Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chữỡng trẳnh mổn ToĂn bêc phờ thổng, rĐt dạ bưt gp cĂc bi toĂn bĐt ng thực trong cĂc à thituyn sinh vo lợp 10, · thi tèt nghi»p THPT mæn To¡n, · thi chån håcsinh giäi v · thi Olymp
BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN L NH QUYN CHÙNG MINH BT NG THÙC BNG CCH SÛ DÖNG CC BT NG THÙC AM-GM V CAUCHY-SCHWARZ N THC S PH×ÌNG PHP TON SÌ CP B¼nh ành - N«m 2023 BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN L NH QUYN CHÙNG MINH BT NG THÙC BNG CCH SÛ DÖNG CC BT NG THÙC AM-GM V CAUCHY-SCHWARZ N THC S PH×ÌNG PHP TON SÌ CP Ng nh : Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè : 8460113 Ng÷íi h÷îng d¨n : TS Nguy¹n Ngåc Quèc Th÷ìng B¼nh ành - N«m 2023 i Möc löc Mð ¦u iii 1 Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc AM-GM 1 IFI f§t 1¯ng thù ewEqw F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I IFIFI f§t 1¯ng thù ewEqw ho P i¸n F F F F F F F F F F I IFIFP f§t 1¯ng thù ewEqw ho Q i¸n F F F F F F F F F F P IFIFQ f§t 1¯ng thù ewEqw ho n i¸n F F F F F F F F F F P IFIFR f§t 1¯ng thù ewEqw suy rëng F F F F F F F F F F F T IFIFS wët sè v½ dö F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFP û döng §t 1¯ng thù ewEqw trong hùng minh §t 1¯ng thù F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ IFQ wët sè i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §p F F F F F F IV 2 Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz 28 PFI f§t 1¯ng thù guhyEhwrz F F F F F F F F F F F F F F F F PV PFP g¡ h» qu£ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW PFQ h¤ng mð rëng õ §t 1¯ng thù guhyEhwrz F F F F F QP PFR û döng §t 1¯ng thù guhyEhwrz trong hùng minh §t 1¯ng thù F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ PFRFI u¾ thuªt th¶m E ît F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR PFRFP u¾ thuªt t¡h gh²p F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU PFRFQ 0èi xùng hâ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RH PFRFR u¾ thuªt 1êi i¸n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ PFRFS û döng thm sè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT PFS wët sè i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §p F F F F F F RV ii K¸t luªn 57 T i li»u tham kh£o 58 iii Mð ¦u f§t 1¯ng thù l mët trong nhúng hõ 1· qun trång nh§t õ o¡n håF ghóng â nhi·u ùng döng trong ¡ l¾nh vü kh¡ nhu õ o¡n hå ông nh÷ nhi·u ng nh kho hå kh¡F rong h÷ìng tr¼nh mæn o¡n ð ª phê thængD r§t d¹ t g°p ¡ i to¡n §t 1¯ng thù trong ¡ 1· thi tuyºn sinh v o lîp IHD 1· thi tèt nghi»p r mæn o¡nD 1· thi hån hå sinh giäi v 1· thi ylympi to¡n hå ¡ §pF gâ r§t nhi·u ph÷ìng ph¡p 1º hùng minh §t 1¯ng thùD trong 1â â ph÷ìng ph¡p sû döng §t 1¯ng thù ewEqw v §t 1¯ng thù guhyE hwrzF rong 1· t i n yD tæi t¼m hiºuD têng hñp v h» thèng l¤i mët ¡h 1¦y 1õD rã r ng v· ph÷ìng ph¡p sû döng §t 1¯ng thù ewEqw v §t 1¯ng thù guhyEhwrz trong hùng minh §t 1¯ng thùF 0¥y s³ l t i li»u ê ½h ho hå sinhD sinh vi¶n v gi¡o vi¶n mong muèn t¼m hiºu s¥u hìn v· §t 1¯ng thù ewEqw v §t 1¯ng thù guhyEhwrzF xgo i ph¦n mð 1¦uD k¸t luªn v t i li»u thm kh£oD nëi dung h½nh õ 1· ¡n th¤ s¾ gçm â P h÷ìngF Ch÷ìng 1: Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc AM-GM rong h÷ìng n y tæi xin tr¼nh y mët sè ki¸n thù ì £n v· §t 1¯ng thù ewEqwD sû döng §t 1¯ng thù ewEqw 1º hùng minh mët sè §t 1¯ng thù kinh 1iºn kh¡ v mët sè i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §pF Ch÷ìng 2: Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz rong h÷ìng n y tæi xin tr¼nh y mët sè ki¸n thù ì £n v· §t 1¯ng thù guhyEhwrzD mët sè k¾ thuªt sû döng §t 1¯ng thù guhyE hwrz v ¡ i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §pF 0· ¡n 1÷ñ thü hi»n v ho n th nh t¤i r÷íng 0¤i hå uy xhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õ F xguy¹n xgå uè h÷ìngF u 1¥y tæi muèn d nh iv líi £m ìn h¥n th nh v s¥u s 1¸n F xguy¹n xgå uè h÷ìngF h¦y h½nh l ng÷íi 1¢ 1ành h÷îngD t¤o måi 1i·u ki»n thuªn lñi nh§t v ho tæi nhúng nhªn x²t quþ ¡u 1º tæi â thº ho n th nh 1· ¡n vîi hi»u qu£ o nh§tF æi ông xin ph²p gûi líi £m ìn h¥n th nh 1¸n quþ th¦y æ 1¢ gi£ng d¤y lîp h¤ s¾ ng nh h÷ìng ph¡p to¡n sì §p õ r÷íng 0¤i hå uy xhìnD 1° i»t l quþ th¦y æ uho o¡n E hèng k¶D nhúng ng÷íi 1¢ ho tæi ki¸n thùD qun t¥mD 1ëng vi¶nD nhi»t t¼nh gióp 1ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp ông nh÷ trong thíi gin thü hi»n 1· t iF guèi òng tæi xin ph²p gûi líi £m ìn 1¸n gi 1¼nh v nhúng ng÷íi ¤n luæn qun t¥mD gióp 1ï v 1ëng vi¶n tæi trong suèt qu¢ng 1÷íng hå tªp vø quF w° dò tæi 1¢ r§t è gng hå häiD t¼m tái v nghi¶n ùu trong qu¡ tr¼nh ho n th nh 1· ¡nD nh÷ng do h¤n h¸ v· thíi gin v tr¼nh 1ë n¶n trong 1· ¡n v¨n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sâtF §t mong nhªn 1÷ñ sü gâp þ õ quþ th¦y æ v ¡ ¤n 1å 1º 1· ¡n 1÷ñ ho n thi»n hìnF f¼nh 0ànhD th¡ng IH n«m PHPQ Håc vi¶n thüc hi»n L¶ Nh¢ Quy¶n 1 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc AM-GM rong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh y hùng minh §t 1¯ng thù ewE qw ho P i¸nD Q i¸n v n i¸nF xgo i rD hóng tæi án sû döng §t 1¯ng thù ewEqw 1º hùng minh ¡ §t 1¯ng thù kinh 1iºn kh¡ v mët sè i to¡n hån lå thi hå sinh giäi ¡ §pF 1.1 B§t ¯ng thùc AM-GM xëi dung h½nh õ ph¦n n y l ph¡t iºu v hùng minh §t 1¯ng thù ewEqw ho tr÷íng hñp P i¸nD Q i¸n v n i¸nF 1.1.1 B§t ¯ng thùc AM-GM cho 2 bi¸n ành lþ 1.1 @RA Cho hai sè thüc khæng ¥m a, b Khi â a+b √ @IFIA ≥ ab 2 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b Chùng minh f§t 1¯ng thù @IFIA t÷ìng 1÷ìng vîi (a + b)2 ≥ ab ⇔ a2 + b2 + 2ab ≥ 4ab 4 ⇔ a2 + b2 − 2ab ≥ 0 ⇔ (a − b)2 ≥ 0 f§t 1¯ng thù tr¶n hiºn nhi¶n 1óngF 0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi a = b 2 1.1.2 B§t ¯ng thùc AM-GM cho 3 bi¸n ÷ìng tü nh÷ tr¶nD t â thº ph¡t iºu §t 1¯ng thù ewEqw ho Q i¸n nh÷ suX ành lþ 1.2 Cho ba sè thüc khæng ¥m a, b, c Khi â a + b + c √3 @IFPA ≥ abc 3 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c Chùng minh 0°t x = √3 √ a, y = 3 b, z = √3 c uhi 1â x, y, z ≥ 0 v x + y + z ≥ 0F f§t 1¯ng thù õ sè thü a, b, c khæng ¥m quy v· §t 1¯ng thù õ sè thü x, y, z khæng ¥mF x3 + y3 + z3 − 3xyz ≥ 0 ⇔ (x + y)3 − 3xy(x + y) + z3 − 3xyz ≥ 0 ⇔ (x + y + z) (x + y)2 − (x − y)z + z2 − 3xy(x + y + z) ≥ 0 ⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy − xz − yz) − 3xy(x + y + z) ≥ 0 ⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz) ≥ 0 ⇔ (x + y + z) (x − y)2 + (y − z)2 + (x − z)2 ≥ 0 f§t 1¯ng thù tr¶n luæn 1óng vîi måi x, y, z ≥ 0 0¯ng thù x£y r khi v h¿ khi x = y = zD hy a = b = c 1.1.3 B§t ¯ng thùc AM-GM cho n bi¸n u khi hóng tæi ph¡t iºu v hùng minh §t 1¯ng thù ewEqw ho P i¸n v Q i¸n th¼ su 1¥y hóng tæi ph¡t iºu tr÷íng hñp têng qu¡t n i¸nF ri»n ny â r§t nhi·u ¡h hùng minh §t 1¯ng thù ew E qw ho n i¸n nh÷ng d÷îi 1¥y l hi ¡h m tæi t¥m 1 nh§tF 3 ành lþ 1.3 @RA Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a1, a2, , an Khi â a1 + a2 + + an ≥ √n a1a2 an @IFQA n ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = = an Chùng minh hùng minh §t 1¯ng thù theo hi ¡h suF C¡ch 1: riºn nhi¶n §t 1¯ng thù 1óng vîi n = 2 qi£ sû §t 1¯ng thù 1¢ ho 1óng ho nD t âX a1 + a2 + + an ≥ √n a1.a2 an n uhi 1â a1 + a2 + + a2n ≥ n√n a1a2 an + n√n an+1an+2 a2n ≥ 2 n.√n a1a2 ann√n an+1an+2 a2n = 2n 2√n a1a2 a2n ªy §t 1¯ng thù 1óng vîi 2n f§t 1¯ng thù 1óng vîi n t hùng minh 1÷ñ §t 1¯ng thù ông 1óng vîi n − 1 hªt vªy ¡p döng §t 1¯ng thù ho n sè vîi an = √ n−1 a1a2 an−1 a1 + a2 + + an ≥ n a1a2 an−1 n−√1 a1a2 an−1 n = n (a1a2 an−1) n−1 n = √ an−1 n−1 a1a2 = an ⇔ a1 + a2 + an ≥ nan ⇔ a1 + a2 + an−1 ≥ (n − 1)an 4 ⇔ a1 + a2 + an−1 ≥ n−√1 a1a2 an−1 n−1 ªy §t 1¯ng thù 1÷ñ hùng minh xongF h§u ¬ng x£y r khi v h¿ khi a1 = a2 = = an C¡ch 2: ²t h m f (x) = ex−1 − x â f ′(x) = ex−1 − 1 h¹ th§y f ′(1) = 0 v f ′(x) 1êi d§u tø ¥m sng d÷ìng khi 1i qu 1iºm x = 1 n¶n t â thº k¸t luªn f (x) â gi¡ trà nhä nh§t l f (1) = 0 uy r ex−1 − x ≥ 0, hy x ≤ ex−1 vîi måi sè thü x §t k¼F f¥y giíD x²t mët d¢y ¡ sè thü khæng ¥m x1, x2, , xn vîi trung ¼nh ëng x1 + x2 + + xn = α n p döng §t 1¯ng thù x ≤ ex−1 vø hùng minh ð tr¶nD t â x1 x2 xn ≤ e α x1 −1.e α x2 −1 e α xn −1 = e α α α x1 −1+ x2 −1+ + xn −1 αα α tù l x1 x2 xn ≤ e α x1+x2+ +xn −n = en−n = e0 = 1 αα α ø 1¥yD t 1÷ñ x1x2 xn ≤ αn, hy √n x1x2 · · · xn ≤ α h§u 1¯ng thù x£y r khi v h¿ khi x1 = x2 = = xn > 0 H» qu£ 1.1 @TA Cho c¡c sè thüc d÷ìng a1, a2, , an Khi â 11 1 n2 @IFRA + + + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + + an ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = = an Chùng minh heo §t 1¯ng thù ewEqwD t âX a1 + a2 + + an ≥ n√n a1a2 an > 0, @IFSA