Đang tải... (xem toàn văn)
Trang chủ Giáo dục Thứ Ba, 03102023 23:20Tăng giảm cỡ chữ: Theo dõi Luật Minh Khuê trên Google News Số chính phương là gì? Cách nhận biết số chính phương và ví dụ Xem thông tin tác giả Bùi Tuấn An Tác giả:: Bùi Tuấn AnXem thông tin tác giả Luật sư Lê Minh Trường Tham vấn bởi:: Luật sư Lê Minh Trường Số chính phương về bản chất là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Để tìm hiểu và nhận biết số chính phương dễ dàng, mời Quý bạn đọc theo dõi bài viết sau đây của Luật Minh Khuê. Mục lục bài viết 1. Số chính phương là gì? 1.1. Tính chất chia hết của số chính phương 1.2. Số chính phương nhỏ nhất 1.3. Số chính phương lớn nhất 1.4. Hằng đẳng thức để tính hiệu của hai số chính phương 2. Cách nhận biết số chính phương? 3. Một số bài tập vận dụng về số chính phương recommended by TÌM KIẾM QUẢNG CÁO Sài Gòn: Máy tính xách tay chưa bán được đang được bán với giá rẻ TÌM HIỂU THÊM 1. Số chính phương là gì? Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. Với số nguyên bao gồm các số nguyên dương (1, 2, 3,…), các số nguyên âm (1, 2, 3,…) và số 0. Tập các số nguyên được ký hiệu là Z. Tuy nhiên, căn bậc hai của một số chính phương lại chỉ có giá trị là một số tự nhiên, tức là các số nguyên dương. Ví dụ: Số 10 không phải là số chính phương bởi vì căn bậc 2 của 10 bằng 3.16227766017, là một số vô tỷ (thuộc tập I), không phải là số tự nhiên. Số chính phương còn được gọi là số hình vuông vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên mà diện tích hình vuông là hai cạnh nhân nhau (bình phương của 1 cạnh). Số chính phương được chia ra làm 2 loại: Số chính phương chẵn: một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình phương của một số chẵn. Ví dụ: 4, 16, 36... là số chính phương chẵn. Số chính phương lẻ: một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình phương của một số lẻ. Ví dụ: 9, 49, 81... là số chính phương lẻ.
BÀI TẬP CHỦ ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài CMR tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp x ; x +1 ; x+2 ; x +3 Ta có: A=x ( x +1)( x +2) ( x+3 )+ 1=( x2+3 x) ( x2+3 x+2)+ Đặt t =x2+ x +1, ta có: A=(t −1)(t +1)+1=t ⇒ A=( x2+ x +1)2 Vì x ∈ N ⇒ x2+3 x +1∈ N ⇒ A số phương Vậy tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Bài Tìm số ngun n cho n4+n3+n2 số phương Lời giải Đặt A=n4+ n3+ n2 ⇒ A=n2(n2+ n+ 1) +) Nếu n=0 ⇒ A=0 số phương⇒ n=0 thoả mãn +) Nếu n ≠ 0, n2 SCP nên Alà số phương ⇔ n2+ n+1 SCP Đặt n2+n+1=k2 (k ∈ N¿ )⇒ n2+ n+ 4=4 k2 ⇒ (2 n+1)2−(2 k )2=−3 ⇒ (2 n+1−2k )(2 n+1+2 k )=−3 Vì n+1+2 k >2 n+1−2 k nên ta có trường hợp sau: { { Th1: n+ 1−2 k=−3 n+1+2 k=1 ⇒ n=−1 k=1 { { Th2: n+ 1−2 k=−1 n+1+2 k=3 ⇒ n=0 k =1 (Loại) Vậy n ∈{0 ;−1 } Bài Cho số nguyên a , b thoả mãn: a2+ b2+ 1=2 (ab+ a+b) CMR: a b hai SCP liên tiếp Lời giải Ta có: a2+ b2+ 1=2 (ab+ a+b) ⇒ a2+ b2+1−2 ab+ 2a−2 b=4 a ⇒ ( a−b+ 1)2=4 a (*) Vì (a−b+1 )2 SCP nên acũng SCP, đặt a=x2( x ∈ N ) thay vào (*) ta được: [ [ ( x2−b+ 1)2=4 x2 ⇒ x2x2−b+1=2 x −b +1=−2 x ⇒ b=( x+1)2 b=( x−1)2 Như a va b hai số phương liên tiếp (đpcm) Bài CMR khơng tồn số tự nhiên a cho a2+ a=20102009 Lời giải Ta có: a2+ a=20102009⇒ a2+ a+1=4.20102009+1 ⇒ (2 a+1)2=4.20102009+1 Nhận xét SCP chia cho dư ; ; 2; ⇒ (2 a+1)2 chia cho dư ; ; 2; Mặt khác 2010 ≡1 (mod 7) ⇒ 4.20102009+ 1≡ 5(mod 7) Từ suy khơng tồn số tự nhiên a thoả mãn a2+ a=20102009 Bài Tìm tất số nguyên tố p , q cho p2−q2−1 SCP Lời giải Vì p , q số nguyên tố p2−q2−1 SCP nên p>q +) Nếu q=2 ⇒ p2−q2−1= p2−5 Th1: p=3 ⇒ p2−5=1 (thoả mãn) Th2: p>3 ⇒ p không chia hết cho 3⇒ p2 ≡1 (mod 3) ⇒ p2−5 ≡2( mod 3) nên p2−5 SCP +) Nếu p>q ≥ ⇒ p ; q số lẻ⇒ p2 q2 SCP lẻ⇒ p2 ≡q2≡ 1(mod 4) ⇒ p2−q2−1 ≡−1 ≡3 (mod ) ⇒ p2−q2−1 SCP Vậy ( p ; q)=(3 ; 2) thoả mãn yêu cầu tốn Bài Tìm số ngun tố p cho p4− p2+16 SCP Lời giải Vì p số nguyên tố nên p ≥2 +) Nếu p=2⇒ p4−p2+ 16=44 SCP +) Nếu p=3 ⇒ p4− p2+16=169=132 (thoả mãn) +) Nếu p>3 ⇒ p không chia hết cho 3⇒ p2 ≡1 (mod 3) ⇒ p4 ≡1 (mod 3) ⇒ p4− p2+16 ≡ 2(mod ) ⇒ p4−p2+ 16 SCP Vậy p=3 thoả mãn yêu cầu toán Bài Cho số tự nhiên n thoả mãn n (n+1)+6 không chia hết cho CMR: n2+n+8 khơng phải số phương Lời giải Vì n (n+1)+6 khơng chia hết cho mà ⋮ 3⇒ n(n+1) không chia hết cho Mặt khác ta có: n (n+1) (n−1)⋮ (tích số nguyên liên tiếp) ⇒ n−1⋮ ⇒ n ≡1 (mod ) ⇒ n2+n+8 ≡ 2(mod 3) nên n2+n+8 khơng phải số phương Bài Tìm tất số nguyên dương n cho n4−9 n3+33 n2−63 n+54 số phương Lời giải A=n4−9 n3+33 n2−63 n+ 54 ¿ n4−3 n3−6 n3+18 n2+15 n2−45 n−18 n+5 ¿ (n−3) (n3−6 n2+15 n−18) ¿ (n−3)2( n2−3 n+6 ) +) n−3=0⇒ n=3 ⇒ A=0 (thoả mãn) +) Nếu n−3 ≠0 ⇒ n≠ 3, A SCP ⇔ n2−3 n+6là SCP Đặt n2−3 n+6=k2 (k ∈ N ) ⇒ k2=n2−4 n+ 4+ n+2 ⇒ k2−(n−2)2=n+2>0 ( n∈ N¿) ⇒ k2> (n−2)2 (1) Mặt khác ta có: (n+1)2−(n2−3 n+6 )=5 n−5=5 ( n−1) ≥0 (n ∈ N ¿) ⇒ (n+ 1)2≥ n2−3 n+6hay (n+1)2 ≥ k2 (2) Từ (1) (2) ta có: (n−2)2< k2 ≤(n+1 )2 Th1: k 2=(n−1 )2 ⇒ n2−3 n+6=n2−2 n+1 ⇒ n=5 Th2: k 2=n2⇒ n2−3 n+6=n2⇒ n=2 Th1: k 2=(n+1)2⇒ n2−3 n+6=n2+2 n+1 ⇒ n=1 Vậy n ∈{1; ; ; } thoả mãn yêu cầu toán Bài Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13