Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 3. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 3 của môn đại số tuyến tính
Chương 3: KHÔNG GIAN VECTOR : V V V V xy V x, y x y Một tập V khác rỗng có ** : V V hai phép toán: cộng nhân *y * x x , x x 0V : phần tử trung hòa (duy nhất) -x : phần tử đối (duy nhất) 1) x, y V x y V 1: vô hướng đơn vị phần tử đơn vị trường K x V x, y V 2) x V 7) x y xy 3) x, y V x y y x x V 4) x, y, z V x y z x y z 8) x x x , 0V V 5) x 0V 0V x x x V x V 9) x x , x V 6) x x x x 0V 10) x V 1.x x x V VD1: V u u R (1) Với x, y, zV (2) Kiểm tra 1),…,10) (3) Thỏa V KGVT có R - phần tử trung hòa 0V = , R - phần tử đối u -u Các phép cộng nhân thông thường R VD2 : V u x, y x, y R,V R2 (1) Với u1 x1, y1 ,u2 x2 , y2 ,u3 x3, y3 V R (2) Kiểm tra Các phép cộng nhân , R thông thường vector chiều R V KGVT có (3) Thỏa 1),…,10) x V 6) x x x x 0V - phần tử trung hòa 0V = (0, 0) 1) x, y V x y V x V - phần tử đối u (x, y) –u=(-x, -y) x V x, y V Rn không gian vector 2) x V 7) x y xy V u x1, , xn | x1, , xn R 0V 0, , 0 3) x, y V x y y x x V u x1, , xn x x x 8) 4) x, y, z V x y z x y z , 0V V x V 5) x 0V 0V x x 9) x x x V , 10) x V 1.x x VD3: V a bx cx2 a,b, c R, V P2 x (1) f1 x a1 b1x c1x2 V f2 x a2 b2 x c2 x2 V , bi ,ci R (2) Các phép cộng nhân đa thức f3 x a3 b3x c3x2 V i 1, 2,3 thông thường R , R 0V a,b, c 0, 0, 0 0 V P2 x (3) u a, b, c KGVT 1),…,10) 1) f1 f2 a1 a2 b1 b2 x c1 c2 x2 V 5) f1 0V a1 0 b1 0 x c1 0 x2 f1 2) f1 a1 b1 x c1 x2 V 6) f1 f1 a1 a1 b1 b1 x c1 c1 x2 3) f1 f2 a1 a2 b1 b2 x c1 c2 x2 0x 0x2 0V a2 a1 b2 b1 x c2 c1 x2 f1 f2 1) x, y V x y V x V Pn x không gian vector 6) x x x x 0V x V x V i n 2) x V x, y V V x R, i 1, n, V Pn x 7) x y xy 3) x, y V x y y x x V i0 8) x x x 4) x, y, z V x y z x y z , x V 0V a0 , , an 0, , 0 0, u a0 , 3., an 0V V 9) x x 5) x 0V 0V x x , x V 10) x V 1.x x a b VD4: V a,b, c, d R, V M R 1) x, y V x y V c d x V Các phép cộng nhân ma trận thông thường R 2) x V 3) x, y V x y y x 4) x, y, z V x y z x y z x1 y1 u1 V ; x1, y1, z1, t1 R 0V V z1 5) x 0V 0V x x x2 t1 x V u2 y2 z2 x V x3 V ; x2 , y2 , z2 , t2 R 6) u3 t2 x x x x 0V z3 y3 V ; x3, y3, z3,t3 R x V t3 x, y V 7) x y x y x V 8) x x x , x V 9) x x 0 0 a b , 0V M R không gian vector u 10) x V 1.x x 0 0 c d M mn R không gian vector Kiểm tra tập sau có KGVT không 1) x, y V x y V VD5: V x x R (Yes) VD6: V x x Q (No) x V K Q K R 2) x V 3) x, y V x y y x VD7: V x1, x2, x3 xi R,i 1,3 x1 x2 x3 0 (Yes) 4) x, y, z V x y z x y z 0V V VD8: V x, y, z x, y, z R (No) 5) x 0V 0V x x x V pc () : x, y, z x ', y ', z ' x x ', y y ', z z ' x V pn (.) : x, y, z x, y, z 6) x x x x 0V x V x, y V 7) x y x y x V VD9: V x1, x2 x1, x2 R x1 0, x2 0 (Yes) 8) x x x , pc () : x, y x ', y ' xy, x ' y ' x V 9) x x , pn (.) : x, y x , y 10) x V 1.x x Kiểm tra tập sau có KGVT không 1) x, y V x y V VD10 : V u x1, x2, x3 R3 | x1, 2x2 x3 0 x V VD11: V u x1, x2 R2 2) x V pc() : x1, x2 y1, y2 x1 y1, x2 y2 pn(.) : x1, x2 x1, x2 3) x, y V x y y x VD12 : V u x1, x2 R2 4) x, y, z V x y z x y z pc() : x1, x2 y1, y2 x1 y1, x2 y2 0V V pn(.) : x1, x2 x1, 0 5) x 0V 0V x x x V VD13: x V 6) x x x x 0V x V x, y V 7) x y x y x V 8) x x x , x V 9) x x , 10) x V 1.x x VD14: V (NO) VD15: V VD16: V (NO) (YES) VD17: V x, y, z R3 (NO) VD18: V x, y, z R3 (NO) x, y, z x ', y ', z ' x x ', y y ', z z ' x, y, z x ', y ', z ' x x ', y y ', z z ' k x, y, z kx, y, z k x, y, z 0, 0, 0 VD19: V x, y R2 VD20: V x, y R2 x, y x ', y ' x x ', y y ' x, y x ', y ' x x '1, y y ' 2 k x, y 2kx, 2ky k x, y kx, ky VD21: (NO) VD22: (YES) KHÔNG GIAN VECTOR CON W không gian vector V W W V VD1: Chứng minh W KGVT R3 x, y W x y W W x1, x2 , x3 R3 x1 x2 x W , R x W * u 2,1, 0 W W u1 x1, x2 , x3 W x1 x2 * W R3 * u1 x1, x2 , x3 W x1 x2 R * u1 x1, x2, x3 x1 x2 22 x2 u2 y1, y2, y3 W y1 y2 u1 u2 x1 y1, x2 y2 , x3 y3 u1 W x1 y1 x2 y2 x2 y2 Vậy W KGVT R3 u1 u2 W VD121: W x1, x2, x3 R3 x1 x2 0 VD132:: W x1, x2, 0 x1, x2 R * u 1,1, 0 W W * u 0, 0, 0 W W * W R3 * W R3 u1 x1, x2, x3 W x1 x2 u1 x1, x2 , 0 W x1, x2 R * * u2 y1, y2 , y3 W y1 y2 u2 y1, y2, 0 W y1, y2 R u1 u2 x1 y1, x2 y2 , x3 y3 u1 u2 x1 y1, x2 y2 , 0 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 x1, y1 R x1 y1 R u1 u2 W x2 , y2 R x2 y2 R u1 u2 W u1 x1, x2, x3 W x1 x2 u1 x1, x2 , 0 W x1, x2 R * R * R u1 x1, x2, x3 x1 x2 x1 x2 u1 x1, x2 , 0 u1 W x1, R x1 R x2 , R x2 R Vậy W KGVT R3 u1 W Vậy W KGVT c9ủa R3 VDD143: W x1, x2, x3 R3 2x1 x2 x3 0 VD5 : W x1, x2, x1x2 R3 x1, x2 , x3 R3 | x3 x1x2 * u 0, 0, 0 W W * u 0, 0, 0 W W * W R3 * W R3 u1 x1, x2 , x3 W 2x1 x2 x3 u1 x1, x2 , x1 x2 W x1, x2 R * * u2 y1, y2 , y3 W y1 y2 y3 u1 u2 x1 y1, x2 y2 , x3 y3 u2 y1, y2 , y1 y2 W y1, y2 R 2 x1 y1 5 x2 y2 3 x3 y3 u1 u2 x1 y1, x2 y2 , x1 x2 y1 y2 2x1 x2 x3 2 y1 y2 y3 x1 y1 x2 y2 u1 u2 W x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 x1 x2 y1 y2 u1 u2 W u1 x1, x2, x3 W 2x1 x2 x3 Vậy W không KGVT R3 * R 10 u1 x1, x2 , x3 2 x1 5 x2 3 x3 2x1 x2 x3 u1 W Vậy W KGVT R3 Không gian vector Rn ? VD15: W x1, x2 R2 x1 x2 (Yes) VD16: W x1, x2 R2 3x1 x2 5 (No) VD17: W x1, x2, x3 R32 x1 x2x3 0 (No) 32 x1 3x2 x3 0 VD18: W x1, x2 , x3 R (Yes) 2x2 x3 11 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH n ci R, i 1, n Tổ hợp tuyến tính: v c1u1 c2u2 cnun ciui ; i 1 n Độc lập tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính ciui 0V i 1 Nếu hệ S u1,u2 , ,un ĐLTT hệ ĐLTT Hệ S có chứa hệ PTTT S PTTT Hệ S PTTT tồn vector ui THTT vector lại 12 v 4,3 v c1u1 c2u2 u 1, 1 c1 1, 1 c2 2,5 4,3 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH u 2,5 1.c1 2.c2 1 c1 1.c1 5.c2 1 c2 Gauss-Jordan c1u1 c2u2 cnun v U.C V X A1B u1,1 u2,1 un,1 c1 v1 U u1,2 u2,2 un,2 , C c2 , V v2 Cramer . . . u1,n u2,n un,n cn v 2, 0, 6 u1 1, 2,3 1 c1 VD1: 2 3 c2 u2 1, 4, 5 5 c3 u3 2, 3, 7 13 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH Tìm tổ hợp tuyến tính Tìm m để x tổ hợp tuyến tính vector lại v 3,5 v 2,9 VD6: VD7: VD2 : u1 2,1 VD3 : u1 3, 2 u2 1,3 u2 1,3 VD4 : v 1,1,9 VD5 : v 1,1,1 VD8: u1 1,1,1 u1 1, 2,1 VD9: u2 2,1, 4 u2 1,1, 3 u 3,1, u 2, 2, 4 3 3 14 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH & n VD10: PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH ciui i 1 HẠNG CỦA ĐỊNH THỨC * 1 1 1 HỆ VECTOR A 2 4 2 2 2 u1 u2 un 2 0 0 0 1 0 0 0 u1 n A n PTTT A 2 A u2 un * 2 1 2 B Bi det B det 1 0 * ci ÐLTT Có n vector Bi 0 B 4 tìm ρ(A) 1 + ρ(A) = n ĐLTT B Vô số PTTT 2 + ρ(A) < n PTTT * có cột Bi 0 nghiệm det Bi 0, (i 1, , n) i 1, , n Vậy: hệ có vơ số nghiệm PTTT 15 ĐLTT PTTT Rn ? m = ? ĐLTT PTTT VD11: VD17: 1, 4,3,3, 2,5,2, 3, m VD12: VD18: 1,3, m,1, 2,1,0,1,1 VD13: VD14: VD19: 1, 2, 3, 2,4,1,3, 2, 16,9,1, 3,m, 4, 7, 7 VD15: VD16: VD20: 4, 4, 2,8; 3,1, 0, 4; 2, 4, 4, 6; u4 (4, 9, 2, m 1) 16 VD21: VD22: 17