Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 3 Tôi xin cam đoan đề tài Dãy số và đa thức xác định bởi hệ thứctruy hồi tuyến tính cấp hai là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bảnthân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THỊ MỸ LINH DÃY SỐ VÀ ĐA THỨC XÁC ĐỊNH BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THỊ MỸ LINH DÃY SỐ VÀ ĐA THỨC XÁC ĐỊNH BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài Dãy số và đa thức xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Đình Lương, giảng viên trường Đại học Quy Nhơn Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong đề án đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham khảo và trích dẫn cụ thể trong quá trình thể hiện nội dung Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nếu có sự không trung thực về các thông tin sử dụng trong quá trình hoàn thành đề án này Tác giả Bùi Thị Mỹ Linh Lời cảm ơn Trong quá trình hoàn thành đề án, tôi đã nhận được rất nhiều sự động viên, khuyến khích và giúp đỡ để có thể thuận lợi đạt được kết quả mong muốn Do vậy, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Quy Nhơn đã luôn luôn theo dõi và tạo điều kiện trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu tại đây Hơn hết là lời tri ân sâu sắc đến quý Thầy, Cô của Khoa Toán và Thống kê, quý Thầy, Cô là giảng viên thỉnh giảng đã trực tiếp giảng dạy các chuyên đề, giúp tôi có được nền tảng kiến thức vững chắc để hoàn thiện đề án này Đặc biệt, cho phép tôi được bày tỏ sự trân quý và biết ơn sâu sắc nhất đến TS Trần Đình Lương, giảng viên hướng dẫn trực tiếp của tôi Xin phép được cảm ơn Thầy vì sự hướng dẫn tận tình và chu đáo, luôn sẵn sàng lắng nghe và dẫn dắt tôi đi đúng hướng trong vấn đề nghiên cứu của mình Bên cạnh đó, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn hỗ trợ và khuyến khích tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết đề án này Vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, đề án không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được các ý kiến, đóng góp chân thành từ quý Thầy, Cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Quy Nhơn, tháng 10 năm 2023 Tác giả Bùi Thị Mỹ Linh Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1 DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI 2 1.1 Công thức Binet cho dãy số 2 1.2 Dãy Fibonacci tổng quát 6 1.3 Dãy Fibonacci và dãy Lucas 12 Chương 2 DÃY ĐA THỨC XÁC ĐỊNH BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI 18 2.1 Công thức Binet cho dãy đa thức 18 2.2 Dãy đa thức Fibonacci và dãy đa thức Lucas 29 2.3 Dãy các đa thức Morgan 36 KẾT LUẬN 41 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 1 MỞ ĐẦU Dãy số Fibonacci và tổng quát hóa của nó là các đối tượng nghiên cứu quen thuộc và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau Dãy đa thức Fibonacci được nghiên cứu bởi E.C Catalan (1883) là dãy các đa thức được xác định bởi hệ thức truy hồi giống như trường hợp dãy số Fibonacci Một số lớp đa thức được xác định bởi các hệ thức truy hồi khác có dạng tương tự cũng được nghiên cứu bởi E Jacobsthal, Lucas, Một cách tổng quát lớp các đa thức này có thể được xác định bởi các hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai Chính vì vậy, tôi chọn đề tài Dãy số và đa thức xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai nhằm mục đích nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến các dãy số và dãy đa thức được xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau: phương pháp đại số, phương pháp hàm sinh, Việc nghiên cứu về vấn đề này sẽ rất có ích trong việc tìm hiểu sâu hơn toán học phổ thông và trong công tác giảng dạy Đề án được hoàn thành dựa trên việc đọc hiểu, tổng hợp các kết quả đã có sẵn và sắp xếp, trình bày lại một cách có hệ thống và chi tiết Nội dung của đề án gồm hai chương Chương 1: Dãy số xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cho các dãy số được xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai Đồng thời, chúng tôi cũng khảo sát chi tiết tính chất một số dãy số đặc biệt như: dãy Fibonacci tổng quát, dãy Fibonacci, dãy Lucas Chương 2: Dãy đa thức xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cho các dãy đa thức được xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai Đồng thời, chúng tôi cũng khảo sát chi tiết tính chất một số dãy đa thức đặc biệt như: dãy đa thức Horadam, dãy đa thức Fibonacci, dãy đa thức Lucas, dãy đa thức Morgan 2 Chương 1 DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cho các dãy số được xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai Đồng thời, chúng tôi cũng khảo sát chi tiết tính chất một số dãy số đặc biệt như: dãy Fibonacci tổng quát, dãy Fibonacci, dãy Lucas Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [3], [4] 1.1 Công thức Binet cho dãy số Định nghĩa 1.1.1 Dãy số phức {an}, n ≥ 0, được gọi là một dãy số xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai nếu nó thỏa mãn hệ thức truy hồi tuyến tính an = pan−1 + qan−2 với mọi n ≥ 2 (1.1) trong đó p và q là các số phức cho trước Một dãy số xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai hoàn toàn được xác định nếu cho trước hai giá trị khởi đầu a0 và a1 Chính xác hơn, ta có kết quả sau Mệnh đề 1.1.2 Giả sử {an} và {bn}, n ≥ 0, là hai dãy số xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai (1.1) Nếu a0 = b0 và a1 = b1 thì hai dãy {an} và {bn} là trùng nhau, nghĩa là an = bn với mọi n ≥ 0 3 Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp Theo giả thiết, mệnh đề đúng với n = 0, 1 Giả sử mệnh đề đúng với mọi n = 0, 1, 2, , j − 1 với j ≥ 2 Khi đó aj = paj−1 + qaj−2 = pbj−1 + qbj−2 = bj Cho nên mệnh đề đúng với n = j Vậy mệnh đề đúng với mọi n ≥ 0 Định nghĩa 1.1.3 Cho dãy số {an}, n ≥ 0, được xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai (1.1) Hàm g(t) với biến t được xác định bởi công thức ∞ g(t) = antn n=0 được gọi là hàm sinh của dãy số {an} Mệnh đề 1.1.4 Cho dãy số {an}, n ≥ 0, được xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai (1.1) Hàm sinh của dãy số {an} là g(t) = a0 + (a1 − pa0)t 2 1 − pt − qt Chứng minh Theo Định nghĩa 1.1.3 ta có ∞ g(t) = antn n=0 Từ đó suy ra ∞ ∞ ptg(t) = pantn+1, qt2g(t) = qantn+2 n=0 n=0 Do đó ∞ ∞ ∞ g(t) − ptg(t) − qt2g(t) = antn − pantn+1 − qantn+2 n=0 n=0 n=0 ∞ ∞ ∞ = antn − pan−1tn − qan−2tn n=0 n=1 n=2 ∞ = (an − pan−1 − qan−2)tn + (1 − pt)a0 + ta1 n=2 4 Mà an − pan−1 − qan−2 = 0 theo Hệ thức (1.1), cho nên từ đó suy ra (1 − pt − qt2)g(t) = a0 + (a1 − pa0)t Do đó a0 + (a1 − pa0)t g(t) = 1 − pt − qt2 Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 1.1.5 (Công thức Binet cho dãy số) Cho dãy số {an}, n ≥ 0, được xác định bởi hệ thức truy hồi tuyến tính cấp hai (1.1) Khi đó a1 − βa0 αn − a1 − αa0 βn nếu α = β, an = α − β α−β nếu α = β na1αn−1 − (n − 1)a0αn trong đó α và β là các nghiệm của phương trình t2 − pt − q = 0 Ta chứng minh định lý bằng hai phương pháp: Phương pháp đại số và phương pháp hàm sinh Chứng minh (Bằng phương pháp đại số) Vì α, β là nghiệm của phương trình t2 − pt − q = 0 nên ta có α + β = p, αβ = −q Hệ thức (1.1) có thể viết lại là an = (α + β)an−1 − αβan−2, hay an − αan−1 = β(an−1 − αan−2) = β(β (an−2 − αan−3)) = · · · = βn−1(a1 − αa0) Do đó an = αan−1 + βn−1(a1 − αa0) Vì vậy an = α an−1 + a1 − αa0 (1.2) βn β βn−1 β Đặt bn = an/βn Khi đó từ (1.2) ta được bn = α bn−1 + a1 − αa0 β β 5 Hơn nữa, nếu an = can−1 + d, n ≥ 1 thì ta có a0cn + d cn − 1 nếu c = 1, an = c−1 c = 1 a0 + nd nếu Sau đây, ta xét hai trường hợp của α và β Trường hợp 1: α = β Khi đó ta có bn = b0 α n a1 − αa0 (α/β)n − 1 + · β β α/β − 1 = βn 1 αnb0 + a1 − αa0 α − β (αn − βn) , hay βn an = βn 1 αna0 + a1 − αa0 α − β (αn − βn) Cho nên từ đó suy ra an = a1 − βa0 αn − a1 − αa0 βn α−β α−β Trường hợp 2: α = β Khi đó ta có bn = b0 + n a1 − αa0 , β hay an = a0 + n a1 − αa0 βn β Cho nên từ đó suy ra an = a0βn + nβn−1(a1 − αa0) = na1αn−1 − (n − 1)a0αn Chứng minh (Bằng phương pháp hàm sinh) Ta xét hai trường hợp của α và β Trường hợp 1: α = β Đặt g(t) = antn n≥0 Theo Mệnh đề 1.1.4 ta có g(t) = a0 + (a1 − pa0)t 2 1 − pt − qt Giả sử a0 + (a1 − pa0)t = A + B 1 − pt − qt2 1 − αt 1 − βt