S Ở GIÁO DỤC - ĐÀO T ẠO THÁI NGUYÊN K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề Bài 1: (4 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:   2cos 6 sin 2 x f x x   trêm đoạn   0;  . b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có: 5 10 sin sin 6 sin 4 A B C   Bài 2: (4 điểm) Cho đường tròn (O, R) và hai điểm P, Q cố định. P nằm ngoài (O), còn Q là điểm nằm trong (O). Dây cung di động AB của (O) luôn qua Q. PA, PB lần lượt giao lần thứ hai với (O) tại C và D. Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình     2 2 2 5 8 4 13 1 2 1 x y xy x y x x y                Bài 4: (4 điểm) a) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau? b) Tính tổng: 1 2 2 3 3 2 2 .2 2 .3 2 . n n n n n n S C C C nC      Bài 5: (4 điểm) Giải phương trình: sin 2011 cos2011 x x   Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012 Bài 1: (4 điểm) a) Đặt   sin 0;1 2 x t t   ta có hàm số     2 2 1 1 6 f t t t    Khảo sát hàm số trên đoạn   0;1 ta được       6 5 10 min 0; max arcsin 4 4 f x f f x f              b) Ta có sin sin 6 sin 2 os os 6 sin 2 os 6 sin 2 2 2 C A B C A B C c c C c C        2 2 2 1 3 5 10 10 os sin 10 os os 2 2 2 2 2 2 4 C C C C c c c                    . Đẳng thức khi A = B,… Bài 2: (4 điểm) Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua I PQ CD   điểm cố định. Bài 3: (4 điểm) Hệ phương trình viết thành       2 2 2 5 5 3 13 1 1 x y x y x y x y x y x y                    Đặt a x y b x y        và đặt 1 , 2 a u u a     Ta được hệ 2 2 5 3 23 1 u b u b        Ta tìm được 2 1 1 u b a       . Từ đó hệ có nghiệm duy nhất     , 0,1 x y  Bài 4: (4 điểm) a) Số có dạng 01 ab cd với giao hoán các chữ số theo giả thiết là 5 4 2 P P  số. Vậy số các chữ số phải tìm là   6 5 5 4 ( ) 2 P P P P    số. b) Xét khai triển   1 1 n x      và đạo hàm hai vế của nó, ta có được           1 2 1 2 2 1 1 2 1 . 1 n n n n n n n x x x C x C n x C           , từ đó có 1 2 .3 n S n   Bài 5: (4 điểm) Từ sin 2011 1, os2011 1 x c x    và ; k Z Q    ta được nghiệm duy nhất 0 x  . Hết PTDT NT. . GIÁO DỤC - ĐÀO T ẠO THÁI NGUYÊN K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề Bài. Giải phương trình: sin 2011 cos2011 x x   Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012 Bài 1: (4 điểm). C x C n x C           , từ đó có 1 2 .3 n S n   Bài 5: (4 điểm) Từ sin 2011 1, os2011 1 x c x    và ; k Z Q    ta được nghiệm duy nhất 0 x  . Hết PTDT NT.