Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNPHAN THỊ THANH HOAÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁPHÀM BIẾN PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐBÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐChuyên ngành: Phương pháp tố
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ THANH HOA ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM BIẾN PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ THANH HOA ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM BIẾN PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN ĐẠI Bình Định - Năm 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Đại, đề án "Áp dụng phương pháp hàm biến phức để giải một số bài toán lượng giác và đại số" được hoàn thành theo nhận thức vấn đề của riêng tôi, không trùng với bất kì đề án nào khác Trong quá trình thực hiện và nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc 2 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức để em có thể hoàn thành khoá học và thực hiện đề án tốt nghiệp của mình Đặc biệt, em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Đại, người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em hoàn thành đề án này Do thời gian và kiến thức có hạn nên đề án không tránh khỏi những hạn chế và còn nhiều thiếu xót Em xin chân thành cảm ơn và tiếp thu những ý kiến đóng góp của quý thầy giáo và cô giáo Bình Định, ngày 20 tháng 10 năm 2023 Tác giả Phan Thị Thanh Hoa 1 Mục lục 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3 1.1 Xây dựng trường số phức 3 1.2 Mặt phẳng phức 5 1.3 Môđun và Argument của số phức 6 1.4 Dạng lượng giác của số phức 7 1.5 Dạng mũ của số phức 7 1.6 Phép khai căn của một số phức 8 2 SỐ PHỨC VÀ BIẾN PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC 9 2.1 Tính toán và biểu diễn một số biểu thức 9 2.2 Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác 16 2.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy 23 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 27 3.1 Phương trình hàm trong đa thức 27 3.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy 35 3.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức 47 3.4 Quy tắc dấu Descartes trong ứng dụng 49 Kết luận 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 1 MỞ ĐẦU Trong các ngành của toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số Mặc dù sinh sau nhưng số phức có nhiều đóng góp trong các ngành toán học như đại số, giải tích, lượng giác, hình học phức Khi học ở lớp 12, số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết các bài toán sơ cấp khó Vì sự gần gũi của biểu diễn hình học số phức với tọa độ của điểm trong hệ trục tọa độ Descartes nên số phức có rất nhiều ứng dụng trong chương trình toán sơ cấp phổ thông, đặc biệt là hình học phẳng Ở nhiều bài toán, việc giải bằng số phức thường đưa đến kết quả bất ngờ Một trong những thao tác quan trọng trong việc giải toán hình học phẳng bằng số phức là biểu diễn số phức các yếu tố hình học Vì vậy việc tìm hiểu để đưa công cụ số phức vào việc giải bài toán có liên quan đến các biến phức trong lượng giác, một số ứng dụng trong đại số và nhằm đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của tôi ở trường phổ thông nên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: "Áp dụng phương pháp hàm biến phức để giải một số bài toán lượng giác và đại số" Chúng ta biết rằng số phức ra đời từ nhu cầu giải các phương trình đại số bậc cao và sau đó đã phát triển mạnh mẽ trở thành một chuyên ngành độc lập trong toán học gọi là Giải tích phức, nhờ đóng góp của những nhà toán học kiệt xuất như Euler, Gauss, Cauchy, và ngày nay Giải tích phức đã trở thành một ngành có rất nhiều ứng dụng, trong cả toán học và trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác Tất nhiên với trình độ của học 2 sinh phổ thông, và có lẽ kể cả giáo viên toán ở phổ thông, khó có thể trình bày được hết ý nghĩa và tầm quan trọng của số phức Tuy nhiên, với trình độ đó, ta có thể làm cho họ thấy ý nghĩa và ứng dụng của số phức như là một công cụ hữu hiệu để giải và sáng tác những bài toán phổ thông, từ những bài toán cơ bản đến những bài toán khó Từ đó sẽ góp phần giúp việc giảng dạy và học tập nội dung số phức ở trường phổ thông hiệu quả hơn Để thấy được một số ứng dụng của số phức, trong đề án này chúng tôi trình bày áp dụng phương pháp hàm biến phức để giải một số bài toán trong lượng giác và đại số Ngoài Phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của đề án gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức cơ sở Chương này chuẩn bị một số kiến thức nền tảng về số phức như: định nghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểu diễn của số phức, phép khai căn của một số phức Chương 2: Số phức và biến phức trong lượng giác Chương này trình bày lại một số kiến thức về số phức và biến phức trong lượng giác Cụ thể, tính toán, biểu diễn và tính giá trị của một số biểu thức lượng giác, dạng phức của bất đẳng thức Cauchy Chương 3: Một số ứng dụng của số phức trong đại số Chương này trình bày một số ứng dụng của số phức trong đại số Cụ thể, sử dụng số phức để giải các bài toán về đa thức như phương trình hàm trong đa thức, các bài toán về đa thức bất khả quy, các bài toán về sự chia hết của đa thức, quy tắc dấu Descartes trong ứng dụng 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Ta biết rằng trường số thực R nhận được bằng cách làm "đầy" trường hữu tỷ Q, mà nó được xây dựng từ vành số nguyên Z Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỷ và giới hạn của dãy các số hữu tỷ Tuy nhiên trường R vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản x2 + 1 = 0 (1.1) cũng không có nghiệm trong R Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong R người ta không thể giải thích được vì sao hàm 1 f (x) = x + x2 không thể khai triển thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng Với lý do trên, buộc ta phải đi tìm kiếm trường K nào đó chứa R như một trường con sao cho tối thiểu phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm Ở đây, ta nói R là trường con của K nếu các phép toán trên R được cảm sinh bởi các phép toán trên K 1.1 Xây dựng trường số phức Trước hết, ta hãy phác thảo con đường tìm kiếm trường C chứa R như một trường con mà phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm trong nó Nếu C là một trường như vậy thì C phải có một phần tử i để i2 = −1 Vì vậy, một cách tự nhiên ta hãy xét tập C các cặp số thực z = (a, b) : C = {(a, b) : a, b ∈ R} 4 Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng C trở thành một trường chứa R như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó) Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường R với chú ý i2 = −1 (i) Quan hệ bằng nhau: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d (ii) Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (iii) Phép nhân: (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Định lý 1.1.1 Tập hợp C với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và phép nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau: 1) R chứa trong C như một trường con (qua đồng nhất a ∈ R với (a, 0) ∈ C); 2) Tồn tại nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0 trong C Chứng minh 1) Ta đó C lập thành nhóm cộng giao hoán với phần tử không là (0, 0) và phần tử đối của (a, b) là (−a, −b) Tập C∗ các phần tử khác không của C lập thành nhóm nhân giao hoán với phần tử đơn vị (1, 0) và phần tử nghịch đảo của (a, b) ∈ C là a −b a2 + b2 , a2 + b2 C thỏa mãn luật phân phối vốn có trong R (α, β) (a, b) + (c, d) = (α, β) (a + c, b + d) = α (a + c) − β (b + d) , α (b + d) + β (a + b) = (αa + αc − βb − βd, αb + αd + βa + βc) = (αa − βb, αb + βa) + (αc − βd, αd + βc) = (α, β) (a, b) + (α, β) (c, d) 5 Hiển nhiên qua đồng nhất a = (a, 0), a ∈ R, R được chứa trong C như một trường con 2) Bởi vì (0, 1)2 = (−1, 0) = −1 nên i = (0, 1) là nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0 Định nghĩa 1.1.2 Trường C được xây dựng như trên được gọi là trường số phức, còn mọi phần tử của C được gọi là số phức Số i ∈ C gọi là đơn vị ảo của C Bởi vì (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + b (0, 1) = a + bi nên mọi số phức z ∈ C ta viết duy nhất dưới dạng z = a + bi với a, b ∈ R Dạng trên được gọi là dạng đại số của số phức z, các số thực a, b lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z Ký hiệu a = Rez, b = Imz Cho z = a + ib ∈ C Khi đó z = a − ib ∈ C được gọi là số phức liên hợp của số phức z Các đẳng thức sau được suy ra từ định nghĩa: z = z ∀z ∈ R ⊂ C; z = z¯ ∀z ∈ C; z1 + z2 = z1 + z2; z.z = a2 + b2 ⩾ 0; z1z2 = z1.z2 1.2 Mặt phẳng phức Giả sử trên mặt phẳng R2 cho một hệ tọa độ vuông góc xOy Như vậy, mỗi điểm M ∈ R2 được xác định bởi hoành độ x và tung độ y của nó Điều này cho phép ta lập được tương ứng 1 - 1 giữa các điểm của mặt phẳng R2 với các số phức z ∈ C M (x, y) ∈ R2 → x + iy = z ∈ C