác giả Nguyễn Lê Hạnh Nhi i Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Hàm Gamma và hàm Beta 5 1.1 Hàm Gamma 5 1.1.1 Định nghĩa 6 1.1.2 Định nghĩa hàm Gamma cho các giá trị nguyên âm 9 1.1.3 Một số tính chất của hàm Gamma 11 1.1.4 Định lý Bohr- Mollerup 18 1.2 Hàm Beta 20 1.2.1 Định nghĩa 21 1.2.2 Một số tính chất của hàm Beta 21 2 Một số ứng dụng của hàm Gamma và Beta 25 2.1 Công thức phản xạ Euler 25 2.2 Đánh giá một số tích phân qua hàm Gamma và Beta 34 2.2.1 Tích phân Wallis 36 2.2.2 Tích phân Raabe 37 2.2.3 Ứng dụng tính một số tích phân suy rộng và xác định 38 2.3 Hàm Hurwitz và Riemann zeta 43 2.4 Công thức Stirling 49 2.5 Biểu diễn tích phân của ln Γ(x) và ψ(x) 52 2.6 Khai triển Fourier cho ln Γ(x) của Kummer 56 2.7 Tích phân Dirichlet và thể tích Ellipsoids 62 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 1 MỞ ĐẦU Việc khám phá và tìm hiểu ứng dụng của các hàm đặc biệt vào cuộc sống là vấn đề nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của giới khoa học trong nhiều thập kỷ qua Nhà toán học Paul Turán gọi chung các hàm đặc biệt là "hàm hữu ích" Sở dĩ chúng được gọi như vậy vì những tính chất đặc trưng của chúng thường được ứng dụng rất nhiều trong toán học cũng như những lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác, đặc biệt là vật lý lý thuyết Một trong số các hàm đặc biệt đó là hàm Gamma và hàm Beta Hàm Gamma là sự mở rộng miền xác định của hàm giai thừa cho tất cả các số thực và số phức Do đó hàm Gamma là một hàm phân hình tương ứng với (x − 1)! với x là số nguyên dương Hàm Gamma có rất nhiều ứng dụng cực kì quan trọng trong lý thuyết xác suất, tổ hợp, thống kê và cơ học lượng tử, vật lý chất rắn, vật lý hạt nhân Đồng thời, trong nỗ lực kéo dài hàng thập kỷ nhằm thống nhất cơ học lượng tử với lý thuyết tương đối, hàm Gamma cũng góp phần cho sự phát triển của lý thuyết hấp dẫn lượng tử- mục tiêu của lý thuyết dây Vấn đề mở rộng hàm giai thừa cho các số không nguyên đã được Daniel Bernoulli và Christian Goldbach xem xét lần đầu tiên vào những năm 1720 và được Leonard Euler giải quyết vào cuối thập kỷ đó Hàm Gamma có 3 dạng định nghĩa khác nhau Euler đã đưa ra hai định nghĩa và Gauss đã phát triển hàm thành 1 định nghĩa khác Định nghĩa thứ nhất được Euler viết dưới dạng tích vô hạn và ông đã thông báo cho Goldbach trong một lá thư vào ngày 13 tháng 10 năm 1729 Ông lại viết thư cho Goldbach vào ngày 8 tháng 01 năm 1930 để công bố khám phá của mình về biểu diễn tích phân Đó là dạng định nghĩa thứ hai của hàm Gamma [3] Euler còn khám phá thêm một số tính chất quan trọng của hàm Gamma, đặc biệt 2 là công thức phản xạ Carl Friedrich Gauss đã viết lại tích của Euler và sau đó sử dụng công thức của ông để khám phá những tính chất mới của hàm Gamma Mặc dù Euler là người tiên phong trong lý thuyết của hàm biến phức nhưng dường như ông chưa xét đến giai thừa của một số phức như Gauss đã làm Gauss cũng chứng minh định lý nhân của hàm Gamma và nghiên cứu mối liên hệ giữa hàm Gamma và tích phân elipsoid Nhà toán học Karl Weierstrass cũng đã xác lập thêm vai trò của hàm Gamma trong giải tích phức, bắt đầu từ việc đưa ra biểu diễn khác của hàm Gamma e−γx ∞ −1 Γ(x) = x x x k=1 1+ ek k trong đó γ là hằng số Euler Đầu tiên, Weierstrass viết dạng tích của hàm 1 được lấy trên các không điểm chứ không phải là cực điểm của nó Γ(x) Tên của hàm Gamma và ký hiệu Γ của nó được Adrien- Marie Legendre giới thiệu vào khoảng năm 1811 Ký hiệu "hàm Pi" thay thế Π(z) = z! của Gauss đôi khi bắt gặp trong văn học cổ, nhưng ký hiệu của Legendre lại chiếm ưu thế trong các tác phẩm hiện đại.[3] Còn đối với hàm Beta, thay vì xem nó như một hàm, sẽ sáng tỏ hơn khi ta xem xét hàm Beta dưới dạng một lớp các tích phân mà các tích phân đó có thể được đánh giá theo hàm Gamma Do đó, ta thường gọi các hàm Beta là tích phân Beta [1] Hàm Gamma được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý lượng tử, cơ học thống kê và động lực học chất lưu Lý do chính khiến hàm Gamma trở nên hữu ích là do sự phổ biến của các biểu thức dạng f (t)e−g(t) mô tả các quá trình phân rã theo cấp số nhân theo thời gian hoặc không gian Tích phân của các biểu thức như vậy thường có thể được giải bằng hàm Gamma khi không thể sử dụng những phương pháp sơ cấp [3] Ví dụ, nếu f là hàm lũy thừa và g là hàm tuyến tính thì nhờ sự thay đổi đơn giản của các biến ta sẽ nhận được ∞ Γ(b + 1) b −at t e dt = b+1 0 a Công thức xấp xỉ Stirling có thể được chứng minh nhờ hàm Gamma 3 Trong toán học, xấp xỉ Stirling là phép tính gần đúng cho giai thừa và dẫn đến kết quả chính xác ngay cả đối với các giá trị nhỏ của n Đề án cũng trình bày cách chứng minh công thức phản xạ tuyệt đẹp của hàm Gamma được tìm thấy bởi Euler Và công thức phản xạ này dùng để kết nối hàm Gamma với các hàm lượng giác [1] Từ đánh giá của Jacobi và Poisson đối với tích phân kép của hàm Beta, Dirichlet đã tìm ra sự mở rộng của tích phân Beta sang không gian nhiều chiều Nhờ vậy, hàm Gamma và Beta có thể được sử dụng để tính diện tích và thể tích Đồng thời, chúng ta cũng trình bày chứng minh của Kummer cho khai triển Fourier của ln Γ(x) Và đây là một công thức rất hữu ích trong lý thuyết số Một ứng dụng hay của hàm Gamma là nghiên cứu hàm Riemann zeta, một hàm có tầm quan trọng trong lý thuyết phân bố số nguyên tố Và một trong những tính chất cơ bản của hàm Riemann zeta là phương trình hàm của nó Nó cho thấy sự mở rộng của hàm zeta thành hàm phân hình trong mặt phẳng phức và ngay lập tức dẫn đến một bằng chứng rằng hàm zeta có vô số cái gọi là số 0 "tầm thường" trên trục số thực Và Jonathan Michael Borwein gọi công thức này là "một trong những phát hiện đẹp nhất của toán học" [3] Mục đích của đề án này là hệ thống những vấn đề căn bản về lý thuyết của hàm Gamma và Beta, đồng thời tìm hiểu một số ứng dụng của các hàm này trong lĩnh vực toán học Đề án "Hàm Gamma, hàm Beta và ứng dụng" bao gồm hai chương Chương 1: Hàm Gamma và hàm Beta Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản của hàm Gamma và hàm Beta và định lý Bohr- Mollerup, một định lý rất hữu ích Chương 2: Một số ứng dụng của hàm Gamma và Beta Chương này trình bày một số ứng dụng của hàm Gamma, hàm Beta như: đánh giá một số tích phân, công thức phản xạ của Euler, công thức Stirling, cuối cùng là ứng dụng của hàm Gamma vào việc nghiên cứu hàm Riemann zeta, tích phân Dirichler và thể tích ellipsoid Đề án được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của 4 PGS.TS Đinh Thanh Đức, hiện đang công tác tại Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Phương pháp Toán sơ cấp K24B đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài Nhân đây tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên để tôi hoàn thành tốt đề án này Mặc dù đề án được thực hiện dưới sự nỗ lực và cố gắng của bản thân nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô để đề án này được hoàn thiện hơn Bình Định, ngày 15 tháng 10 năm 2023 Học viên thực hiện Nguyễn Lê Hạnh Nhi 5 Chương 1 Hàm Gamma và hàm Beta Trong chương này, tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của hàm Gamma và hàm Beta Đồng thời, tôi cũng giới thiệu định lý Bohr- Mollerup Định lý này rất hữu ích vì nó giúp ta dễ dàng chứng minh hàm lồi logarit cho bất kì công thức nào được sử dụng để xác định hàm Gamma Xa hơn nữa, thay vì định nghĩa hàm Gamma bằng một công thức cụ thể nào đó, chúng ta có thể chọn các điều kiện của định lý Bohr- Mollerup làm định nghĩa và chọn bất kì công thức nào chúng ta thích mà thỏa mãn các điều kiện đó để làm điểm bắt đầu cho việc nghiên cứu hàm Gamma Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5] 1.1 Hàm Gamma Bài toán "Tìm một hàm của biến liên tục x để giá trị của hàm này bằng n! khi x = n là một số tự nhiên" được Euler nghiên cứu vào cuối những năm 1720 Bài toán này được đề xuất bởi Daniel Bernoulli và Goldbach Lời giải của nó có trong bức thư của Euler gửi cho Goldbach vào ngày 13 tháng 10 năm 1729 Trước hết, chúng ta đề cập lại về khởi thủy của Euler về vấn đề này Ta giả sử rằng x ≥ 0 và n ≥ 0 là những số nguyên, ta viết: (x + n)! (1.1.1) x! = (x + 1)n trong đó với mọi số thực hoặc số phức bất kì a, ta định nghĩa (a)n = a(a + 1) (a + n − 1) với n > 0, (a)0 = 1 (1.1.2) 6 Viết lại biểu thức (1.1.1) dưới dạng x! = n!(n + 1)x n!nx (n + 1)x = x (x + 1)n (x + 1)n n Bởi vì (n + 1)x nên ta có lim x = 1, n→∞ n x! = lim n!nx (1.1.3) n→∞ (x + 1)n Quan sát thấy rằng, khi x là một số phức khác số nguyên âm thì giới hạn trong biểu thức (1.1.3) luôn tồn tại Để thấy được điều đó, ta có sự phân tích sau: n!nx n xn x −1 1x = n+1 j=1 1+ 1+ (x + 1)n j j và x −1 1 x x(x − 1) 1 a+ 1 + j = 1 + 2j2 + O j3 j Khi đó, tích vô hạn ∞ x −1 1 x 1+ 1+ j=1 j j hội tụ và giới hạn trong biểu thức (1.1.3) tồn tại Do đó, ta nhận được hàm k!kx (1.1.4) (x) = lim k→∞ (x + 1)k xác định với mọi số phức x̸ = −1, −2, −3, và (n) = n! Từ ý tưởng này, Euler đưa ra khái niệm đầu tiên về hàm Gamma 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Với mọi số phức x̸ = 0, −1, −2, hàm Gamma Γ(x) được xác định bởi giới hạn Γ(x) = lim k!.kx−1 (1.1.5) k→∞ (x)k