Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 4. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 4 của môn đại số tuyến tính
Chương (tt): TẬP SINH – CƠ SỞ – SỐ CHIỀU *B tập sinh V (V= VD1: B 1, 0, 0;0,1, 0;0, 0,1 R3 (hay B sinh V) * v v1, v2, v3 R3 B u1,u2 , ,un,ui V , i 1, n n v c1u1 c2u2 c3u3 v V v ciui v1, v2, v3 c1 1, 0, 0 c2 0,1, 0 c3 0, 0,1 i 1 c1 v1, c2 v2 , c3 v3 v v1u1 v2u2 v3u3 *B sở V B tập sinh R3 B tập sinh V 1 0 B : ÐLTT B ĐLTT * A 0 A Nvector *Số chiều V 0 dim V = số vector B (một số không đổi) Vậy: B sở R3 với dim B = n B u1 1, 0, , 0;u2 0,1, , 0; ;un 0, 0, ,1 R n dim R n VD2: B u0 1,u1 x,u2 x2 , ,un xn Pn x * f x a0 a1x a2 x3 an xn Pn x, (a0, a1, , an R) 0 f x c0u0 c1u1 c2u2 cnun A . a0 a1x a2 x3 an xn c0 c1x c2 x3 cn xn c0 a0 , c1 a1, c2 a2 , , cn an 0 B tập sinh Pn(x) * c0u0 c1u1 c2u2 cnun 0V c0 c1x c2 x3 cn xn 0V A n 1 Nvector c0 c1x c2 x23 cn xn 0x 0x23 0xn c0 0, c1 0, c2 0, , cn B ĐLTT Vậy: B sở Pn(x) với dim B = n + Tính chất sở & số chiều *dimV n số không đổi Nvector dimV S PTTT *B u1, , un sở V S hệ sinh V *Nvector dimV v V , v c1u1 cnun S sở V c1, , cn Nvector dimV S ĐLTT VD3: Chứng minh VD4: Chứng minh VD5: Xác định m để thỏa điều kiện tập sinh VD6: Tập sở R3 ? VD7: Tập sở R3 ? 6.a) dim M = < nên M khơng sở R3 a) 6.b) dim M = > nên M khơng sở R3 b) 6.c) dim M = nên M sở R3 c) S3 1,1,1,1,1, 2,1, 2,3 M ĐLTT VD8: Định m để tập 1 3 không sở R3 det M : PTTT M không sở R3 a) V 2,1, 1,3, 2,5,1, 1, m b) 6.d) dim M = nên M sở R3 M ĐLTT c) B 2,1, 1,4, 2, 2,1, m 1, m d) C 2,1, m,0, 2,1,1, m 1, m 1 3 det 2 5 M : ÐLTT M sở R3 2 CƠ SỞ & SỐ CHIỀU CỦA KGVT CON VD9: Cơ sở & số chiều kgvt W SV tự kiểm tra lại W1 kgvt R4 Chứng minh W kgvt tập sinh W1 Xác định số biến tự vector B1 1 h2 h1h2 1 x W Biểu diễn tọa độ x theo 1 1 1 2 1 biến tự B Nvector B : ÐLTT Biểu diễn x dạng tổ hợp tuyến tính Vậy: B sở W1 biến tự do, sau tìm dim W1 = tập sinh B Chứng minh tập sinh B ĐLTT, sau kết luận B sở Số chiều kgvtc số vector B VD10: Tìm sở & số chiều kgvt a) W1 x1, x2, x3, x4 R4 | x1 x2 x3 x4 x1 3x2 5x3 7x4 b) W2 x1, x2, x3,0 R4 4 f ) W6 x1, x2 , x3, x4 R | 2x1 4x3 2x4 3x1 2x2 8x3 x4 0 c) W3 x1, x2, x3, x4 R4 | x1 x2 x3 g) x1 x2 2x3 d ) W4 x1, x2 , x3, x4 R | x1 x2 2x4 x3 x1 x2 h) e) W5 x1, x2 , x3, x4 R | x4 x1 x2 TỌA ĐỘ – MA TRẬN CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ c11 c1n B u1, ,un sở V sở B B u1, , un, B ' u '1, ,u 'n PBB' sở B c c n1 nn v V v c1u1 cnun ma trận chuyển sở vB c1 cn u '1 c11u1 c21u2 cn1un từ B sang B’ vector tọa độ v vB PBB' vB' u 'n c1nu1 c2nu2 cnnun c1 vB PBB' B1B ' c Chú ý: đưa B B’ dạng ma trận cột n PB'B PBB' 1 B1B '1 B '1 B ma trận tọa độ V PBE PBF PF E VD VD11: B u1 0,1,u2 1,1 c11 01 1 1 v 2,3,vB ?, vB ? * B e1 1, 0, e2 0,1 vB PBE vB 1 c21 1 1 1 c12 01 1 4 14 c1 1 * VVDD12:: E u1 1,1,u2 2, 3 c22 1 3 3 1 3 11 c2 1 4 1 2 vE , PBE ?, vB ? 5 03 2 1 1 1 1 PBE B1E vB 1 2, vB 1 3 1 3 2 TÍNH CHẤT c1 c '1 x y c1 cn c 'n PBB' PBB' 1 xB PB'B PBB' 1 c1 c '1 cn PBB '' PBB '.PB 'B'' x yB c '1 c c' y n n B c1 c 'n xB cn VD13: V VD14: U Chương 4: KHÔNG GIAN EUCLIDE Không gian hữu hạn chiều tồn tích vơ hướng khơng gian Euclide Tính chất u, v x1 y1 xn yn u 0 u, v, w V , R u u, u x12 xn2 u u 0V u x1, , xn u u Tích vơ hướng duv v u v u, v u u,v u v u,v v y1, , yn y1 x1 2 yn xn 2 u v u v u, v v,u u, v cos u.v u w, v u, v w, v Hệ vector trực chuẩn u, v v,u , R ui , u j ui u j , i, j & i j S u1,u2, ,un ui 1,i u,u 0, u,u u 0V 11 u, v v,u VD15: Chứng minh u u1,u2 , v v1, v2 R2 u w, v u, v w, v u, v v, u , R tính tích vơ hướng a) u, v u1v1 2u1v2 2u2v1 10u2v2 u 1, 2, v 3,5 u, v ? u, u 0, u, u u 0V u v u1v1 2u1v2 2u2v1 10u2v2 1) u v u u VD16: u u v1u1 2v1u2 2v2u1 10v2u2 Chứng minh hệ vector trực chuẩn 2) u w v u1 w1 v1 2u1 w1 v2 2u2 w2 v1 10u2 w2 v2 1 1 u1v1 2u1v2 2u2v1 10u2v2 w1v1 2w1v2 2w2v1 10w2v2 b) S u1 , 0, ,u2 , , uv wv 2 3 3) u v u1 v1 2u1 v2 2u2 v1 10u2 v2 u1 * u1 u2 0 u 0, 0 u1v1 2u1v2 2u2v1 10u2v2 u v u2 * u1 ÐPCM 4) u u u1u1 2u1u2 2u2u1 10u2u2 u12 4u1u2 10u22 u1 2u2 2 6u22 0, u1,u2 R u1 2u2 * u2 u u 0 u2 * u v u1v1 2u1v2 2u2v1 10u2v2 1.(3) 2.1.5 2(2).(3) 10.(2).5 81 12 VD17: Tích vơ hướng Chứng minh tích sau tích vơ hướng u x1, x2 , x3 , v y1, y2 , y3 u x1, x2 , v y1, y2 Tích vơ hướng ? a) b) u, v x1 y1 x2 y2 x3 y3 u, v x1 y1 2x2 y2 f ) u, v x1 y1 x3 y3 g ) u, v x12 y12 x22 y22 x32 y32 u a0 a1x a2 x2 x,v g x h) u, v 2x1 y1 x2 y2 4x3 y3 u f i) u, v x1 y1 x2 y2 x3 y3 c) v b0 b1x b2 x d) b u, v a0b0 a1b1 a2b2 u,v a f x g x dx x1 x2 y1 y2 u ,v e) x3 x4 y3 y4 u, v x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 CHUYỂN ĐỔI CƠ SỞ (Gram-Schmidt) VD18: Tìm sở trực chuẩn sở sau Cơ sở tổng quát S u1 0,1, 1,u1 1, 2, 0,u3 2,1,1 S u1, u2 , , un v1 u1 v1 u1 0,1, 1 u2 , v1 v2 u2 v1 v2 u2 u2, v1 v1 1, 2, 0 0,1, 1 v1, v1 v1, v1 u3, v1 u3, v2 1,1,1 v3 u3 v1 v2 v1, v1 v2 , v2 v3 u3 u3, v1 v1 u3, v2 v2 v1, v1 v2 , v2 2,1,1 0.0,1, 1 0.1, 2, 0 2,1,1 giao vn un un , v1 v1 un , vn1 vn1 Cơ sở trực chuẩn v1, v1 vn1, vn1 S 0,1, 1,1,1,1,2,1,1 S v1, v2, , vn v1 1 v2 1 e1 0, , , e2 , , v1 2 v2 3 e1 v1 , e2 v2 , , en v1 v2 v3 1 e3 , , can Cơ sở trực giao chuan v3 5 Se e1, e2, , en 1 1 1 Se 0, , , , , , , , 2 3 5 14 VD19: Trong R2/R3 có tích vơ hướng Euclid VD20: 1 1 x , Áp dụng phương pháp G-S biến 5 sở thành sở trực chuẩn Cho 2 3 a) S1 u1 1, 3,u2 2, 2 y , 30 30 Chứng minh x y khơng trực chuẩn theo tích b) S2 u1 1, 0,u2 3, 5 vô hướng Euclid, trực chuẩn theo tích vô hướng = 3u1v1 + 2u2v2 u1 1,1,1, u2 1,1, 0, VD21: Cho S u1 1,1,1,u2 1,1,0,u3 1,0,0 c) S3 u3 1, 2,1 u, v u1v1 2u2v2 3u3v3 Áp dụng phương pháp G-S để đưa S dạng trực chuẩn với tích vơ hướng cho S 1, x, x2 VD22: Trong P2 cho p, q 1 p x q x dx u1 1, 0, 0,u2 3, 7, 2, d) S4 Áp dụng phương pháp G-S để đưa S dạng u3 0, 4,1 trực chuẩn với tích vơ hướng cho