Đang tải... (xem toàn văn)
Topic 36: Nowadays, it is true that many young people have a tendency tend to resign quit leave stop working at the company, or the corporation and they want to establish set up their own enterprise (DN), especially young people the young with high competence ability capacity and ambition aspiration in modern life. What are some causes and some solutions for this issue? What are causes of this problem? Causes: The problem of low salary or income could be a main reason cause leading to setting up their own company. This means that + workers have to suffer the pressure on their finance in daily life. They must pay for a wide range of costs such as accommodation, tuition fees, food, drink, etc. Thus, it could be a heavy financial burden on their family if they have no enough the budget to solve. Poor environment and conditions could make them decide to leave at the current company and begin establishing a new company. + they will feel uncomfortable and inconvenient to work in polluted environment or toxic substances which affect their health. + working in dangerous hazardous environment could trigger some serious diseases such as lung cancer, stroke, heart disease, depression, etc.
Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 2.1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên Biến cố có thể biểu thị về mặt định tính và cũng có thể biểu thị về mặt định lượng Trong phần này ta chỉ xét những biến cố biểu thị về mặt định lượng tức là biến cố biểu thị thành con số Ví dụ 2.1.1 Xét phép thử T: “Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất” Không gian mẫu của phép thử này là S, N Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong một lần gieo Ta thấy rằng X là một đại lượng có tính ngẫu nhiên có thể nhận một trong hai giá trị X(N)=0, nếu đồng xu xuất hiện mặt ngửa với xác suất tương ứng P N 12 X(S)=1, nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp với xác suất tương ứng P S 12 N S X() 0 1 P(X= X()) ½ ½ Điều này có nghĩa X đặt tương ứng mỗi phần tử của không gian mẫu với một và chỉ một số thực được gọi là giá trị của X với một xác suất nào đó Ta có thể minh họa bằng hình vẽ sau: S N X 01 Qua ví dụ trên ta thấy, đại lượng X liên quan đến phép thử T, đặt tương ứng mỗi phần tử của không gian mẫu của T với một và chỉ một số thực một cách ngẫu nhiên (ứng với một xác suất nào đó) Đại lượng X như thế được gọi là biến ngẫu nhiên hoặc đại lượng ngẫu nhiên Từ đó ta có định nghĩa Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 61 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 2.1.1 Định nghĩa Xét một phép thử có không gian mẫu Một biến ngẫu nhiên X là một hàm số đi từ vào Ký hiệu: X : X được gọi là tập xác định của biến ngẫu nhiên X X là một số thực được gọi là giá trị của biến ngẫu nhiên X Do đó tập giá trị của biến ngẫu nhiên X là một tập con của tập số thực được ký hiệu là Im X ImX x , X x X Từ định nghĩa, ta có: X() x , , các tập hợp: : X x , : X x , : X là các biến cố trong Biến cố này được xác định bởi biến ngẫu nhiên X nên nó còn được ký hiệu gọn hơn theo biến ngẫu nhiên X Nếu a, b là các số thực a b thì các biến cố và xác suất tương ứng của chúng được ký hiệu như sau: Ký hiệu theo Xác suất của biến cố Ký hiệu theo biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Biến cố P : X a X a P : X a P X a : X a P : X a : X a X a P : a X b P X a : X a : a X b X a P X a a X b P a X b Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 62 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Ví dụ 2.1.1.1 Tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp Tìm: 1 P X 2 2 P X 2 Giải Không gian mẫu là ={ SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} Ứng với mỗi phần tử của không gian mẫu, ta có các giá trị tương ứng của X được cho trong bảng sau: SSS SSN SNS SNN NSS NSN NNS NNN X() 3 2 2 1 2 1 1 0 1 Gọi A là biến cố xác định bởi X 2 Khi đó ta có: A X 2 : X 2 SSN,SNS,NSS Do đó: P X 2 P A 38 2 Gọi B là biến cố xác định bởi X 2 Khi đó ta có: B X 2 : X 2 SNN,NSN,NNS,NNN Do đó: P X 2 P B 48 12 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên dương Ví dụ 2.1.2.1 Gọi X là số chấm ở mặt trên của con súc sắc khi gieo một lần con súc sắc cân đối và đồng chất thì X có thể nhận các giá trị là: 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi X là số lượng sinh viên đến canteen trong một ngày thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi X là số khách hàng đến tại một quầy giao dịch trong một khoảng thời gian thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi X là số lượng sinh viên đến thư viện trung bình trong một ngày thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 63 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận mọi giá trị trong khoảng a;b nào đó trên trục số (a có thể là –, b có thể là +) Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên và thập phân Ví dụ 2.1.2.2 Gọi X là trọng lượng của trẻ sơ sinh thì X là biến ngẫu nhiên liên tục Gọi X là thu nhập của một hộ gia đình sống ở thành thị thì X là biến ngẫu nhiên liên tục Gọi X là kim ngạch xuất khẩu của một công ty trong ngành dệt may trong năm 2010 thì X là biến ngẫu nhiên liên tục Các biến ngẫu nhiên chỉ độ dài, diện tích, thể tích, thời gian,… là loại biến ngẫu nhiên gì? 2.1.3 Tính chất Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên thì X Y , X.Y , X n(n 0) , X Y (Y 0) , cX (c là hằng số) cũng là các biến ngẫu nhiên 2.2 Hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2.1 Định nghĩa Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể x1, x2, trong đó xi x j với i j Ứng với mỗi giá trị xi của nó được gắn với một xác suất p xi P X xi đặc trưng cho khả năng biến ngẫu nhiên X nhận giá trị đó Hàm số p x P X x xác định trên tập các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có một số hữu hạn n các giá trị x1, x2, , xn thì hàm (khối lượng) xác suất của nó có thể cho dưới dạng bảng gồm hai hàng: Hàng thứ 1 ghi các giá trị số đã sắp thứ tự của biến ngẫu nhiên Hàng thứ 2 ghi xác suất tương ứng X x1 x2 xi xn P X xi p1 p2 pi pn n với : pi P(X xi ); 0 pi 1; i 1, n ; pi 1 i 1 Bảng trên được gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X hay gọi tắt là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 64 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Thông thường, để biểu diễn cho biến ngẫu nhiên rời rạc, ta thường dùng bảng phân phối xác suất Ví dụ 2.2.1.1 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong phép thử tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần Tìm hàm xác suất (bảng phân phối xác suất) của biến ngẫu nhiên X Giải Theo ví dụ 2.1.1.1 ta có hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X là: 1 / 8, x 0 p x 3 / 8, x 1 3 / 8, x 2 1 / 8, x 3 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là: X 0 123 P X xi 1 3 3 1 8 888 Đồ thị của hàm xác suất này được biểu diễn như sau: y 0.4 3/8 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 1/8 0.1 0.05 x -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -0.05 Người ta cũng thường biểu diễn hàm xác suất bằng tổ chức đồ Đó là một biểu đồ hình cột với các xác suất được biểu diễn bằng các diện tích Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 65 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất y 0.4 3/8 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 1/8 0.1 0.05 x -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -0.05 Có nhận xét gì về tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong tổ chức đồ của hàm xác suất p x ? Ví dụ 2.2.1.2 Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra Tìm luật phân phối xác suất của X Giải Ta có: Im(X) ={0, 1, 2} Áp dụng công thức tính xác suất lựa chọn ta được: p0 P X 0 C 6 2 4 0.C 2 2 C10 15 p1 P X 1 C6 2 4 1.C 1 8 C10 15 p2 P X 2 C6 2 4 2.C 0 5 C10 15 Vậy luật phân phối xác suất của X là: X 0 12 P X xi 2 85 15 15 15 Giải ví dụ trên nhưng lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm và X là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 66 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 2.2.2 Tính chất của hàm (khối lượng) xác suất 1 0 p xi 1, xi 2 p x 0, x xi 3 p x 1 i 1, 2, (Tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong tổ chức x xi đồ của hàm xác suất p x bằng 1) 2.3 Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên Gọi X là biến ngẫu nhiên liên quan đến phép thử T Với mọi x , ta nhận thấy biến cố X x thay đổi nếu x thay đổi Do đó xác suất P X x cũng thay đổi theo, tức là xác suất này phụ thuộc vào x, nó là một hàm của x và được gọi là hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên X Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên X được dùng để mô tả (hoặc xác định) cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục 2.3.1 Định nghĩa Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là F x , được xác định như sau: F x P X x ,x Nếu biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X x1 x2 xi xn p2 pi pn P X xi p1 thì hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể được viết dưới dạng: F x P X x p xi ,x xi x hay: 0, x x1 p x1, x1 x x2 F x p x1 p x2 , x2 x x3 p x1 p xn , x xn trong đó p xi là hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X xác định tổng các diện tích của các hình chữ nhật được dựng trên mỗi cạnh xi x Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 67 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Ví dụ 2.3.1.1 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong phép thử tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị Giải Theo ví dụ 2.2.2.1 biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất là: X 0 1 23 P X xi 1 3 31 8 88 8 F x 0 1 4 71 8 88 nên nó có hàm phân phối xác suất là: 0, x 0 1 / 8, 0 x 1 F x 4 / 8, 1 x 2 7 / 8, 2 x 3 1, x 3 Vẽ đồ thị y 1.1 1 7/8 0.9 0.8 0.7 0.6 1/2 0.5 0.4 0.3 0.2 1/8 0.1 x -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 -0.1 Ví dụ 2.3.1.2 Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất Gọi X là số chấm xuất hiện 1 Lập bảng phân phối xác suất của X 2 Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị Giải: 1 Ta có Im(X)={1; 2; 3; 4; 5; 6} Do con súc sắc cân đối và đồng chất nên Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 68 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất P X 1 P X 2 P X 6 16 Do đó bảng phân phối xác suất của X là: X 1 2 3456 P X xi 1 1 1 1 1 1 6 6 6666 F x 0 1 2 3 4 51 6 6 666 2 Ta có: F(x) pi , do đó: xi x x 1 : F x 0 1 x 2 : F x 1 / 6 2 x 3 : F x 1 / 6 1 / 6 2 / 6 x 6 : F x 5 / 6 1 / 6 1 Vậy hàm phân phối xác suất của X là: 0 neáu x 1 1 / 6 neáu 1x 2 neáu 2x 3 1 / 3 neáu 3x 4 F x 1 / 2 neáu 4x 5 2 / 3 neáu 5x 6 5 / 6 neáu x 6 1 Tiếp tục tính để có hàm phân phối xác suất của X như trên Đồ thị hàm F x được vẽ như sau: Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 69 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất y 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 x -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 -0.1 Cho biết F 1, 3,F 1,F 7 ? 2.3.2 Tính chất Tính chất 1: x , 0 F(x) 1 Tính chất 2: Hàm phân phối F(x) của biến ngẫu nhiên X là hàm không giảm, nghĩa là nếu x1 x2 thì F x1 F x2 Tính chất 3: Hàm phân phối F(x) là hàm liên tục bên phải, nghĩa là lim F x F a x a Tính chất 4: lim F x 0hay F 0 x và lim F x 1hay F 1 x 2.3.3 Tính xác suất từ hàm phân phối Từ định nghĩa và tính chất của hàm phân phối, ta có thể tính các xác suất theo các công thức sau: P X a F a P X b 1 F b P a X b F b F a, với mọi a và b thỏa a b P X a F a F a , với mọi a Ví dụ 2.3.3.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F được xác định bởi: Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 70 Xác suất thống kê kinh tế Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất Trong công nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của các sản phẩm Trong chăn nuôi, phương sai biểu thị độ tăng trưởng đồng đều của các gia súc Trong trồng trọt, phương sai biểu thị mức độ ổn định của năng suất 2.6.3 Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) V X 2.6.3.1 Định nghĩa Vì V(X) có cùng đơn vị với (X–)2 nên ta định nghĩa thêm đại lượng được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X và được ký hiệu là X , X , SD X X V X X có cùng đơn vị với (X–E(X)), nghĩa là cùng đơn vị với X 2.6.3.2 Tính chất X X 2.6.3.3 Ý nghĩa Độ lệch chuẩn có ý nghĩa giống phương sai Ví dụ 2.6.3.3.1 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 P 0,3 0,3 0,4 Tính độ lệch chuẩn của X Giải Theo ví dụ 2.6.2.1.1 ta có: V(X) = 0,69 Vậy: X V X 0, 69 0, 831 Ví dụ 2.6.3.3.2 (Trích Đề thi Kết thúc Học phần Khoá 13) Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm tốt Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (không hoàn lại) a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra, và tính xác suất để trong đó có ít nhất 2 sản phẩm tốt b) Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra đi bán Biết rằng bán một sản phẩm tốt được lời 50 ngàn đồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn đồng Tính lợi nhuận thu được trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên Giải a) Gọi X là BNN chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra Ths Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG 80