Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 3 Tôi xin cam đoan mọi kết quả của đề tài “Bất đẳng thức Bernoulli và mởrộng” là sản phẩm nghiên cứu của tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS.Dương Thanh Vỹ, và chưa từng được cô
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ VĂN PHONG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ MỞ RỘNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ VĂN PHONG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ MỞ RỘNG Ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS DƯƠNG THANH VỸ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan mọi kết quả của đề tài “Bất đẳng thức Bernoulli và mở rộng” là sản phẩm nghiên cứu của tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Dương Thanh Vỹ, và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác Các nội dung và kết quả sử dụng trong đề án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm và chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy đinh Bình Định, tháng 10 năm 2023 Học viên thực hiện Hà Văn Phong Mục lục Lời mở đầu 1 1 Bất đẳng thức Bernoulli 4 1.1 Dạng cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli 4 1.2 Dạng tổng quát của bất đẳng thức Bernoulli 8 1.3 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bernoulli 12 1.3.1 Điểm rơi đối xứng trong bất đẳng thức Bernoulli 12 1.3.2 Điểm rơi không đối xứng trong bất đẳng thức Bernoulli 17 2 Một số bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức Bernoulli 20 2.1 Các bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức Bernoulli 20 2.2 Làm chặt bất đẳng thức Bernoulli 31 3 Bất đẳng thức Bernoulli mở rộng 35 3.1 Một số bất đẳng thức Bernoulli mở rộng 36 3.2 Chứng minh các bất đẳng thức Bernoulli mở rộng 37 3.3 Ứng dụng 44 Tài liệu tham khảo 48 1 Mở đầu Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học trong lý thuyết phương trình, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết xấp xỉ, Trong những năm gần đây, bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng như trong các kì thi trung học phổ thông quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế Để làm được các dạng toán này, yêu cầu học sinh phải có kiến thức vững vàng và sâu sắc cũng như các kĩ năng, kĩ thuật đặc thù về bất đẳng thức Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của các bài toán bất đẳng thức, đó là có rất nhiều các bài toán khó, luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ sở Một trong những bất đẳng thức cơ bản nhưng khá quan trọng và được sử dụng rất nhiều đó là bất đẳng thức Bernoulli Nó còn được dùng để chứng minh các bất đẳng thức khác Vì vậy, việc tìm hiểu, chứng minh bất đẳng thức này có ý nghĩa vô cùng quan trọng Hiện nay có rất nhiều tài liệu về bất đẳng thức, khai thác theo những chủ đề và các quan điểm phân loại khác nhau Tuy vậy, các tài liệu về bất đẳng thức Bernoulli như là một chuyên đề cho giáo viên và học sinh hệ Chuyên Toán bậc trung học phổ thông chưa có nhiều, còn chưa thể hiện được đầy đủ hệ thống các ý tưởng cơ bản, cách tiếp cận, các mở rộng và ứng dụng vào các dạng toán Đề án tập trung giải quyết các vấn đề sau: 1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli và sử dụng nó để giải quyết 2 các bài toán về bất đẳng thức liên quan Nghiên cứu các dạng cơ bản và dạng tổng quát của bất đẳng thức Bernoulli 2 Tìm hiểu về một số bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức Bernoulli và bất đẳng thức Bernoulli mở rộng Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề án được chia thành ba chương như sau: Chương 1: Dạng cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli Tìm hiểu một số phát biểu; định lý liên quan tới bất đẳng thức Bernoulli dạng cơ bản và tổng quát, thực hiện chứng minh Từ đó chứng minh một số bài toán giúp học sinh trung học phổ thông thấy được sự ứng dụng của bất đẳng thức Bernoulli Chương 2: Tìm hiểu một số bất đẳng thức tương đương và làm chặt bất đẳng thức Bernoulli Chương 3: Tìm hiểu một số tổng quát hóa của bất đẳng thức Bernoulli, chứng minh và ứng dụng của các tổng quát hóa bất đẳng thức Bernoulli Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy TS Dương Thanh Vỹ, Tổ Toán -Tin, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy đã trực tiếp hướng dẫn và luôn dành nhiều thời gian, công sức trong suốt quá trình nghiên cứu Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào Tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê, cùng quý thầy cô giáo đã giảng dạy tôi trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài Và cuối cùng tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã luôn khích lệ, động viên, hỗ trợ tôi về mặt tinh thần để tôi hoàn thành tốt luận văn này Mặc dù đề án được thực hiện với sự cố gắng hết sức của bản thân nhưng do 3 điều kiện về thời gian, năng lực còn hạn chế nên đề án không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn bè để đề án được hoàn thiện hơn 4 Chương 1 Bất đẳng thức Bernoulli Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli (được đặt theo tên của nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli) là bất đẳng thức được sử dụng khá nhiều trong các kết quả của giải tích, nó cho sự đánh giá của xα, với α ∈ R và hàm tuyến tính Ta luôn có (x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 + 1 ≥ 2x, ∀x ∈ R ⇔ x2 + (2 − 1) ≥ 2x, ∀x ∈ R Từ bất đẳng thức trên, một cách hình thức, ta tổng quát thành xα + (α − 1) ≥ αx ⇔ xα ≥ 1 + α(x − 1) Ta cần thêm những điều kiện gì của x và α để bất đẳng thức trên là đúng? 1.1 Dạng cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli Định lý 1.1.1 ([1]) Với mọi x ∈ R, α ∈ N, ta có (1 + x)α ≥ 1 + αx 5 Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp Với α = 0, rõ ràng bất đẳng thức trên là đúng Giả sử bất đẳng thức đúng với α = k, k ∈ N Khi đó (1 + x)k ≥ 1 + kx, ∀x ∈ R Ta cần chứng minh bất đẳng đúng với α = k + 1, tức là (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x, ∀x ∈ R Thật vậy, ∀x ∈ R, ta có (1 + x)k+1 = (1 + x)(1 + x)k ≥ (1 + x)(1 + kx) = 1 + kx + x + kx2 = 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x Ngoài ra, ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM như sau Rõ ràng, với α = 0 và α = 1 thì bất đẳng thức Bernoulli dạng cơ bản là đúng Ta xét với α ∈ N, α ≥ 2 Với −1 < x ≤ −1 thì bất đẳng thức là hiển nhiên đúng α Với x > −1 hay x + 1 > 1 − 1 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có α α α α−1 (x + 1)α = α (1 + αx) + 1 + + 1 ≥ (1 + αx).1.1.1 1 = 1 + αx Vậy bất đẳng thức Bernoulli dạng cơ bản đã được chứng minh Bất đẳng thức Bernoulli dạng cơ bản thường được sử dụng để giải các bài toán về bất đẳng thức với mũ là số tự nhiên Sau đây là một số bài toán minh họa 6 Bài toán 1.1.1 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≥ 3 Chứng minh rằng x3 + y3 + z3 ≥ 3 Lời giải Ta có x3 ≥ 1 + 3(x − 1) ⇔ x3 ≥ 3x − 2 ⇔ x3 + 2 ≥ 3x (1.1.1) y3 ≥ 1 + 3(y − 1) ⇔ y3 ≥ 3y − 2 ⇔ y3 + 2 ≥ 3y (1.1.2) z3 ≥ 1 + 3(z − 1) ⇔ z3 ≥ 3z − 2 ⇔ z3 + 2 ≥ 3z (1.1.3) Từ (1.1.1), (1.1.2) và (1.1.3) suy ra x3 + y3 + z3 + 6 ≥ 3x + 3y + 3z ⇔x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) − 6 ⇔x3 + y3 + z3 ≥ 3.3 − 6 ⇔x3 + y3 + z3 ≥ 3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Vậy bài toán trên đã được chứng minh Bài toán 1.1.2 Cho a1, a2, a3, , an(n ≥ 1) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện n Chứng minh rằng a2k = 1 k=1 n 2ak ≥ n + 1 k=1 Lời giải Từ giả thiết n a2k = 1 k=1