Bài tập nguyên hàm tích phân

Thông tin tài liệu

Bài tập vận dụng cao nguyên hàm tích phân có lời giải chi tiết là tài liệu bổ tích cho học sinh ôn thi đại học đạt kết quả cao. Tài liệu mong sẽ góp một phần nào đó vào điểm số của học sinh. Với hơn 100 bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tích phân.

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x 1 Câu 1: Cho a là số thực dương Biết rằng F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e lnax   thỏa mãn  x 1 F    0 và F 2018  e Mệnh đề nào sau đây đúng ?2018 a 1   1 C a 1;2018 D a2018; A a ;1 B a0;   2018   2018 Lời giải: Chọn A x  1  x ex I   e  ln ax   dx   e ln ax dx   dx (1)  x x  Tính  ex ln ax  dx : 1 u  ln ax du  dx x ex Đặt  x   x   e ln ax  dx  e ln ax    dxx dv  e dx v  ex  x  Thay vào (1), ta được: F  x  ex ln ax  C  1 1  C  0  F    0 ea ln1 C  0 a e Với   a   2018 e2018 ln a.2018  C  e2018 ln a.2018 1 2018 F 2018  e  1   Vậy a ;1  2018  Câu 2: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x  f x  x1 Biết e 1 ln 2  f  x dx  a ln 2  b ln 3 a;b   Tính P  a b ln 2 A P  1 B P  2 C P  1 D P  2 2 Lời giải: Chọn A ln 2 Gọi I   f  x dx  ln 2 Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: Với x  ln 2  t  ln2 ; Với x  ln 2  t  ln 2  ln 2 ln 2 ln 2 Ta được I    f t  dt   f t  dt   f xdx  ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Khi đó ta có: 2I   f  x dx   f x dx    f  x  f x dx   x dx  ln 2 ln 2  ln 2 ln2 e 1 ln 2 1 x x Xét  x dx Đặt u  e  du  e dx ln2 e 1 Đổi cận: Với x  ln 2  u  1 ; x  ln 2 u  2 2 ln 2 1 ln 2 ex ln 2 1 du Ta được  x dx   x x ln2 e 1 ln2 e e 1 dx   ln 2 u u  1 ln 2  1 1  2      du  ln u  ln u 1  1  ln2 ln 2  u u  1  2 Vậy ta có a  1 , b  0  a  b  1 2 2 x    Câu 3: Cho f  x  2 trên  ;  và F  x là một nguyên hàm của xf  x thỏa mãn F 0  0 Biết cos x  2 2    a   ;  thỏa mãn tan a  3 Tính F a 10a  3a 2  2 2 A  1 ln10 B  1 ln10 C 1 ln10 D ln10 2 4 2 Lời giải: Chọn C Ta có: F  x    xf  x  dx   xd f  x  xf  x   f  x dx Ta lại có:  f  x dx   cos2 x xdx = xd tan x  x tan x   tan xdx  x tan x   sin x cos x dx  x tan x   1 cos x d cos x  x tan x  ln cos x  C  F  x  xf  x  x tan x  ln cos x  C Lại có: F 0  0  C  0 , do đó: F  x  xf  x  x tan x  ln cos x  F a  af a  a tan a  ln cos a Khi đó f a  2 a  a 1  tan2 a  10a và 2 1  1 tan2 a  10  cos2 a  1  cos a  1 cos a cos a 10 10 Vậy F a 10a2  3a  10a2  3a  ln 1 10a2  3a  1 ln 10 10 2 Câu 4: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , f  x và f  x đều nhận giá trị dương trên đoạn 1 2 1 1 3 0;1 và thỏa mãn f 0  2 ,   f  x  f  x 1 dx  2 f  x f  x dx Tính   f  x dx 0  0 0 A 15 B 15 C 17 D 19 4 2 2 2 Lời giải: Chọn D f  x f  x 1 dx  0 1 2 1  Theo giả thiết, ta có   f  x  f  x 1 dx  2 f  x  f  x dx 0  0 1 2 1 1 2    f  x  f  x 1 dx  2 f  x f  xdx  0    f  x. f  x  2 0  0 0 1 2    f  x f  x 1 dx  0 0  f  x  f  x   1  0  f 2  x f  x 1  f 3  x  x  C Mà f 0  2  C  8 3 3 Vậy f 3  x  3x 8 1 3 1  3x2 1  19 Vậy   f  x dx   3x  8dx    8x   2 0 2 0 0 Câu 5: Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x  f x   2  2 cos 2x Tính tích phân 3 2 I   f  xdx  3 2 A I 3 B I 4 C I 6 D I 8 Lời giải: Chọn C 3 3 2 0 2 Ta có I   f  x dx   f  x dx   f  xdx 3 3 0 2 2 0 Xét  f  x dx Đặt t  x  dt  dx ; Đổi cận: x   3  t  3 ; x  0  t  0 3 2 2 2 3 3 0 0 2 2 Suy ra  f  x dx    f tdt   f t dt   f xdx 3 3 0 0 2 2 3 3 2 2 Theo giả thiết ta có: f  x  f x  2  2 cos 2x    f  x  f x dx   2  2cos xdx 0 0 3 3 3 2 2 2   f  xdx   f x dx  2  sin x dx 0 0 0 3 3 3 2 0  2 2   f  xdx   f  xdx  2sin x dx  2  sin x dx   f  x dx  6 0 3 0 0 3 2 2 Câu 6: Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 0;1 và thoả mãn f  x  8x3 f  x4   x  0 Tích phân 3 x2 1 1 I   f  x dx có kết quả dạng a  b 2 , a, b, c   , a , b tối giản Tính abc c cc 0 A 6 B 4 C 4 D 10 Lời giải: Chọn A f  x  8x3 f  x4   x  0  f  x  8x f 3 3  x4   x 3 x2 1 x2 1 1 1 1 I   f  x dx   8x3 f  x4 dx   x3 dx 1 0 x2 1 0 0 1 1 1 Xét  8x3 f  x4 dx   2 f  x4  d  x4   2 f  xdx  2I 0 0 0 1 x3 dx x2 1 Xét  0 Đặt t  x2 1  t2  x2 1  tdt  xdx Đổi cận x  0 t 1, x  1  t  2 1 x3 2 t2 1tdt  t3 2 2 2 dx   Nên  2  t   0 x 1 t  3 1 3 3 1 2 2  2 2 Do đó 1  I  2I     3   I   3 Nên a  2, b 1, c  3 Vậy a  b  c  6 Câu 7: Cho hàm số y  x4  4x2  m có đồ thị Cm  Giả sử Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cm  với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? A m1;1 B m3;5 C m  2;3 D m 5;   Lời giải: Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của Cm  với trục hoành là x4  4 x2  m  0 1 Đặt t  x2 t  0 , phương trình 1 trở thành t 2  4t  m  0 2 Để 1 có bốn nghiệm phân biệt thì 2 phải có hai nghiệm dương phân biệt Điều này xảy ra khi và chỉ khi   0 4  m  0  S  4  0   0m4 3 m  0 P  m  0 Gọi t1 và t2 t1  t2  là hai nghiệm của 2 , khi đó bốn nghiệm (theo thứ tự từ nhỏ đến lớn) của phương trình 1 là x1   t2 , x2   t1 , x3  t1 , x4  t2 Do tính đối xứng của Cm  nên từ giả thiết ta có x3 x4 x4  2x5 8x3  x4   x4  4x2  m dx   x4  4x2  mdx   2x4  8x2  2mdx  0     2mx   0 5 3 0 0 x3 0 x45 4 x43 x45 4 x43    mx4  0    mx4  0 53 53 x45 4 x43 42    mx4  0  3x4  20x4  15m  0 53 Vậy x4 là nghiệm của hệ x44  4x42  m  0 15x44  60x42 15m  0 12x44  40x42  0 4  4  4 3x4  20x4 15m  0 3x4  20x4 15m  0 3x4  20x4 15m  0222 x4  0  m  0 12x44  40x42  0  4 x2  10 Kết hợp điều kiện 3 suy ra m  20 4 3x4  20x4 15m  0  3 92 20 m   9  2  15x 9 Câu 8: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \ 0 và thỏa mãn 2 f 3x  3 f     ,  f  xdx  k Tính x 2 3 3 2 1 I   f   dx theo k 1 x 2 A I   45  k B I  45  k C I  45  k D I  45  2k 9 9 9 9 Lời giải: Chọn A x  1 t 1 Đặt t  2x  dx  1 dt Đổi cận 2 2 x 3 t3 2 1 3 2 Khi đó I   f   dx 21 t  2  15x  2  5x 2 Mà 2 f 3x  3 f      f      f 3x x 2 x 2 3 1 3  5x 2  5 3 1 3 1 3 Nên I     f 3x dx    x dx   f 3x dx  5   f 3x dx (*) 21 2 3  41 31 31 Đặt u  3x  dx  1 dx Đổi cận x  1  u  3 3 x  3 t  9 Khi đó I  5  1 9 f t  dt  5  k   45  k 93 9 9 Câu 9: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  có đồ thị y  f  x cho như hình dưới đây Đặt g  x   2 f  x    x  12 Mệnh đề nào dưới đây đúng A min g  x  g 1 3;3 B max g  x  g 1 3;3 C max g  x  g 3 3;3 D Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g  x trên đoạn 3;3 Lời giải: Chọn B Ta có g  x  2 f  x   x 12  g x  2 f  x  2x  2  0  f  x  x 1 Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của f  x và y  x 1 trên khoảng 3;3 là x  1 Vậy ta so sánh các giá trị g 3 , g 1 , g 3 1 1 Xét  g xdx  2  f  x   x 1dx  0 3 3  g 1  g 3  0  g 1  g 3 3 3 Tương tự xét  g xdx  2  f  x   x 1dx  0  g 3  g 1  0  g 3  g 1 1 1 3 1 3 Xét  g xdx  2  f  x   x 1dx  2  f  x   x 1dx  0 3 3 1  g 3  g 3  0  g 3  g 3 Vậy ta có g 1  g 3  g 3 Vậy max g  x  g 1 3;3 Câu 10: Cho hai đường tròn O1;5 và O2;3 cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường kính của đường tròn O2;3 Gọi  D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ) Quay  D quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành A D O1 O2 C B A V  36 B V  68 C V  14 D V  40 3 3 3 Lời giải: Chọn D Chọn hệ tọa độ Oxy với O2  O , O2C  Ox , O2 A  Oy Cạnh O1O2  O1A2  O2 A2  52  32  4  O1  :  x  42  y2  25 Phương trình đường tròn O2  : x2  y2  9 Kí hiệu  H1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  25   x  42 , trục Ox , x  0 , x  1 Kí hiệu  H2  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  9  x2 , trục Ox , x  0 , x  3 Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H2  xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H1  xung quanh trục Ox Ta có V2  1 4  r3  2  33  18 23 3 1 1   x  43  1 14 Lại có V1    y dx    25   x  4  dx   25x 22  0 0    3  0 3 Do đó V  V2  V1  18  14  40 33 Câu 11: Cho hàm số f  x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0  1 và 1  2 1 1 1 3 3  f  x  f  x   dx  2 f  x f  x dx Tính tích phân   f  x dx : 0 9 0 0 A 3 B 5 C 5 D 7 2 4 6 6 Lời giải: Chọn D 1 2 Từ giả thiết suy ra: f  x f  x 1 dx  0   3   f  x f  x 1 dx  0  1 3 f  x f  x  2.3 2 0  0 Suy ra 3 f  x f  x 1  0  f  x f  x  1  f  x f 2  x  1 3 9 Vì  f 3  x  3 f 2  x f  x nên suy ra  f 3  x  13  f 3  x  13 x  C Vì f 0  1 nên f 3 0  1  C  1 Vậy  f 3  x  1 x 1 3 1 3 11  7 Suy ra   f  x dx    x 1 dx  03  6 0    2 2    2  Câu 12: Cho hàm số f  x xác định trên 0;  thỏa mãn   f  x  2 2 f  x sin  x   d x  Tích phân  2 0  4  2  2  f  x d x bằng 0 A  B 0 C 1 D  4 2   Lời giải: Chọn B  2 2    2     2 Ta có:  2sin  x   d x   1 cos  2x   d x   1 sin 2x d x  4 0  2  0 0  1  2  2   x  cos 2x   2 0 2   2 2    2 2    2  2 Do đó:   f  x  2 2 f  x sin  x   d x  2sin  x   d x    0 0  4   4 2 2 0  2 2   2       f  x  2 2 f  x sin  x    2sin  x   d x  0 0  4  4     2 2 sin  x   d x  0 2  4     f x 0     Suy ra f  x  2 sin  x    0 , hay f  x  2 sin  x    4  4    2 2    2 Bởi vậy:  f  x d x   2 sin  x   d x   2 cos  x    0  4  40 0 0 Câu 13: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên) Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm) A V  1,52m3 B V  1, 31m3 C V  1, 27m3 D V  1,19m3 Lời giải: Chọn A y B Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ x A O A B Theo đề bài ta có phương trình của Elip là x2  y2  1 14 4 25 Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip Gọi S1 là diện tích của Elip ta có S1   ab   1 2   25 5 Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là y  1 5 Mặt khác từ phương trình x2  y2  1 ta có y  4 1  x2 14 54 4 25 Do đường thẳng y  1 cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là  3 và 3 nên 5 4 4 3 3 4 4 1 2 1 44 1  x2 dx  3  x   dx   S2    5 4 5 5 3 4 10 3 4  4 3 1  x2 dx Đặt x  1 sin t  dx  1 cos tdt 4 2 2 4 Tính I   3 4 Đổi cận: Khi x   3 thì t    ; Khi x  3 thì t   4 3 4 3   31 1 2 13 1  2 3  Khi đó I   cos tdt   1 cos 2t  dt      2 2 8  8 3 2  3 3 4 1  2 3  3  3 Vậy S2  5 8     3 2      10 15 20   3 Thể tích của dầu trong thùng là V       5 15 20 .3  1,52  Câu 14: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn điều kiện : f 0  2 2, f  x  0,x   và f x.f x 2 2  2 dx   2x 1 dx Tính tích phân  f  x dx 1 f x 1 A 1411 B 114 C 141 D  1411 30 30 30 30 Lời giải: Chọn A Ta đặt 1 f 2  x  t  1 f 2  x  t2  2 f  x f  x  2tdt  f  x f  x  tdt Thay vào ta được :  1 f 2 f  x f  x  dx  x  tdtt   dt  t  C  1 f 2  x  C Do đó 1 f 2  x  C  x2  x ; f 0  2 2  1 2 2   C  0  C  3 2 Ta có : 1 f 2  x  3  x2  x  1 f 2  x  x2  x  3  f 2  x   x2  x  32 1 2 2 Suy ra  f 2  x dx    x2  x  32 2 1 dx    x4  x2  9  2x3  6x2  6x 1 dx 1 1 1

Ngày đăng: 13/03/2024, 20:28

Xem thêm: Bài tập nguyên hàm tích phân

Bài tập nguyên hàm tích phân

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan