www.vnmath.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm) 1. Cho hàm số 2 1 x y x    có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M. 2. Tìm m để hàm số 2 99yxmx  có cực đại. Câu 2 (2 điểm) 1. Giải phương trình 2012 2012 1005 1 sin x cos x 2  2. Giải hệ phương trình 22 22 11 1 xx yy xyxy        Câu 3 (2 điểm) 1. Chứng minh 93 tan sin ( 3 ), 0; 22 2 xxx x        . Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có 93 tan tan tan sin sin sin 2 ABCABC. 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 44 16yx x x     . Câu 4 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a. 2. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho  0 45 M AN  . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN. Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 222 1abc  . Chứng minh 222 222222 111 5( ) 333 aab bbc cca abc a abc b bca c cab        …………………Hết…………………. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:……………………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC www.VNMATH.com www.vnmath.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm I 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00 2 () ; , 1 1 a MC Ma a a        . 22 33 ''() (1) (1) yya xa   0,25 Tiếp tuyến của (C) tại M có pt 2 32 () (1) 1 a yxa aa     () Tiệm cận đứng 1  có phương trình 1 x   Tiệm cận ngang 2  có phương trình 1 ( 1;1)yI   0,25 1 5 1; 1 a AA a          ,   2 21;1BBa      0,25 115 16 .1.22 216 221 21 IAB a SIAIB a a aa     (không phụ thuộc vào a, đpcm) 0,25 2 Tìm m để hàm số 2 99yxmx   có cực đại 1,00 TXĐ:  , 222 9 '9 ,'' 9(9)9 mx m yy xxx     22 '0 9 9 0 9 9yxmxxmx     22222 00 81( 9) ( 81) 81.9 mx mx xmxmx         (I) 0,25 TH 1. 22 81 9 9 . 9 9 9( )mmmxxxx    nên 2 2 99 '0, 9 xmx yx x    suy ra hàm số đồng biến trên  , không có cực trị. 0,25 TH 2. 1 2 27 9() 81 mIx m      11 22 11 9 ''( ) 0 (9) 9 m yx x xx   là điểm cực tiểu 9m loại 0,25 TH 3. 2 2 27 9() 81 mIx m      22 22 22 9 ''( ) 0 (9) 9 m yx x xx   là điểm cực đại. Vậy hàm số có cực đại  9m   0,25 II 1 Giải phương trình 2012 2012 1005 1 sin x cos x 2  (1) 1,00 www.VNMATH.com www.vnmath.com Đặt  2 sin , 0;1txt. (1) có dạng: 1006 1006 1005 1 (1 ) 2 tt  (2) 0,25 Xét hàm số   1006 1006 () (1 ) , 0;1ft t t t  1005 1005 '( ) 1006[ (1 ) ]ft t t; 1 '( ) 0 2 ft t   0,25  1005 1005 0;1 11 1 (0) (1) 1, min ( ) 22 2 ff f ft       Vậy 1 (2) 2 t 0,25 hay (1) 2 1 sin cos2 0 242 x xxk     (kZ  ) 0,25 2 Giải hệ phương trình 22 22 1 1 (1) 1(2) xx yy xyxy        1,00 ĐK: 1y  . 22 (1) 1 1xy y x   2222 22 2112(1)(1)xxyyy x y x    2 2 22 22 2 2 2 2 (1)(1) 1 1xy y x x y x y y x x y     0,25 Kết hợp với (2) ta được 22 2 22 10 20 2 1 xy x xxy yx xyxy              0,25 2 0&(2) 1 1xyy 22 11 2 2&(2) 3 1 3 33 yx x x x y 0,25 Thử lại ta có 0, 1 x y và 12 , 33 xy thỏa mãn hệ pt Vậy hệ có 2 nghiệm như trên 0,25 III 1 Chứng minh 93 tan sin ( 3 ), 0; 22 2 xxx x        . 1,00 Xét hàm số 9 () tan sin 2 f xxxx trên 0; 2     32 2 22 2 1 9 2cos 9cos 2 (2cos 1)(cos x 4cos 2) '( ) cos cos 2 2cos 2cos x xx x x fx x xx     Vì 2 0; 0 cosx<1 (cos 2) 4cos 0 '( ) 2 x xxfx       cùng dấu với 1 2cos x  . Bảng biến thiên của ( ) f x x 0 3  2  '( ) f x - 0 + () f x 0,25 0,25 www.VNMATH.com www.vnmath.com 3 (3 ) 2   Vậy 93 () tan sin (3 ), 0; 22 2 fx x x x x        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 x   Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên ,, 0; 2 ABC       93 tan sin ( 3 ) 22 AAA    . Tương tự, cộng lại ta được 99 tan tan tan sin sin sin ( ) ( 3 22 ABCABCABC    Kết hợp với A BC   ta có đpcm 0,25 0,25 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 44 16yx x x     1,00 TXĐ:   4;4D  . Đặt 44,0tx xt    . Bình phương ta được 2 82( 4)(4 )8txx    . Dấu bằng có khi x= 4 Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có 2 82( 4)(4 )8( 4)(4 )16txxx x        .D bằng có khi x=0 Do 022 4tt  Khi đó 2 2 81 () 4, 2 2;4 22 t yft t t t t        '( ) 1, '( ) 0 1 f ttft t     (loại) (2 2) 2 2, (4) 0ff. Vậy  4;4 22;4 min min ( ) 0yft     khi x=0,  4;4 22;4 max max ( ) 2 2yft    khi x= 4  0,25 0,25 0,25 0,25 IV 1 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a 1,50 www.VNMATH.com www.vnmath.com C' D' B' C A B D S ,()' B C AB BC SA BC SAB BC AB   () ' ' ( ) 'SC P SC AB AB SBC AB SB      Tương tự ' A DSD 0,25 0,25 .''' .'' .''SABCD SABC SADC VVV 22 .'' 2222 . ' ' '. '. 3 3 9 45 20 SABC S ABC V SB SC SBSBSCSC SA SA VSBSCSBSCSBSC    (1) 22 .'' 2222 . '' '. '. 339 45 20 SADC SADC VSDSCSDSDSCSCSASA VSDSCSDSCSDSC    (2) 0,25 0,25 Do 3 2 11 3 3 32 6 S ABC S ADC a VV aa   0,25 Cộng (1) và (2) theo vế ta được 33 .'' .'' .''' 33 99 9 333 . 20 20 10 6 20 33 66 SABC SADC SABCD VV a a V aa    0,25 2 Tìm max và min của thể tích khối chóp S.AMN 1,50 ( Hình vẽ trang cuối) . 1 3 3 SAMN AMN VSa . Đặt , B MxDNy   ;   ,0; x ya  Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP BM x     , A BM ADP AM AP BAM DAP  0,25       00 0 45 45 45 M AN BAM DAN NAP DAP DAN 11 .() 22 MAN PAN M AN PAN S S AD PN a x y       (*) 0,25 Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được 222 2 2 2 ()()() M NMCCN xy ax ay 0,25 22 22 22 2 222() x yxyaxaxayayxyaxya     0,25 www.VNMATH.com www.vnmath.com 2 aax y x a    Thế vào (*) ta được 2 1 () 2 MAN aax Sax x a    Đặt 22 2 2 2 2 () '() . 22() ax a ax ax a fx f x xa xa       '( ) 0 ( 2 1) f xx a  . 0,25 2 (0) ( ) 2 a ffa, 2 (( 2 1) ) ( 2 1)faa    2 0; max ( ) 2 a a fx,  2 0; min ( ) ( 2 1) a fx a   Vậy 3 . 3 max 6 SAMN a V  khi , , M BN C M CN D        3 . 3( 2 1) min 3 SAMN a V   khi (2 1)MB ND a   0,25 V 222 222222 111 5( ) 333 aab bbc cca abc a abc b bca c cab        1,00 ,0 x y ta có 2 22 2 2 22 2 x x yxyxxyy xy y    0,25 222 222 22 22 1( 1) 2( 1) ( 3 3 3 aab aab aab a abc aabc aabc      22 22 222 22 22() 2 ab acab abc ac    0,25 2 2 2 2222222222 5 3 2 (10)( ) 220 a b c aaaaabbbcc    2 () 532 25 25 aaaaabbbcc abc     0,25 Tương tự, cộng lại ta được 222 222222 111 5( ) 333 aab bbc cca abc a abc b bca c cab        Đẳng thức xảy ra 1 3 abc 0,25 www.VNMATH.com www.vnmath.com x y x 45 0 A D B C M N P www.VNMATH.com . www.vnmath.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2. của giám thị 2:……………………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC www.VNMATH.com www.vnmath.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm I. là các số thực dương thỏa mãn 222 1abc  . Chứng minh 222 222222 111 5( ) 333 aab bbc cca abc a abc b bca c cab        …………………Hết…………………. Họ và tên thí sinh: ………………………………Số