Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 2. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 2 của môn đại số tuyến tính
Chương (tt): ĐỊNH THỨC det(A) Định thức ma trận vuông A kí hiệu * Ma trận vng cấp 1: * Ma trận vuông cấp 3: định thức cấp định thức cấp A aij 11 a11 det A a11 a11 a12 a13 A aij 33 a21 a22 a23 a a 31 a32 33 * Ma trận vuông cấp 2: det A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 định thức cấp a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a11 a12 A aij 22 a21 a22 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 det A a11a22 a12a21 a a 31 a32 a33 a31 32 l1 Định lý Laplace Định thức ma trận vuông A cấp n aij a11 Có thể chọn hàng tính theo cơng thức sau (cột) để khai triển Khai triển theo dòng a11 a12 a13 a22 a23 a21 a22 a23 Aij A11 n a a a ik 31 32 33 a32 a33 det A 1 aik Mik k 1 Khai triển theo cột aij a12 a11 a12 a13 n k j det A 1 akjM kj 1k a21 a22 a23 a21 a23 aij : phần tử ma trận A a a a Aij A12 31 32 33 a31 a33 aij a13 1i j Mij : phần bù đại số a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 Mij det Aij a a a Aij A13 31 32 33 A : ma trận ma trận A a31 a2 32 ij Slide levansang, 9/14/2022 l1 3 11 1 *A det A 1 1.det 5 1 3.det 2 11 2 3 21 22 *A det A 1 2.det 3 1 5.det 1 11 2 3 11 21 *A det A 1 1.det 5 1 2.det 3 11 2 3 12 22 *A det A 1 3.det 2 1 5.det 1 11 2 1 1 det A 1.5.1 2.6.3 3.4.2 A 5 6 5 3.5.3 1.62 2.4.1 2 2 36 24 45 12 6 1 *det A 5 6 111 1 5 6 112 6 113 5 6 2 31 2 2 1 *det A 5 6 121 122 5 1 123 6 1 6 2 31 2 2 1 *det A 5 6 112 6 122 5 1 132 2 1 6 31 31 6 2 1 2 15 15 1 1 5 3 0 0 111 0 0 1 3 2 0 1 1 1 1.0.1 5.0.11.0.3 1.0.11.0.3 5.0.1 1 2 3 3 3 3 5 3 2 0 2 112 2 0 2 0 2 0 1 1 1 3.0.1 5.0.2 1.2.3 1.0.2 3.0.3 5.2.1 160 1 1 2 3 1 3 1 3 1 3 3 113 2 0 2 0 2 0 2 2 0 1 1 1 2.3.0.1 1.0.2 1.2.11.0.2 3.0.11.2.1 8 1 1 2 3 3 3 3 3 114 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 13 13 13 1 2.3.0.3 1.0.2 5.2.1 5.0.2 3.0.11.2.3 Ma trận nghịch đảo A ma trận khả nghịch A1 CT A không suy biến det A cij 1i j Mij A.B B.A I B ma trận nghịch đảo A B ma trận 1 det A 7 A 1 A1 1/ / A 1 / 1/ 11 12 c11 1 det 1 1, c12 1 det 2 2 1 2 T 1 3 C C 21 22 3 2 1 c21 1 det 3 3, c22 1 det 1 2 1 0 1 0 h2 3h1h2 1 0 1 h1h3 h3 2h1 h3 3 A.A1 A1A I3 A I 0 0 0 0 3 1 0 1 0 0 1 2 1 0 h1h3h1 0 1 1 h3 h3 h2 3h3 h2 3 3 3 I A 1 A1 3 0 1 0 1 1 2 1 A det A A1 CT 3 1 c11 111 1, c12 1 12 3, c13 113 1 1 01 11 c21 121 0, c22 122 1, c23 123 1 3 1 11 10 C 1, c32 132 3, c33 133 1 c31 131 0 30 31 37 Các tính chất (hệ quả) ma trận 1 1 kA A , k det A k A1 1 A Am 1 A1 m Nếu A B khả nghịch 1 1 1 AB B A Các tính chất (hệ quả) định thức Một tính chất phát biểu hàng định thức cịn phát biểu ta thay hàng cột Một định thức có mơt hàng (cột) tồn số khơng Một định thức có hai hàng (cột) khơng Một định thức có hai hàng (cột) tỉ lệ khơng Định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo Khi đổi chỗ hai hàng (cột) định thức ta định thức định thức cũ đổi dấu Khi phần tử hàng (cột) có thừa số chung, ta đưa thừa số chung ngồi định thức Khi nhân phần tử hàng (cột) với số k định thức định thức cũ nhân với k Khi ta cộng hàng (cột) vào bội k hàng (cột) khác ta định thức định thức cũ 10 Khi tất phần tử hàng (cột) có dạng tổng hai số hạng định thức phân tích thành tổng hai định thức 11 det(A) = det(AT) 12 det(AB) = det(A)det(B), A B hai ma trận vuông cấp Đưa ma trận dạng chéo để tính định thức 3 3 3 3 3 * 11 11 * 2 2 11 25 1 5 / 11/ 1 1 1 * 5 6 6 2 10 0 / 1 1 1 * 5 6 4.3 5 / 6 / 4.3 / / 2 2 / 1/ / 10 / 1 1 4.3 24 /12 4.3 24 / 12 6 43 43 30 /12 0 / 12 Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n . x2 b2 AX B a21x1 a22 x2 a2n xn b2 . . am1 am1 amn xn bn am1x1 am2 x2 amn xn bm *Có xi ≠ 0: Nghiệm không tầm thường *Tất xi = 0: Nghiệm tầm thường Gauss-Jordan Phương pháp giải Sử dụng phép biến đổi dòng (ma trận vng, hình chữ nhật) Cramer Sử dụng định thức (chỉ ma trận vuông) 10 Lập ma trận mở rộng, Giải hptt pp Gauss-Jordan đưa dạng bậc thang, tìm hạng *3x y 3 1 5 * n 2, A , B a11 a1n b1 A x 2y 1 4 1 3h2 h1h2 1 A A B A A B A A n a a b A 1 4 0 y 1 7 m1 mn m Hệ p t c ó ngiệm x *x y 1 1 Hệ pt vô ngiệm * n 2, A , B 2x 2y 2 3 Hệ có nghiệm A A A A B 1 1 h2 2h1h2 1 1 A A (định lí Kronecker-Capelli) 2 3 0 1 + Vô nghiệm A A + Nghiệm A A n *x y 1 y t, t R * n 2, A , B + Vô số nghiệm A A n 2x 2y 2 2 1t x 1 h2 2h1h2 1 3 A A B 2 2 0 0 A A 1 n Hệ pt có vô số ngiệm 11 Aj Giải hptt pp Cramer xj A AX B 3x y 1 5 B *x 2y 4 A , B BB B 1 4 a1n a11 a12 a1 j a2n A 1 7 hệ pttt hệ Cramer a21 a22 a2 j (có nghiệm nhất) ain 12 A ai1 ai2 aij ann 1 14 x Ax 2, 35 Ay Ax Ay y A an1 an2 anj A *x y 1 1 1 A , B 2x 2y 2 3 1 1 hệ pttt vô nghiệm A 2 0, Ax 2 A1 A2 Aj An *x y 1 1 1 A , B A hệ phương trình tuyến tính hệ Cramer 2x 2y A tất Aj hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm 2 2 2 A có Aj hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm A 1 0, 1 Khi hệ có vơ số nghiệm, ta sử dụng phương pháp Gauss-Jordan để giải 2 Ax 0 2 11 hệ pttt vô số nghiệm Ay 2 12 Hệ nghiệm AX có nghiệm khơng tầm thường số ẩn tự n A * n Có ẩn tự x1, x2 , x3 x1 x2 2x3 x4 A 1 2 1 A nghiệm tổng quát * x1 1, x2 x3 1, 0, 0, 1 Hệ nghiệm x1, x2 , x3, x1 x2 2x3 * x2 1, x1 x3 0,1, 0, 1 1, 0, 0, 1 , 0,1, 0, 1 , 0, 0,1, * 1, 0,1, 0, 1 1, 0, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0, 0,1, 2 * x3 1, x1 x2 0, 0,1, 2 1 3 h2 2h1h2 3 nghiệm tổng quát A h3 3h1h3 Hệ nghiệm 3 * 13 3 2 3 1 h4 h3 h4 3 có ẩn tự x3 n 3 A 0 0 Ví dụ: Định thức, Ma trận ngịch đảo, giải hệ pttt, hệ nghiệm Tính/chứng minh định thức g) f) h) 14 Giải hệ pttt pp Gauss-Jordan, Cramer, ma trận nghịch đảo (X=A-1 B) 3x y a) b) 2x 5y 8 x y 2z t e) 2x y z t 4 x y z 2t c) d) 3x 3y 2z t 7 15 Giải biện luận hệ pttt theo tham số d) 16 Tìm hệ nghiệm a) b) c) 17