Đang tải... (xem toàn văn)
Có nhiều tình huống trong xã hội, từ cuộc sống đời thường đến các hoạt động kinh tế, kỹ thuật, công nghệ và quản lý hiện đại... người ta phải quan tâm tới bài toán tìm ra phương án tốt nhất để đạt mục tiêu mong muốn trong những điều kiện ràng buộc nhất định. Đó là các bài toán tối ưu. Chính những nỗ lực nhằm giải các bài toán tối ưu đã góp phần kích thích sự phát triển của Giải tích Toán học thế kỷ XVII XVIII với sự đóng góp to lớn của những nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại: Fermat, Leibniz², Euler³... Tuy nhiên, phải đến những năm 30, 40 của thế kỷ XX, Quy hoạch toán học (Mathematical Programming) hay còn gọi là Toán Tối ưu (Optimization) mới hình thành với tư cách là một lý thuyết độc lập với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau: đầu tiên là Quy hoạch tuyến tỉnh (Linear Programming), tiếp đó là Quy hoạch lồi (Convex Programming), Quy hoạch toàn cục (Global Programming), Lý thuyết điều khiển Tối ưu (Optimization Control).
Nguyễn Thị Bạch Kim Giáo trình Các Phương pháp Tôi ưu Lý thuyết và Thuật toán NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI SS4 Nguyén Thi Bach Kim Giao trinh Các Phương pháp Tối ưu Lý thuyết và Thuật toán NHÀ XUAT BAN BACH KHOA ~ HÀ NỘI Mã sô: 285-2008/CXB/08-57/BKHN Muc luc Loi mé dav 1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản từ giải tích lôi Khong gian Euclid R” a 1.1 HO CN CÁ MO ca cổ Co MS HO ca BS 8 MO .2 1.1.1 Điểm hay véc tơ trong” .ee 1.1.2 Véc tơ độc lập tuyến tính 1.3 1.1.3 sa “aaa BH ŠẶŸ 1.1.4 Tích vô hướng - ẶQ ỒẶ 1.1.5 Chuẩn Eucltd của véclơ 1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy-Bunjakowski-Schwarz 1.1.7 Góc giữa hai vóc tơ 1.1.8 Suhéitu .:Ẽ.(a 1.1.9 Tập đóng tập mở, tập compac 1.1.0 Thứ tự ¬ — ố —— ố¬ ¬ Ham nhiéu bién 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính liên tục eee we ek ek ee 1.2.3 Đạo hàm riêng Q Q.Q - HQ.Q eQee 1.2.4 Gradient va ma tran Hesse 1.2.5 Tinh kha vi ee ee ee 1.2.6 Khavihailan 2 ee 1.2.7 Khai trién Taylor eS SY 1.2.8 Dao ham ham hop em kk 1.2.9 Đạo hàm theo hướng 1.2.10 Ham tuyén tinh, ham afin Tập lồi ee CÁO cá QỢ U HO MÔ ee ee we ee ee ke AC C4 ca ° CO ế cÊ Ê ạ cÊ H Ê cA R } C B R8 C S Y AC 1.3.1 TẠậpafn Q c Q Q c Q u HH.k.g.v.2 1.3.2 Sở chiều và điểm trong tương đốt | On cm CA NO } 6 CN m1 4 1.3.3 Tập lồi và đểm cực biên 1.3.4 Siêu phẳng, nửa không gian woe ek ee ee ke 1.3.5 Nón Be kw mw ww we ew we lk 1.3.6 ! Mục lục 1.37 Các định lý tách tẠpli 24 13.8 TẠạplôiđadin Q.2 25 13.9 Đơnhìnhh Quy Xa 28 L.4 Hàm lồi .QC.Q cv 0Q K H KV xà 29 L41 Địnhhngha Q Q Q Su v2 29 1.4.2 Các phép toán về hàm lổi 32 1.4.3 Tính liên tục của hàm lồi 32 1.44 Đạo hàm theo hướng của hàm lổi 33 1.4.5 Tiêu chuẩn nhận biết hàm lôi khẩvi 34 Bài toán tối mì 39 2.1 MétsOvidud a.aAAIa 39 2.2_ Bài toán tối ưu và các khái niệm cơbản Sl 2.3 C&c loai bai todntéiuu ee ee 57 2.4 Điều kiện tồn tại nhệm ẶẶẶ 58 Quy boạch tuyến (ính 63 3.1 Đình nghĩa quy hoạch tuyến tính 64 3.1.1 Dang chudn tic 2 ee ee 65 3.1.2 Dang chinh tic 2 ee ee 65 3.1.3 Chuyến bài toán quy hoạch tuyến tính bất kỳ về dạng chuẩn tác hay chính tẮC Q Q.Q Q.Q H Q K V va 6ó 3.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất tập nghiệm của quy hoạch tuyến tính 68 3.2.1 Sự tồn tạ nghiệm Q Q Q.Q ẶQ Q.KẶ.ee 68 3.2.2 Tính chất tập nghệm Ặ.c 70 3.3 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình hoc 71 3.4 Phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính dạng chính tác 75 3.4.1 M6 ta hinh hoc cua phương pháp đnhình 77 3.4.2 Cơ sở lý thuyết của phương pháp đơnhình 77 3.4.3 Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính chính tác 89 3.4.4 Công thức đối cơ sở và thuật toán đơn hình dạng bảng 90 3.5 Tìm phương án cực biên xuất phát và cơ sở xuất phái 103 3.5.1 Trường hợp bài toán có dạng chuẩntắc 103 3.5.2 Trường hợp bài toán có dạng chnhtắc 104 3.5.3 Phương pháp đánh thuế hay phương pháp bài toán (M) 112 3.6 Tinh hữu hạn của thuật toán đơn hình 115 3.7 Hiện tuong xoay Vong 2 QC Q Q Q Q Q HQ ke 116 3.8 Đối ngẫu Q Q QC Q LH HQ ng kg nà Na 117 3.8.1 Cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lưi 38.2 Các định lý về đố ngu 120 383 Định lý về độ lệch bù co c 123 284 Một số ứng dụng của lý thuyết đối ngẫu 126 Muc luc II 4 Bài toán vận tải ee 135 135 4.L Bài toán vận tẢi 4.1.1 Mô hình toán học, Q QẶ Q Q Q.Q U ee 135 4.1.2 Sự tồn tại phương án tốiưu 140 4.2 Bang vantdi,chutinh 0 0.0 ee e.ee.een 141 42.1 Bangvantai 2 eeeeee 141 4.2.2 Chutrinh 0 0 ee ee 142 4.3 Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải 146 43.1 Cơsở lýthuYẾt.T.Q Q Q.Q Q e.eQe 147 4.3.2 Thuật toán thế Vị Vy v2 151 4.44 Tìm phương án xuất phát cho bài toán vận tải 157 4.4.1 Phương ph4p géc tay bic (northwest - conner mule) 157 4.4.2 Phuong phdp cuc tiéu chi phi (The least-cost method) .- 159 4.5 Cac bai todn van taimdréng © ee 163 4.5.1 Bài toán không cân bằng thu phát 163 4.5.2 Bài toán vận tải với ràng buộc bất đỉngthức 168 4.5.3 Bài toán lập kho nhận hàng 170 4.5.4 Bài toán vận tài có cấm e.s 173 4.5.5 Bài (oán vận tải dạng max 4.5.6 Bài toán phân việc (The personnel-assignment problem) 178 5 Quy hoach nguyén 183 §.1 M@hinhtodnhoc 0.-.2 0.0000 0000.0000 183 52 MétsOvidu 2 0 ee es 185 5.3 Y tưởng của phương pháp nhánh cận 189 5.3.1 Một số khái nệm cơbản 189 5.3.2 Ý tưởng của phương pháp nhánhcận 190 5.4 Thuật toán nhánh cận Land - Doig giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hoàn toàn Q Q.Q Q 2 191 34.1 Tính cận trên Q Q Q Q Q Q 1 22 191 5.4.2 Chianhénh 2 2 es 192 5.4.3 Thuattodn 2 2 QC Q Q Q Q Q Q.2 192 54.4 Vidu 2 ee ee es 194 5.5 Thuật toán nhánh can giai baitodn bal6O-1 204 5.5.1 Công thức tính cận trên của bài toán ba lô (KP) 204 5.5.2 Tính cận trên của bài toán con 207 §.$.3 Thuattodn ee ee 209 S54 Vidu oo es 213 6 Quy hoach phi tuyén 221 6.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc 221 6.1.1 Điều kiện tốiưu Q Ặ Q 2 Ặ 221 IV Muc luc 6.1.2 Phương pháp hướng giảm 225 6.1.3 Phuong phap gradient 2 00 0 2050000 23) 6.1.4 Phuong phap Newton 2 ee 236 6.1.5 Cực tiểu hàm một biến 2 ee 248 6.1.6 Phương pháp tìm kiếm trực tiếp 25 6.2 Bài toán quy hoạch phì tuyến có rằng buộc 256 6.2.1 Điều Kiện tối ƯU Q Q Q Q Q0 HQ Q y ee 257 6.2.2 Phương pháp nhân tử Lagrangc 266 6.2.3 Phuong phdp tuyén tính hóa piai quy hoach l6i 273 6.2.4 Phương pháp hướng có thể giải bài toán cực tiểu hàm trơn với ràng buộc tuyến tính e e.Ặee 278 6.2.5 Phương pháp Frank-Wolfe giải bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính Q.Q Q2 2 vn.n.à v à y2 281 6.2.6 Phương pháp hàm phạt 284 Tài liệu tham khảo i Một số ký hiệu và chữ viết tắt tẬp số thực không gian Eucliđ n chiều z thuộc tập D z không thuộc tạp D tẬp rông hiệu của tập Œ và D hợp của tập Œ và tập D giao của tập C va tap D tích vô hướng của x va y chuẩn Euclid của z giá trị tuyệt đối của z bao afin cha tap £ bao Idi cha tap EF thứ nguyên (hoặc số chiều) của tập * số phần tử của tập X đoạn nối hai điểm z` va x? phần trong của tập X phần trong tương đối của tập X nón lùi xa của tập X nón sinh bởi các véc tơ 0Ì, - ,uẺ nón tiếp xúc với tập X tại điểm z* tập các hướng chấp nhận được của tập X tại +” miền xác định hữu hiệu của ƒ epigraph cha ham f hypograph của hàm ƒ đạo hàm theo hướng của hàm ƒ theo hướng ở tại z° véc tơ gradient của hàm ƒ tại điểm z ma tran Hesse cha ham ƒ tại điểm z dao hàm riêng của ƒ theo biến z; v rankA Các phương pháp tối tu v.đ.k ma trận chuyển vị của ma trận Á Gu ma trận nghịch dao cua ma tran kha nghich A ma tran don vi cap m hạng của ma trận 4 ham Lagrange viết tắt của cụm từ "với điều kiện” viết tắt của chữ "tương ứng” Loi mé dau “Vì thế giới được thiết lập một cách hoàn hao và vì nó là sản phẩm của đấng sáng tạo tỉnh thông nén không thể tìm thấy một cái gì mà không mạng tính chất cực đại hay cực tiểu nào đó." Leonhard Fuler Có nhiều tình huống trong xã hội, từ cuộc sống đời thường đến các hoạt động kinh tế, kỹ thuật, công nghệ và quản lý hiện đại người ta phải quan tâm tới bài toán tìm ra phương án tốt nhất để đạt mục tiêu mong muốn trong những điều kiện ràng buộc nhất định, Đó là các bài foán tổi tu Chính những nô lực nhằm giải các bài toán tối ưu đã góp phần kích thích sự phát triển của Giải tích Toán học thé ky XVU - XVII với sự đóng góp to lớn của những nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại: Fermat', Leibni22, Euler” Tuy nhiên, phải đến những năm 30, 4U của thế kỷ XX, Quy hoạch toán hoc (Mathematical Programming) hay con gọi là Toán Tối uu (Optimization) mới hình thành với tư cách là một lý thuyết độc lập với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau: đầu tiên là Quy hoạch tuyén tinh (Linear Programming), tiép dé 14 Quy hoạch 14i (Convex Programming), Quy hoạch toàn cục (Global Programming), Ly thuyét diéu khién T6i uu (Optimization Control) Ngày nay, với sự trợ giúp của cuộc cách mạng cóng nghệ thông tin, quy hoạch toán học ngày càng phát triển mạnh mẽ Các phương pháp tối ưu đã được ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ, quản lý, kinh tế, khai thác dữ liệu (data mining) viễn thông, v.v Giáo trình này trình bày các phương pháp tối ưu tiều biểu và có nhiều ứng dụng để giải quyết các bài toán nảy sinh trong thực tế Để nắm được nội dung của giáo trình người đọc chi cần có những kiến thức cơ bản của đạt số tuyến tính và giải tích cổ điển Giáo trình gồm sáu chương Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi cần dùng đến trong các chương sau Mô hình toán hợc 'Pierre De FERMAT (1601 - 1665): Nha toán học Pháp Ông nổi tiếng vẻ những định lý số học (không có chứng minh) được ông ghi bèn lề một cuốn sách Định lý lớn của Fermat “Phương trình 7” + ụ” = z”" không có nghiệm nguyên khi r > 2" mới được chứng mình năm 1995 bởi nhà toán học Anh Andrew Wiles, ?Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 - ¡716): Nhà toán học Đức Cùng với Newron ông được cơi là cha dé của phép tính vi phân và tích phân "Leonhard EULER (1707 - 1783): Nhà toán học và vật lý học người Thụy Sĩ Ông là nhà toán học có nhiều công @inh nhất trong lịch sử Nhà toán học thiên tài người Đức Gauss (1777 - 1855) nói rằng: "Nghiên cứu các công trình của Euler là tường học tốt nhát về những nh vực khác nhau của toán học mà không gì có thể thay Vu