Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNNGUYỄN THỊ PHƯƠNG DUNGBẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ÁP DỤNGGIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN PHỔ THƠNGĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Trang 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀ
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG DUNG BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG DUNG BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp 8460113 Mã số : Người hướng dẫn : TS HOÀNG VĂN ĐỨC Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số bất đẳng thức cơ sở 4 1.1.1 Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân 4 1.1.2 Bất đẳng thức Schur 9 1.1.3 Bất đẳng thức H¨older 10 1.2 Một số quy ước ký hiệu 13 1.3 Phép toán trên các tổng đối xứng 17 1.4 Quan hệ làm trội 17 2 Bất đẳng thức Muirhead 19 2.1 Bất đẳng thức Muirhead cho bộ hai số và bộ ba số 19 2.2 Bất đẳng thức Muirhead cho bộ n số 24 3 Áp dụng trong các bài toán sơ cấp 28 3.1 Áp dụng trong chương trình phổ thông và các kỳ thi học sinh giỏi 28 3.2 Kết hợp Bất đẳng thức Muirhead với các bất đẳng thức cổ điển 38 3.2.1 Bất đẳng thức Schur 38 3.2.2 Bất đẳng thức ASYM 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 1 LỜI MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một lĩnh vực toán học tương đối khó, yêu cầu óc quan sát tinh tế, đòi hỏi tư duy và khả năng sáng tạo của người làm toán Các nghiên cứu về bất đẳng thức được xuất hiện từ khá sớm và cho đến hiện nay, vẫn luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả Trong chương trình Toán phổ thông, bất đẳng thức đóng một vai trò hết sức quan trọng trong việc giải các bài toán sơ cấp Hơn nữa, các bài toán về bất đẳng thức là một trong những nội dung khó thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh trước đây, các kỳ thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế Trong đó, bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM- GM) đóng vai trò nền móng, là cơ sở để suy ra nhiều bất đẳng thức khác Do đó, vấn đề mở rộng và tổng quát hóa bất đẳng thức AM-GM luôn được quan tâm nghiên cứu Một trong những dạng tổng quát của Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức Muirhead cho các tổng đối xứng, bất đẳng thức này tỏ ra rất hữu dụng trong các bài toán bất đẳng thức nhiều biến mà ở đó, việc biến đổi về dạng các đa thức đối xứng là tương đối phức tạp và gây nhiều khó khăn Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi quyết định chọn đề án “Bất đẳng thức Muirhead và áp dụng giải một số bài toán phổ thông” để nghiên cứu Cấu trúc của đề án bao gồm: Lời mở đầu, nội dung chính và danh mục tài liệu tham khảo Nội dung chính của đề án gồm ba chương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết các bất đẳng thức sơ cấp như bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức H¨older Bên cạnh đó, chúng tôi cũng giới thiệu về quan hệ làm trội của hai bộ số thực và các quy ước ký hiệu làm cơ sở cho các lập luận ở các chương tiếp theo của đề án 2 Chương 2 Bất đẳng thức Muirhead Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh cho bất đẳng thức Muirhead đối với trường hợp bộ hai số, ba số và trường hợp tổng quát cho n số Chương 3 Áp dụng trong giải các bài toán toán phổ thông Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của bất đẳng thức Muirhead giải các bài toán bất đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một số ví dụ liên quan đến sử dụng kết hợp các bất đẳng thức Muirhead với các bất đẳng thức sơ cấp để giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đến thầy TS Hoàng Văn Đức, trường Đại học Quy Nhơn, thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện trong quá trình học tập và nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành đề án này một cách tốt nhất Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê, trường Đại học Quy Nhơn cùng quý thầy cô giáo của trường, quý thầy cô giáo thỉnh giảng đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, hoàn thành các học phần tại trường Nhân đây, tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị học viên trong lớp Phương pháp toán sơ cấp K24B, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành đề án Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnh những kết quả đã đạt được, đề án không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành của quý thầy cô và các bạn để đề án được hoàn thiện hơn Ngày 12 tháng 12 năm 2023 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Phương Dung 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức cổ điển như Bất đẳng thức AM-GM, Ho¨lder, Schur, Ngoài ra, chúng tôi cũng giới thiệu quan hệ làm trội giữa hai bộ số thực và các quy ước về ký hiệu tổng đối xứng làm cơ sở cho các lập luận ở những phần sau Tài liệu tham khảo chính của chương là [1] và [2] 1.1 Một số bất đẳng thức cơ sở 1.1.1 Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân Cho dãy (ai)ni=1 các số thực không âm Khi đó các đại lượng trung bình cộng và trung bình nhân của dãy đã cho lần lượt xác định bởi An = a1 + a2 + · · · + an , n Gn = √n a1a2 an Định lý 1.1.1 Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có bất đẳng thức sau a+b √ (1.1) ≥ ab 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Với các kí hiệu ở phần đầu, bất đẳng thức trên có thể được viết lại là A2 ≥ G2 Nói cách khác, trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân 4 của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau Bất đẳng thức trên được gọi là Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means) Chứng minh Với a ≥ 0, b ≥ 0 ta có a + b √ − ab = 1 √ (a + b − 2 ab) = 1 (√ √ a − b)2 ≥ 0 2 2 2 Do đó a+b √ ≥ ab 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (√a − √b)2 = 0, tức là a = b Bất đẳng thức (1.1) có thể được viết dưới các dạng tương đương sau: (1.2) Dạng 1 Với hai số thực không âm a, b ta có a+b 2 ≥ ab 2 Dạng 2 Với hai số thực không âm a, b ta có a2 + b2 ≥ (a + b)2 (1.3) 2 Về mặt hình học, xét hai đường tròn đường kính lần lượt là a và b tiếp xúc nhau Khi đó độ dài đoạn nối tâm là trung bình cộng của a và b, còn độ dài đoạn nối hai tiếp điểm của hai đường tròn với tiếp tuyến chung d là trung bình nhân của a và b a+b b 2 2 a d 2 √ ab 5 Thật vậy, gọi độ dài đoạn nối hai tiếp điểm là x Ta có x2 = a+b 2 a−b 2 − = ab 2 2 √ Do đó x = ab Như vậy, só sánh độ dài đoạn nối tâm và độ dài đoạn thẳng nối hai tiếp điểm ta được Bất đẳng thức AM-GM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai đường tròn có cùng bán kính, tức là a = b Một ý nghĩa hình học khác của trung bình cộng và trung bình nhân là xem a + b là bán kính của một đường tròn, khi đó √ab là độ dài đường cao từ đỉnh góc 2 vuông chắn nửa đường tròn đó √ ab a+b 2 a b Vì trong đường tròn, đường kính là dây lớn nhất nên ta có a+b √ ≥ ab 2 Bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực không âm có thể được mở rộng cho bộ n số thực không âm Cụ thể, ta có bất đẳng thức sau Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức AM-GM cho n số) Cho bộ n số thực không âm a1, a2, , an Khi đó ta có a1 + a2 + · · · + an ≥ √n a1a2 an, n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an Bất đẳng thức trên có thể được viết lại dưới dạng An ≥ Gn Trong thực tế, có rất nhiều cách chứng minh Bất đẳng thức AM-GM cho bộ n số thực không âm Ở đây, chúng tôi trình bày chi tiết một cách chứng minh cho bất đẳng thức này, gọi là phép “Quy nạp kiểu Cauchy” Các cách chứng minh khác có thể tìm thấy trong tài liệu [2] 6 Chứng minh Phép chứng minh được tiến hành bằng quy nạp theo n Trường hợp n = 2 là tầm thường Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 2k Thật vậy xét các số thực a1, a2, , ak, ak+1, , a2k ≥ 0 Sử dụng giả thiết quy nạp ta có a1 + a2 + · · · + a2k = 1 a1 + a2 + · · · + ak + ak+1 + · · · + a2k 2k 2 k k ≥ 1 √k a1a2 ak + √k ak+1 a2k 2 ≥ √k a1a2 ak √k ak+1 a2k = 2k √a1a2 a2k Giả sử bất đẳng thức đúng với n = p, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = p − 1 Thật vậy, xét p − 1 số a1, a2, , ap−1 ≥ 0 Sử dụng giả thiết quy nạp với n = p ta có a1 + a2 + · · · + ap−1 + √ √ √ p−1 a1a2 ap−1 p ≥ p a1a2 ap−1 = p−1 a1a2 ap−1 ⇔ a1 + a2 + · · · + ap−1 + √ ap−1 ≥ p √ ap−1 p−1 a1a2 p−1 a1a2 ⇔ a1 + a2 + · · · + ap−1 ≥ (p − 1) √ ap−1 p−1 a1a2 ⇔ a1 + a2 + · · · + ap−1 ≥ p−√1 a1a2 ap−1 p−1 Như vậy, theo nguyên lý quy nạp ta đã chứng minh được rằng bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 2, n ∈ N Tương tự trường hợp n = 2, Bất đẳng thức AM-GM cho bộ n số thực có thể được viết dưới các dạng tương đương sau Định lý 1.1.3 Cho bộ n số thực không âm a1, a2, , an Khi đó ta có (1) a1 + a2 + · · · + an ≥ n √n a1 an (2) a1 + a2 + · · · + an n ≥ a1a2 an n Từ Bất đẳng thức AM-GM, ta có các bất đẳng thức sau, phần chứng minh chi tiết có thể tìm thấy trong [2] 7 Mệnh đề 1.1.4 Cho a, b, c là các số thực tùy ý Khi đó ta có các đánh giá sau đây: (1) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (2) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 3 (3) (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) (4) a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b + c) (5) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) Cuối cùng ta sẽ xem xét một mở rộng của Bất đẳng thức AM-GM Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức AM-GM suy rộng) Cho a1, a2, , an là các số thực không âm và x1, x2, , xn là các số thực dương có tổng bằng 1 Khi đó ta có a1x1 + a2x2 + · · · + anxn ≥ a1x1a2x2 axnn Chứng minh Nếu a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0 thì ta có a1 = a2 = = an = 0 Do đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng Xét trường hợp a1x1 + a2x2 + · · · + anxn > 0 Đặt a = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn Khi đó ta có a = ax1+x2+···+xn Bất đẳng thức trên có thể được viết lại là a1 x1 a2 x2 an xn ≤ 1 a a a Trước hết ta chứng minh kết quả sau: Với mọi số thực x ta có ex−1 ≥ x Thật vậy, xét hàm số f (x) = ex−1 − x Ta có f (x) = xx−1 − 1 Ta suy ra f (1) = 0 và f (x) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = 1 nên f (x) đạt giá trị nhỏ nhất là f (1) = 0 Do đó f (x) ≥ f (1) = 0 với mọi x ∈ R và như vậy ex−1 ≥ x với mọi x ∈ R a1 Sử dụng bất đẳng thức vừa nêu ta có a1 ≤ e a −1 Từ đó suy ra a a1 x1 a1x1 −1 ≤e a a Tương tự ta có ai xi aixi ≤ e a −1 với i = 1, 2, , n a 8