VẬN DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC - Full 10 điểm

TRƢ Ờ NG Đ Ạ I H Ọ C QU Ả NG NAM KHOA TI Ể U H Ọ C – M Ầ M NON & NGH Ệ THU Ậ T -----  ----- NGUY Ễ N TH Ị HI Ề N V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C KHÓA LU Ậ N T Ố T NGHI ỆP ĐẠ I H Ọ C Qu ả ng Nam, tháng 5 năm 20 19 \ TRƢ Ờ NG Đ Ạ I H Ọ C QU Ả NG NAM KHOA TI Ể U H Ọ C – M Ầ M NON & NGH Ệ THU Ậ T -----  ----- KHÓA LU Ậ N T Ố T NGHI Ệ P ĐẠ I H Ọ C Tên đề tài: V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ Đ Ề S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C Sinh viên th ự c hi ệ n NGUY Ễ N TH Ị HI Ề N MSSV: 2115010523 CHUYÊN NGÀNH: GIÁO D Ụ C TI Ể U H Ọ C KHÓA: 2015 – 2019 Cán b ộ hƣớ ng d ẫ n Th S T RƢƠNG THỊ KIM NG Ọ C MSCB: L Ờ I C ẢM ƠN Trong quá trình nghiên c ứ u và hoàn thành khóa lu ậ n c ủa mình, tôi đã nhậ n đƣợ c s ự quan tâm, giúp đỡ c ủ a các th ầ y, cô giáo, b ạn bè và ngƣờ i thân Đầ u tiên, tôi xin g ử i l ờ i c ảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc đế n cô giáo – Th S Trƣơng Thị Kim Ng ọc, ngƣời đã tận tình hƣớ ng d ẫ n, cung c ấ p tài li ệu, giúp đỡ tôi trong su ố t quá trình nghiên c ứ u và hoàn thành khóa lu ậ n này Tôi cũng xin bày tỏ lòng bi ết ơn chân thành tớ i Ban giám hi ệu nhà trƣờ ng, các th ầ y, cô giáo trong khoa Ti ể u h ọ c – M ầ m non & Ngh ệ thu ật trƣờng Đạ i h ọ c Qu ả ng Nam đã nhiệ t tình ch ỉ b ả o, chia s ẻ, đóng góp ý kiế n, t ạo điề u ki ện để tôi hoàn thành khóa lu ận đúng thời gian quy đị nh Tôi xin g ử i l ờ i c ảm ơn sâu sắc đế n Ban giám hi ệu nhà trƣờ ng, các th ầ y, cô giáo cũng nhƣ học sinh trƣờ ng Ti ể u h ọ c Tr ầ n Qu ố c To ản đã giúp đỡ và h ợ p tác cùng tôi trong su ốt quá trình đ i ề u tra, kh ả o sát và th ự c nghi ệm đề tài này Cu ố i cùng tôi xin g ử i l ờ i c ảm ơn chân thành đế n t ậ p th ể l ớp Đạ i h ọ c Ti ể u h ọ c K15 cũng nhƣ gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong su ố t th ờ i gian qua M ặc dù đã cố g ắ ng và n ỗ l ự c h ết mình nhƣng vớ i kh ả năng còn hạ n ch ế nên không tránh kh ỏ i nh ữ ng thi ế u sót nh ất đị nh Vì v ậ y, nh ữ ng l ờ i nh ậ n xét, góp ý c ủ a th ầ y, cô và các b ạn chính là điề u ki ện để khóa lu ận đƣợ c hoàn thi ện hơn Tôi xin chân thành c ảm ơn! Tam K ỳ, tháng 05 năm 2019 Sinh viên th ự c hi ệ n Nguy ễ n Th ị Hi ề n L ỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c ” là công trình nghiên c ứu độ c l ậ p c ủ a riêng tôi trong quá trình h ọ c t ậ p và đƣợ c s ự hƣớ ng d ẫ n khoa h ọ c c ủa Th S Trƣơng Th ị Kim Ng ọ c Các n ộ i dung nghiên c ứu trong đề tài này là trung th ực và chƣa công b ố dƣớ i b ấ t kì hình th ức nào trƣớc đây Ngoài ra, trong khóa lu ậ n còn tham kh ả o m ộ t s ố tài li ệu liên quan đế n lí lu ậ n c ủa đề tài c ủ a các tác gi ả, cơ quan tổ ch ức khác đề u có trích d ẫ n và ghi rõ trong ph ầ n tài li ệ u tham kh ả o N ế u phát hi ệ n có b ấ t kì s ự gian l ậ n nào tôi xin hoàn toàn ch ị u trách nhi ệ m v ề n ộ i dung khóa lu ậ n c ủ a mình Tam K ỳ, tháng 05 năm 2019 DANH M Ụ C CÁC T Ừ VI Ế T T Ắ T STT Vi ế t t ắ t N ộ i dung 1 CM Ch ứ ng minh 2 DH D ạ y h ọ c 3 ĐC Đ ố i ch ứ ng 4 GV Giáo viên 5 HS H ọ c sinh 6 TN Th ự c nghi ệ m 7 SGK Sách giáo khoa 8 SL Suy lu ậ n DANH M Ụ C CÁC B Ả NG Tên N ộ i dung Trang B ả ng 1 M ộ t s ố quy t ắ c suy lu ậ n thƣ ờ ng g ặ p 6 B ả ng 2 N ộ i dung d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên 32 B ả ng 3 Vai trò c ủ a s ố t ự nhiên trong chƣơng trình môn Toán ở ti ể u h ọ c 35 B ả ng 4 L ự a ch ọ n quan đi ể m v ề vi ệ c d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng m inh 36 B ả ng 5 M ứ c đ ộ s ử d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 37 B ả ng 6 Các ho ạ t đ ộ ng d ạ y h ọ c mà giáo viên đã áp d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 38 B ả ng 7 Phép suy lu ậ n mà GV v ậ n d ụ ng khi hình thành ki ế n th ứ c m ớ i bài “Tính ch ấ t k ế t h ợ p c ủ a phép nhân” 39 B ả ng 8 Thu ậ n l ợ i c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 40 B ả ng 9 Khó khăn c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 41 B ả ng 10 M ứ c đ ộ yêu thích c ủ a HS khi h ọ c môn Toán 42 B ả ng 11 C ả m nh ậ n c ủ a em khi h ọ c các ki ế n th ứ c v ề s ố t ự nhiên 44 B ả ng 12 M ứ c đ ộ h ứ ng thú c ủ a HS v ề vi ệ c ti ế p thu ki ế n th ứ c m ớ i và th ự c hành – luy ệ n t ậ p ki ế n th ứ c đó t ạ i l ớ p 44 B ả ng 13 M ứ c đ ộ hoàn thành bài t ậ p đƣ ợ c giao 45 B ả ng 14 K ế ho ạ ch th ự c nghi ệ m 112 B ả ng 15 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 trƣ ớ c khi th ự c nghi ệ m 115 B ả ng 16 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 sau khi th ự c nghi ệ m 116 B ả ng 17 M ứ c đ ộ h ứ ng thú trong ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 117 DANH M Ụ C CÁC BI ỂU ĐỒ Tên N ộ i dung Trang Bi ể u đ ồ 1 Vai trò c ủ a s ố t ự nhiên trong chƣơng trình môn Toán ở ti ể u h ọ c 35 Bi ể u đ ồ 2 L ự a ch ọ n quan đi ể m v ề vi ệ c d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ n g minh 36 Bi ể u đ ồ 3 M ứ c đ ộ s ử d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 37 Bi ể u đ ồ 4 Các ho ạ t đ ộ ng d ạ y h ọ c mà giáo viên đã áp d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 38 Bi ể u đ ồ 5 Phép suy lu ậ n mà giáo viên v ậ n d ụ ng k hi hình thành ki ế n th ứ c m ớ i bài “Tính ch ấ t k ế t h ợ p c ủ a phép nhân” 39 Bi ể u đ ồ 6 Thu ậ n l ợ i c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 40 Bi ể u đ ồ 7 Khó khăn c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên 41 Bi ể u đ ồ 8 M ứ c đ ộ yêu thích c ủ a h ọ c sinh khi h ọ c môn Toán 42 Bi ể u đ ồ 9 C ả m nh ậ n c ủ a em khi h ọ c các ki ế n th ứ c v ề s ố t ự nhiên 43 Bi ể u đ ồ 10 M ứ c đ ộ h ứ ng thú c ủ a h ọ c sinh v ề ti ế p thu ki ế n th ứ c m ớ i và th ự c hành luy ệ n t ậ p ki ế n th ứ c đó t ạ i l ớ p 44 Bi ể u đ ồ 11 M ứ c đ ộ hoàn thành bài t ậ p đƣ ợ c giao 45 Bi ể u đ ồ 12 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 trƣ ớ c khi th ự c nghi ệ m 115 Bi ể u đ ồ 13 M ứ c đ ộ hoàn thành nhi ệ m v ụ ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 sau khi th ự c nghi ệ m 116 Bi ể u đ ồ 14 M ứ c đ ộ h ứ ng thú trong ti ế t h ọ c c ủ a h ọ c sinh l ớ p 2/1 và 2/2 117 M Ụ C L Ụ C M Ở ĐẦ U 1 1 Lí do ch ọn đề tài 1 2 M ục đích nghiên cứ u 2 3 Đối tƣợ ng và khách th ể nghiên c ứ u 2 3 1 Đối tƣợ ng nghiên c ứ u 2 3 2 Khách th ể nghiên c ứ u 2 4 Nhi ệ m v ụ nghiên c ứ u 2 5 Phƣơng pháp nghiên cứ u 2 5 1 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u lí lu ậ n 2 5 1 1 Phƣơng pháp nghiên cứ u tài li ệ u 2 5 1 2 Phƣơng pháp phân tích - t ổ ng h ợ p 3 5 2 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u th ự c ti ễ n 3 5 2 1 Phƣơng pháp điề u tra 3 5 2 2 Phƣơng pháp hỏ i ý ki ế n chuyên gia 3 5 2 3 Phƣơng pháp thự c nghi ệm sƣ phạ m 3 5 3 Phƣơng pháp thố ng kê toán h ọ c 3 6 L ị ch s ử v ấn đề nghiên c ứ u 3 7 Đóng góp của đề tài 4 7 1 V ề lí lu ậ n 4 7 2 V ề th ự c ti ễ n 4 8 Gi ớ i h ạ n ph ạ m vi nghiên c ứ u 4 9 C ấ u trúc t ổ ng quan c ủa đề tài 4 N Ộ I DUNG NGHIÊN C Ứ U 5 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LU Ậ N VÀ TH Ự C TI Ễ N C Ủ A VI Ệ C V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H ỌC………………………………………………………… 5 1 1 Cơ sở lí lu ậ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 5 1 1 1 Suy lu ậ n 5 1 1 1 1 Quy t ắ c suy lu ậ n 5 1 1 1 2 Các ki ể u suy lu ậ n 8 1 1 2 Ch ứ ng minh 17 1 1 3 Các phƣơng pháp chứ ng minh toán h ọc thƣờ ng g ặ p 18 1 1 3 1 Ph ƣơng pháp ch ứ ng minh tr ự c ti ế p 18 1 1 3 2 Phƣơng pháp ch ứ ng minh ph ả n ch ứ ng 19 1 1 3 3 Phƣơng pháp chứ ng minh quy n ạ p hoàn toàn 20 1 1 3 4 Phƣơng pháp chứ ng minh quy n ạ p không hoàn toàn 22 1 1 4 Vai trò c ủ a các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c 23 1 1 5 Đặc điể m tâm lí c ủ a h ọ c sinh ti ể u h ọ c 24 1 1 5 1 Đặc điể m tâm lí c ủ a h ọc sinh giai đoạ n l ớ p 1, 2, 3 24 1 1 5 2 Đặc điể m tâm lí c ủ a h ọc sinh giai đoạ n l ớ p 4, 5 25 1 2 Cơ sở th ự c ti ễ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 27 1 2 1 V ị trí, vai trò c ủ a ch ủ đề s ố t ự nhiên trong chƣơng trình môn Toán Tiể u h ọ c 27 1 2 2 M ụ c tiêu và n ộ i dung d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 28 1 2 2 1 M ụ c tiêu d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 28 1 2 2 2 N ộ i dung d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 30 1 2 3 Th ự c tr ạ ng c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 33 1 2 3 1 M ục đích điề u tra 33 1 2 3 2 Đối tƣợng điề u tra 33 1 2 3 3 N ội dung điề u tra 33 1 2 3 4 Phƣơng pháp điề u tra 34 1 2 3 5 Đánh giá kế t qu ả điề u tra 34 1 2 3 6 K ế t lu ậ n v ề k ế t qu ả điề u tra 45 Ti ể u k ết chƣơng 1 47 CHƢƠNG 2 VẬ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C 49 2 1 M ộ t s ố căn cứ để v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 49 2 1 1 Căn cứ vào các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán 49 2 1 2 Căn cứ vào v ị trí, m ụ c tiêu, n ộ i dung d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 49 2 1 3 Căn cứ vào đặc điể m tâm sinh lí c ủ a h ọ c sinh ti ể u h ọ c 50 2 1 4 Căn cứ vào th ự c tr ạ ng v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 51 2 2 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 51 2 2 1 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n vào d ạ y h ọ c hình thành khái ni ệ m s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 51 2 2 1 1 V ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n quy n ạ p 51 2 2 1 2 V ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n tƣơng t ự 59 2 2 2 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n vào d ạ y h ọ c hình thành các quy t ắ c, tính ch ấ t phép toán, d ấ u hi ệ u chia h ế t trên t ậ p s ố t ự nhiên 63 2 2 2 1 V ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n quy n ạ p 63 2 2 2 2 V ậ n d ụ ng phép suy lu ận tƣơng tự 73 2 2 2 3 V ậ n d ụ ng phép suy di ễ n 80 2 2 3 Bài t ậ p v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 82 2 2 3 1 Bài t ậ p v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 82 2 2 3 2 Bài t ậ p v ậ n d ụ ng phép ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 105 CHƢƠNG 3 THỰ C NGHI ỆM SƢ PHẠ M 111 3 1 Mô t ả th ự c nghi ệm sƣ phạ m 111 3 1 1 M ục đích thự c nghi ệ m 111 3 1 2 N ộ i dung th ự c nghi ệ m 111 3 1 3 Đối tƣợ ng th ự c nghi ệ m 112 3 1 4 Th ờ i gian th ự c nghi ệ m 112 3 1 5 Phƣơng pháp thự c nghi ệm sƣ phạ m 112 3 2 T ổ ch ứ c th ự c nghi ệm sƣ phạ m 112 3 2 1 K ế ho ạ ch th ự c nghi ệ m 112 3 2 2 Ti ế n hành th ự c nghi ệ m 113 3 3 K ế t qu ả th ự c nghi ệ m 114 3 3 1 Các tiêu chí đánh giá kế t qu ả th ự c nghi ệ m 114 3 3 2 Phân tích k ế t qu ả th ự c nghi ệ m 114 3 3 2 1 K ế t qu ả trƣớ c khi th ự c nghi ệ m 114 3 3 2 2 K ế t qu ả sau khi th ự c nghi ệ m 115 3 4 Nh ữ ng thu ậ n l ợi và khó khăn trong quá trình thự c nghi ệ m 118 3 4 1 Thu ậ n l ợ i 118 3 4 2 Khó khăn 118 Ti ể u k ết chƣơng 3 118 K Ế T LU Ậ N VÀ KHUY Ế N NGH Ị 119 1 K ế t lu ận………………………………………………………………………… 119 2 Khuy ế n ngh ị 120 TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 121 1 M Ở ĐẦ U 1 Lí do ch ọn đề tài Tiểu học là cấp học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân, sự hình thành và phát tri ể n c ủ a c ấ p h ọ c n ề n t ảng này là cơ sở để phát tri ể n các c ấ p h ọ c ti ếp theo Giáo dục Tiểu học đƣợc ví nhƣ nền móng của ngôi nhà, móng có vững thì nhà mới chắc chắn Giáo dụ c Ti ể u h ọ c v ớ i m ụ c tiêu chính là: giúp h ọ c sinh hình thành nh ững cơ sở b an đầ u cho s ự phát tri ển đúng đắ n và lâu dài v ề đạo đứ c, trí tu ệ , th ể ch ấ t, th ẩ m m ỹ và các kĩ năng để h ọ c sinh ti ế p t ụ c h ọ c lên trung h ọc cơ sở Trẻ đƣợc giáo dục tốt t nhỏ thì lớn lên mới có thể phát triển tốt cả về thể chất lẫn trí tuệ Vì vậy, giáo dụ c T iểu học có vai trò rất quan trọng trong hệ thống giáo dục quốc dân Cùng v ớ i các môn h ọ c khác, môn Toán có v ị trí quan tr ọ ng Môn Toán là s ợ i ch ỉ đỏ xuyên su ố t, là chìa khóa m ở c ử a cho t ấ t c ả các ngành khoa h ọ c khác, nó cũng là công c ụ c ầ n thi ế t c ủa ngƣời lao độ ng trong th ờ i kì m ớ i Môn Toán cung c ấ p cho h ọ c sinh nh ữ ng ki ế n th ức cơ bả n v ề s ố h ọ c, các y ế u t ố hình h ọc, đại lƣợng và đo đại lƣợ ng, gi ả i toán có l ời văn Bên cạnh đó, khả năng giáo dụ c c ủ a môn Toán còn r ấ t phong phú; giúp cho h ọ c sinh phát tri ể n trí thông minh, kh ả năng tƣ duy độ c l ậ p, kh ả năng suy lu ậ n logic, trao d ồ i trí nh ớ , gi ả i quy ế t v ấn đề có căn cứ khoa h ọ c, chính xác Yêu c ầ u đó rấ t c ầ n thi ế t cho m ỗi ngƣờ i, nó góp ph ầ n giáo d ục ý chí, đứ c tính kiên trì, ch ị u khó, c ầ n cù trong h ọ c t ậ p Trong các ki ế n th ứ c v ề toán h ọ c thì s ố t ự nhiên là m ộ t thành t ự u Toán h ọ c lâu đ ờ i nh ấ t c ủ a loài ngƣ ờ i Ngày nay, s ố t ự nhiên đƣ ợ c s ử d ụ ng ở m ọ i lúc, m ọ i nơi c ủ a đ ờ i s ố ng xã h ộ i Do đó, vi ệ c d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên có vai trò quan tr ọ ng trong d ạ y h ọ c Toán ở t i ể u h ọ c H ọ c sinh n ắ m đƣ ợ c các ki ế n th ứ c v ề s ố t ự nhiên là cơ s ở đ ể ti ế p thu các ki ế n th ứ c khác và có th ể v ậ n d ụ ng vào trong th ự c t ế Vi ệ c d ạ y h ọ c Toán h ọ c có nhi ề u phƣơng pháp, cách th ứ c khác nhau Trong đó không th ể kh ông nh ắ c đ ế n vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán nói chung và trong ch ủ đ ề s ố t ự nhiên nói riêng Các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh không ch ỉ là công c ụ đ ắ c l ự c đ ể giáo viên truy ề n th ụ các ki ế n th ứ c m ớ i mà còn còn có tác d ụ ng nân g cao năng l ự c suy nghĩ và mài giũa các k ỹ năng toán h ọ c cho h ọ c sinh Vì th ế , m ỗ i giáo viên t i ể u h ọ c đ ề u ph ả i có nh ữ ng hi ể u bi ế t c ầ n thi ế t v ề m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh đ ể v ậ n d ụ ng vào trong gi ả ng d ạ y toán s ố t ự nhiên ở t i ể u h ọ c Tuy nhiên, vi ệ c v ậ n d ụ ng m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c 2 môn Toán nói chung và d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên nói riêng v ẫ n chƣa đƣ ợ c áp d ụ ng m ộ t cách tri ệ t đ ể Đôi khi giáo viên còn lúng túng và chƣa th ự c s ự hi ể u kĩ b ả n ch ấ t c ủ a nó V ớ i mong mu ố n tìm tòi nghiên c ứ u v ề các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh đ ố i v ớ i vi ệ c d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c nh ằ m chuy ể n t ả i nh ữ ng ki ế n th ứ c đ ế n h ọ c sinh sao cho d ễ hi ể u và đ ả m b ả o chính xác, đ ồ ng th ờ i phát tri ể n tƣ duy và tính tích c ự c h ọ c t ậ p c ủ a h ọ c sinh Do đó tôi quy ế t đ ị nh ch ọ n đ ề tài “ V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đ ề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh T i ể u h ọ c ” đ ể nghiên c ứ u 2 M ục đích nghiên cứ u Đề xu ấ t quy trình v ậ n d ụ ng m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c nh ằ m góp ph ầ n nâng cao hi ệ u qu ả d ạ y h ọ c các y ế u t ố s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c nói riêng và hi ệ u qu ả d ạ y h ọ c môn Toán ở ti ể u h ọ c nói chung 3 Đối tƣợ ng và khách th ể nghiên c ứ u 3 1 Đối tƣợ ng nghiên c ứ u Các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 3 2 Khách th ể nghiên c ứ u Quá trình d ạ y và h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 4 Nhi ệ m v ụ nghiên c ứ u - Tìm hi ểu cơ sở lí lu ậ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c - Tìm hi ể u m ụ c tiêu, n ộ i dung d ạ y h ọ c n ộ i dung s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c - Điề u tra th ự c tr ạ ng v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh ở giáo viên và h ọc sinh trƣờ ng Ti ể u h ọ c - Đề xu ấ t quy trình v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào gi ả ng d ạ y và hƣớ ng d ẫ n h ọ c sinh gi ả i các bài toán theo ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c - Th ự c nghi ệm sƣ phạm để đánh giá mức độ kh ả thi, hi ệ u qu ả vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 5 Phƣơng pháp nghiên cứ u 5 1 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u lí lu ậ n 5 1 1 Phƣơng pháp nghiên cứ u tài li ệ u 3 Đọ c, khai khác các tài li ệu nhƣ sách giáo khoa Toán tiể u h ọ c, sách giáo viên Toán ti ể u h ọ c, các lo ạ i sách tham kh ả o, t ạ p chí v ề n ộ i dung các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh 5 1 2 P hƣơng pháp phân tích - t ổ ng h ợ p Nghiên c ứ u các tài li ệu liên quan đến đề tài t đó phân tích và tổ ng h ợ p để làm lu ậ n c ứ cho vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 5 2 Nhóm phƣơng pháp nghiên cứ u th ự c ti ễ n 5 2 1 Phương pháp điề u tra Xây d ự ng phi ếu điề u tra g ồ m h ệ th ố ng các câu h ỏ i v ề vi ệ c d ạ y h ọ c môn Toán ở ti ể u h ọ c có v ậ n d ụ ng m ộ t s ố phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh 5 2 2 Phương pháp hỏ i ý ki ế n chuyên gia Tham kh ả o ý ki ế n c ủ a các th ầ y, cô trong khoa Ti ể u h ọ c – M ầ m non & Ngh ệ thu ậ t và các th ầ y cô giáo t ại trƣờ ng ti ể u h ọ c 5 2 3 Phương pháp thự c nghi ệm sư phạ m Th ự c nghi ệm sƣ phạ m t ại trƣờ ng ti ể u h ọc để nghiên c ứ u v ề vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 5 3 Phƣơng pháp thố ng kê toán h ọ c Trong quá trình th ự c nghi ệm sƣ phạ m, chúng tôi t ậ p trung nghiên c ứ u nh ữ ng v ấn đề th ự c hi ện liên quan đến đề tài t đó thố ng kê nh ữ ng s ố li ệ u thu th ập đƣợc để hoàn thành đề tài nghiên c ứ u 6 L ị ch s ử v ấn đề nghiên c ứ u Trên th ế gi ới, đã có rấ t nhi ề u nhà giáo d ục có tƣ tƣở ng ti ế n b ộ đã chú trọng đế n d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh Tiêu bi ểu nhƣ: Nhà Toán h ọ c kiêm tâm lý h ọc G Polya đã tìm hiể u, trình bày v ấn đề này trong “Giả i m ột bài toán nhƣ thế nào?”, “Toán họ c và nh ữ ng suy lu ận có lý”, “Sáng tạ o Toán h ọc”, … Hi ệ n nay, trong n ề n giáo d ụ c Vi ệ t Nam, v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh là m ộ t quan đi ể m d ạ y h ọ c m ớ i đƣ ợ c nhi ề u nhà giáo d ụ c cũng nhƣ giáo viên quan tâm nghiên c ứ u Đi ể n hình nhƣ: Tác gi ả Tôn Công Minh đã đề c ấp đế n nh ữ ng v ấn đề v ề suy lu ậ n có lí trong d ạ y h ọ c toán Các tác gi ả nhƣ GS Nguyễ n C ả nh Toàn, GS Hoàng Chúng, H ứ a Thu ầ n 4 Ph ỏng, Văn Nhƣ Cƣơng, Nguyễn Bá Kim … cũng đã nhiề u l ầ n nói v ề các phép suy lu ậ n trong Toán h ọ c, trong d ạ y h ọ c Toán Bên c ạnh đó còn có nh ữ ng khóa lu ậ n nghiên c ứ u v ề vi ệ c d ạ y h ọ c v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứng minh nhƣ sau: Suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c m ạ ch hình h ọ c ở ti ể u h ọ c c ủ a tác gi ả Nguy ễ n Th ị Vân trƣờng Đạ i h ọc Sƣ phạ m Hà N ộ i V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n trong d ạ y h ọ c các bài toán dãy s ố l ớ p 3 c ủ a tác gi ả Vũ Thị Thanh trƣờng Đạ i h ọc Sƣ phạ m Hà N ộ i Th ế nhƣng những đề c ập đó chỉ mang tính định hƣớ ng trong nghiên c ứ u các phƣơng pháp họ c Toán và d ạ y Toán Trong th ự c t ế gi ả ng d ạ y Toán ở các trƣờ ng ti ể u h ọ c, r ấ t nhi ề u th ầ y cô có ý th ứ c s ử d ụ ng phép suy lu ậ n trong d ạ y h ọ c toán M ặ c dù v ậ y v ẫn chƣa có mộ t nghiên c ứ u nào c ụ th ể v ề v ậ n d ụ ng suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 7 Đ óng góp c ủa đề tài 7 1 V ề lí lu ậ n Góp ph ầ n làm rõ và h ệ th ống hóa đƣợ c m ộ t s ố v ấn đề lí lu ậ n liên quan đế n các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 7 2 V ề th ự c ti ễ n - Nghiên c ứ u m ụ c tiêu, n ộ i dung d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c T đó vậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c - Th ự c nghi ệm sƣ phạm để ki ể m tra tính hi ệ u qu ả và kh ả thi c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 8 Gi ớ i h ạ n ph ạ m vi nghiên c ứ u Đề tài d ng l ạ i ở vi ệ c nghiên c ứ u v ậ n d ụ ng phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên ở ti ể u h ọ c 9 C ấ u trúc t ổ ng quan c ủa đề tài Ngoài ph ầ n m ở đầ u, k ế t lu ậ n, tài li ệ u tham kh ả o, ph ụ l ụ c thì khóa lu ận có 3 chƣơng: - Chƣơng 1 Cơ sở lí lu ậ n và th ự c ti ễ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c - Chƣơng 2 V ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c - Chƣơng 3 Th ự c nghi ệm sƣ phạ m 5 N Ộ I DUNG NGHIÊN C Ứ U CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LU Ậ N VÀ TH Ự C TI Ễ N C Ủ A VI Ệ C V Ậ N D Ụ NG CÁC PHÉP SUY LU Ậ N VÀ CH Ứ NG MINH VÀO D Ạ Y H Ọ C CH Ủ ĐỀ S Ố T Ự NHIÊN CHO H Ọ C SINH TI Ể U H Ọ C 1 1 Cơ sở lí lu ậ n c ủ a vi ệ c v ậ n d ụ ng các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh vào d ạ y h ọ c ch ủ đề s ố t ự nhiên cho h ọ c sinh ti ể u h ọ c 1 1 1 Suy lu ậ n Theo Tr ầ n Ng ọ c Lan, suy lu ậ n là hình th ứ c tƣ duy toán h ọ c nh ậ n th ứ c hi ệ n th ự c m ộ t cách gián ti ế p, xu ấ t phát t m ộ t hay nhi ề u đi ề u đã bi ế t đ ể đi đ ế n nh ữ ng phán đoán m ớ i [1 3 , 31] Theo Ph ạm Đình Thự c, suy lu ận là quá trình suy nghĩ trong đó t m ộ t hay nhi ề u m ệnh đề đã có, ta rút ra mệnh đề m ớ i [1 6 , 5] Trong suy lu ậ n, nh ữ ng m ệnh đề đã cho gọ i là ti ền đề , nh ữ ng m ệnh đề m ớ i đƣợ c rút ra g ọ i là k ế t lu ậ n Ví d ụ 1 1 Ti ền đề : - M ệnh đề 1: Khi nhân m ộ t s ố t ự nhiên v ớ i 100, ta ch ỉ vi ệ c thêm hai ch ữ s ố 0 vào bên ph ả i c ủ a s ố đó - M ệnh đề 2: 18 x 100 K ế t lu ậ n : Ta ch ỉ c ầ n vi ế t thêm hai ch ữ s ố 0 vào bên ph ả i c ủ a s ố 18 (1800) Ví d ụ 1 2 Ti ền đề : - M ệnh đề 1: Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổng không thay đổ i - M ệnh đề 2: 135 + 75 = 210 K ế t lu ậ n : 75 + 135 = 210 hay 135 + 75 = 75 + 135 Ví d ụ 1 3 Ti ền đề : - M ệnh đề 1: S ố 123 chia h ế t cho 3 - M ệnh đề 2: S ố 642 chia h ế t cho 3 - M ệnh đề 3: S ố 1530 chia h ế t cho 3 K ế t lu ậ n : Các s ố có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 3 thì s ố đó chia hế t cho 3 1 1 1 1 Quy t ắ c suy lu ậ n 6 Định nghĩa : Cho A , B , C là nh ữ ng công th ứ c N ế u t ấ t c ả các h ệ chân lí c ủ a các bi ế n m ệ nh đ ề có m ặ t trong các công th ứ c đó là m cho A , B nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 cũng là m cho C nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 thì ta nói có m ộ t quy t ắ c suy lu ậ n t các ti ề n đ ề A , B d ẫ n t ớ i h ệ qu ả lôgic C c ủ a chúng Ta kí hi ệ u: [10 , 174] Dƣới đây là m ộ t s ố quy t ắ c suy lu ận thƣờng đƣợ c v ậ n d ụ ng trong suy lu ậ n toán h ọ c: B ả ng 1: M ộ t s ố quy t ắ c suy lu ận thƣờ ng g ặ p 1 ) (Quy t ắ c suy lu ậ n Modus p onens) 3) (Quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầ u ) 5) 7) 9) 11) 13) (Quy t ắ c ph ả n đ ả o) 15) 17) 19) 21) ( ) ( ) ( ) 23) 2) (Quy t ắ c suy lu ậ n ngƣ ợ c Modus Lollens) 4) 6 ) 8) 10) 12) 14) , 16) (Quy t ắ c ch ứ ng minh ph ả n ch ứ ng) 18) 20) 22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24) 7 Ví d ụ 1 4 Ch ứ ng minh quy t ắ c suy lu ậ n sau Gi ả i: Ta l ậ p b ả ng chân tr ị sau: P q R p → q q → r p → r 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Nhìn vào b ả ng trên ta th ấ y p → q và q → r nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 thì p → r cũng nh ậ n giá tr ị chân lí b ằ ng 1 V ậ y ta có quy t ắ c suy lu ậ n Ch ẳ ng h ạ n ta ch ọ n: “p → q” là mệnh đề “Nế u a chia h ế t cho 9 thì nó chia h ết cho 3” “q → r” là mệnh đề “Nế u a chia h ế t cho 3 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ết cho 3” Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầu ta có: “Nế u a chia h ế t cho 9 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ết cho 3” Ví d ụ 1 5 Ch ứ ng minh quy t ắ c suy lu ậ n Gi ả i: Ta l ậ p b ả ng chân tr ị sau: P Q p → q q → p 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Nhìn vào b ả ng trên ta th ấ y p → q và q → p luôn cùng đúng hoặ c cùng sai V ậ y ta có quy t ắ c suy lu ậ n 8 Ch ẳ ng h ạ n ta ch ọ n m ệnh đề “p → q” là “Nế u a chia h ế t cho 2 thì nó là s ố ch ẵn” Áp d ụ ng quy t ắ c ph ản đảo ta có “Nế u a là s ố l ẻ thì nó không chia h ết cho 2” 1 1 1 2 Các ki ể u suy lu ậ n 1 1 1 2 1 Suy lu ậ n di ễ n d ị ch Suy lu ậ n di ễ n d ị ch (hay suy di ễ n) là suy lu ậ n theo nh ữ ng quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát (c ủ a lôgic m ệ nh đ ề ) Trong suy lu ậ n di ễ n d ị ch, n ế u ti ề n đ ề đúng thì các k ế t lu ậ n rút ra cũng ph ả i đúng [9,45] Suy lu ậ n suy di ễ n là suy lu ậ n h ợ p lôgic, các k ế t lu ậ n nh ận đƣợ c là k ế t lu ậ n lôgic Ví d ụ 1 6 Mu ố n ch ứ ng t ỏ 35 766 chia h ế t cho 9, ta có th ể suy di ễn nhƣ sau: - Ti ền đề 1: M ọ i s ố t ự nhiên có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì nó chia h ế t cho 9 - Ti ền đề 2: S ố 35 766 có t ổ ng các ch ữ s ố là 3 + 5 + 7 + 6 + 6 = 27, 27 chia h ế t cho 9 - K ế t lu ậ n: V ậ y 35 766 chia h ế t cho 9 Ở đây quy tắ c chung ở ti ền đề 1 đã đƣợ c áp d ụng cho trƣờ ng h ợ p c ụ th ể ở ti ền đề 2 để rút ra k ế t lu ậ n V ậ y ta có m ộ t phép suy di ễ n Ví d ụ 1 7 Tìm x bi ế t : - x = - Ti ền đề 1: Mu ố n tìm s ố tr ta l ấ y s ố b ị tr tr đi hiệ u - Ti ền đề 2: là s ố b ị tr , x là s ố tr , là hi ệ u - K ế t lu ậ n : x = - x = Ví d ụ 1 8 Ch ứ ng minh 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia h ế t cho 5 Để ch ứ ng minh 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia h ế t cho 5 ta có th ể suy di ễ n: - Ti ề n đề 1: Các s ố có ch ữ s ố t ậ n cùng b ằ ng 0 ho ặ c 5 thì chia h ế t cho 5 - Ti ền đề 2: Các s ố 3 5, 5760, 945, 3000, 1235 đề u có t ậ n cùng b ằ ng 0 ho ặ c 5 - K ế t lu ậ n: Các s ố 35, 5760, 945, 3000, 1235 chia h ế t cho 5 Trong 3 ví d ụ v a nêu, các ti ền đề đều đúng, ta đã vậ n d ụ ng các quy t ắ c suy lu ậ n ( ) ( ) ( ) Vì v ậ y các k ế t lu ậ n c ủ a chúng ph ải đúng Ví d ụ 1 9 - Ti ền đề 1: 624 chia h ế t cho 4 - Ti ền đề 2: 624 chia h ế t cho 6 9 - K ế t lu ậ n: 624 chia h ế t cho 4 và 6 Trong ví d ụ này, các ti ền đề đều đúng, ta đã vậ n d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n: Ví d ụ 1 10 T các ti ền đề : - Ti ề n đề 1: N ế u a chia h ế t cho 4 thì nó chia h ế t cho 2 - Ti ền đề 2: N ế u a chia h ế t cho 2 thì nó là s ố ch ẵ n - K ế t lu ậ n: N ế u a chia h ế t cho 4 thì a là s ố ch ẵ n Ví d ụ 1 11 T các ti ền đề : - Ti ền đề 1: N ế u a chia h ế t cho 10 thì nó có t ậ n cùng là 0 - Ti ền đề 2: N ế u a có t ậ n cùng là 0 thì nó chia h ế t cho 5 - K ế t lu ậ n: N ế u a chia h ế t cho 10 thì nó chia h ế t cho 5 Ở 2 ví d ụ 1 10 và 1 11 các ti ền đề đề u là nh ững định lí đã đƣợ c ch ứ ng minh trong toán h ọc Ta đã vậ n d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầ u: 1 1 1 2 2 Suy lu ậ n nghe có lí Suy lu ậ n nghe có lí (hay còn g ọ i là suy lu ậ n có lí) là suy lu ậ n không theo quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát nào Nó ch ỉ xu ấ t phát t nh ữ ng ti ền đề đúng để rút ra m ộ t k ế t lu ậ n K ế t lu ậ n này có th ể đúng mà cũng có thể sai [9,48] M ặ c dù suy lu ậ n nghe có lí có h ạ n ch ế nêu trên nhƣng nó có ý nghĩa rấ t quan tr ọ ng trong khoa h ọc và đờ i s ố ng: giúp chúng ta t nh ữ ng quan sát c ụ th ể có th ể rút ra nh ữ ng gi ả thuy ết, phán đoán để r ồi sau đó tìm cách chứ ng minh ch ặ t ch ẽ gi ả thuy ết đó Trong toán h ọ c có 2 ki ể u suy lu ận nghe có lí thƣờng đƣợ c s ử d ụng đó là suy luậ n quy n ạ p và suy lu ận tƣơng tự  Suy lu ậ n quy n ạ p Suy lu ậ n quy n ạ p là m ộ t ki ể u suy lu ận nghe có lí Trong đó tiền đề thƣờ ng là m ộ t s ố hi ện tƣợ ng (có th ể là nh ữ ng ví d ụ minh h ọa) mà tính đúng đắ n c ủa nó đƣợ c ki ể m ch ứ ng tr ự c ti ế p thông qua tính toán c ụ th ể để t đó rút ra kế t lu ậ n c ầ n thi ế t (có th ể là m ộ t quy t ắ c, m ộ t công th ứ c, m ộ t tính ch ất,…) cho các trƣờ ng h ợ p chung t ổ ng quát Đặc điể m c ủ a SL quy n ạ p là ở ch ỗ không có quy t ắ c t ổng quát nhƣ đố i v ớ i SL di ễ n d ị ch T ti ền đề có c ấu trúc xác định nào đó, đƣợ c th a nh ận là đúng, thì kế t lu ậ n rút ra t quy n ạ p không ch ắ c ch ắn đúng, có thể đúng cũng có thể sai 10 Căn cứ vào các đặc điể m ti ền đề trong các phép SL quy n ạ p, ngƣ ờ i ta chia phép SL quy n ạ p làm 2 lo ạ i: Quy n ạ p không hoàn toàn và Quy n ạ p hoàn toàn Quy n ạ p không hoàn toà n : Phép quy n ạ p không hoàn toàn là phép SL đi t m ộ t vài trƣ ờ ng h ợ p riêng đ ể nh ậ n xét r ồ i rút ra k ế t lu ậ n chung [1 6 , 14] Có th ể tóm t ắ t n ộ i dung c ủ a phép SL quy n ạ p không hoàn toàn nhƣ sau: Ti ền đề - Các ph ầ n t ử , , , đề u có tính ch ấ t P - , , , là m ộ t s ố ph ầ n t ử c ủ a t ậ p h ợ p X K ế t lu ậ n - T ấ t c ả các ph ầ n t ử c ủa X đề u có tính ch ấ t P ( Ở đây giả thuy ế t là X có nhi ều hơn n phầ n t ử ) Ví d ụ 1 12 T các ti ề n đ ề : - T ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố 99 là 9 + 9 = 18 chia h ế t cho 9 - T ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố 144 là 1 + 4 + 4 = 9 chia h ế t cho 9 - T ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố 567 là 5 + 6 + 7 = 18 chia h ế t cho 9 Ta có th ể rút ra k ế t lu ậ n : “Các s ố có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì chia h ế t cho 9 Đây là phép quy nạ p không hoàn toàn Trong phép SL này, các ti ền đề đúng và k ế t lu ận rút ra cũng đúng Ví d ụ 1 13 T c ác ti ề n đ ề : - 44 chia h ế t cho 4 - 144 chia h ế t cho 4 - 564 chia h ế t cho 4 Ta có th ể r út ra k ế t lu ậ n : Các s ố có ch ữ s ố hàng đơn v ị là 4 đ ề u chia h ế t cho 4 Đây là phép quy nạ p không hoàn toàn Trong phép SL này, xu ấ t phát t nh ữ ng ti ền đề đúng mà kế t lu ậ n rút ra sai (ch ẳ ng h ạ n 54 có ch ữ s ố hàng đơn vị b ằ ng 4 mà không chia h ế t cho 4) Ví d ụ 1 14 T các ti ền đề : - 4 : 0,5 = 8 ; 4 x 2 = 8 - 7 : 0,5 = 14 ; 7 x 2 = 14 - 9 : 0,5 = 18 ; 9 x 2 = 18 Ta có th ể rút ra k ế t lu ậ n : Mu ố n chia m ộ t s ố cho 0,5 ta ch ỉ c ầ n g ấ p đôi s ố đó 11 Đây là p hép quy n ạ p không hoàn toàn Trong phép SL này, các ti ền đề đúng và kế t lu ận rút ra cũng đúng Ví d ụ 1 15 T các ti ền đề : - 3 x 4 = 4 x 3 - 12 x 5 = 5 x 12 - 231 x 6 = 6 x 231 Ta rút ra k ế t lu ậ n: Tích c ủ a hai s ố t ự nhiên không thay đổi khi ta thay đổ i th ứ t ự c ủ a các th a s ố trong tích đó Trong phép SL này, các ti ền đề đúng và kế t lu ận rút ra cũng đúng Ví d ụ 1 16 Tìm quy lu ậ t c ủ a dãy s ố sau: 1; 2; 6; 24; … Gi ả i: Ta nh ậ n xét: - S ố h ạ ng th ứ hai là: 2 = 1 x 2 - S ố h ạ ng th ứ ba là: 6 = 2 x 3 - S ố h ạ ng th ứ tƣ là: 24 = 6 x 4 V ậ y quy lu ậ t c ủ a dãy s ố đã cho là: Mỗ i s ố h ạ ng, k ể t s ố h ạ ng th ứ hai b ằ ng s ố h ạ ng đứ ng li ền trƣớ c nó nhân v ớ i s ố th ứ t ự c ủ a s ố h ạng đó hay: = x n Ở đây ta vậ n d ụ ng phép suy lu ậ n quy n ạ p không hoàn toàn: Ti ền đề 1 là nh ậ n xét th ứ nh ấ t Ti ền đề 2 là nh ậ n xét th ứ hai Ti ền đề 3 là nh ậ n xét th ứ ba K ế t lu ậ n là quy lu ậ t c ủ a dãy s ố đƣợ c rút ra Trong vi ệ c d ạ y toán ở ti ể u h ọ c, phép quy n ạ p không hoàn toàn đóng vai trò quan tr ọ ng Vì HS ti ể u h ọ c còn nh ỏ , trình đ ộ hi ể u bi ế t c òn non n ớ t nên đây là phƣơng pháp đơn gi ả n nh ấ t, d ễ hi ể u nh ấ t đ ố i v ớ i HS Nh ờ phép quy n ạ p không hoàn hoàn mà GV có th ể giúp HS t ự tìm ra ki ế n th ứ c m ộ t cách ch ủ đ ộ ng, tích c ự c và n ắ m ki ế n th ứ c v ữ ng vàng, có ý th ứ c, ch ắ c ch ắ n Phép quy n ạ p đƣ ợ c dùng ch ủ y ế u đ ể d ạ y ph ầ n Bài m ớ i Quy n ạ p hoàn toàn : Quy n ạ p hoàn toàn là phép SL đi t vi ệ c kh ả o sát t ấ t c ả các trƣ ờ ng h ợ p riêng, r ồ i nh ậ n xét đ ể nêu ra k ế t lu ậ n chung cho t ấ t c ả các trƣ ờ ng h ợ p riêng đó và ch ỉ có các trƣ ờ ng h ợ p đó mà thôi [1 6 , 17] Có th ể ghi tóm t ắ t n ộ i dung phép quy n ạp hoàn toàn nhƣ sau: 12 Ti ền đề - T ậ p h ợ p A g ồ m các ph ầ n t ử , , , - Các ph ầ n t ử , , , đề u có tính ch ấ t P K ế t lu ậ n - T ấ t c ả các ph ầ n t ử c ủa X đề u có tính ch ấ t P Ta th ấ y phép quy n ạ p hoàn toàn là m ộ t phép SL cho ta k ế t lu ận đúng vì kế t lu ậ n chung ch ỉ kh ẳng đị nh v ề các trƣờ ng h ợp đã đƣợ c th ử th ấy đúng Ví d ụ 1 17 Ta th ấ y: 0 chia h ế t cho 5 10 chia h ế t cho 5 20 chia h ế t cho 5 30 chia h ế t cho 5 40 chia h ế t cho 5 V ớ i nh ận xét là: “ 0, 10, 20, 30, 40 là các số có t ậ n cùng b ằ ng 0 trong ph ạ m vi 50 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố t ậ n cùng là 0 đ ề u chia h ế t cho 5” Ta có th ể rút ra k ế t lu ậ n chung: “ Trong ph ạ m vi 50 s ố t ự nhiên đ ầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 0 đ ề u chia h ế t cho 5” Ví d ụ 1 18 Khi xét b ả ng nhân 9 ta th ấ y: - M ố i liên quan gi ữ a các ch ữ s ố hàng ch ụ c c ủ a tích: 0  1  2  3   8  9 - M ố i liên quan gi ữ a các ch ữ s ố hàng đơn vị c ủ a tích: 9  8  7  6   1  0 T đây rút ra nhận xét: “Trong bả ng nhân 9: - Các ch ữ s ố hàng ch ụ c c ủa tích tăng dầ n, m ỗ i l ầ n m ột đơn vị - Các ch ữ s ố hàng đơn vị c ủ a tích gi ả m d ầ n, m ỗ i l ầ n m ột đơn v ị” Qua 2 ví d ụ trên, ta th ấ y k ế t lu ận chung đƣợc nêu ra đều đúng Tuy nhiên, ở ti ể u h ọ c phép quy n ạp hoàn toàn không đƣợ c s ử d ụ ng nhi ều nhƣ phép quy nạ p không hoàn toàn Nó ít khi đƣợ c s ử d ụng để hình thành quy t ắ c, tính ch ấ t mà thƣ ờ ng đƣ ợ c v ậ n d ụ ng đ ể gi ả i toán, th ự c hi ệ n các phép tính khi c ầ n ph ả i xem xét t ấ t c ả các kh ả năng có th ể x ả y ra c ủ a m ộ t s ự ki ệ n nào đó Ch ẳ ng h ạ n: Ví d ụ 1 19 Tìm t ấ t c ả các ch ữ s ố a và b đ ể có s ố có 4 ch ữ s ố khác nhau 6a3b chia h ế t cho 2 và 9 13 Bài gi ả i: a) Mu ố n 6a3b chia h ế t cho 2 thì b ph ả i là m ộ t trong các ch ữ s ố 0, 2, 4, 6, 8 Song b không th ể là 6 vì ở hàng nghìn đã có 6 Mu ố n 6a3b chia h ế t cho 9 thì ( 6 + a + 3 + b) ph ả i chia h ế t cho 9 hay ( a + b +9) chia h ế t cho 9 Vì 9 chia h ế t cho 9 nên (a + b) ph ả i chia h ế t cho 9 b ) B ây gi ờ ta xét t ấ t c ả các trƣ ờ ng h ợ p, trong đó (a + b) chia h ế t cho 9 và b là các ch ữ s ố 0, 2, 4, 8: b a Đáp s ố 0 0, 9 6030 (lo ạ i); 6930 (ch ọ n) 2 7 6732 (ch ọ n) 4 5 6534 (ch ọ n) 8 1 6138 (ch ọ n) Khi đó các số th ỏ a mãn yêu c ầ u là: 6930; 6732; 6534; 6138 Ví d ụ 1 20 Tìm s ố tròn ch ụ c x, bi ế t 26 < x < 51 Trƣớ c tiên, HS ph ải xác định đƣợ c các s ố tròn ch ụ c trong ph ạ m vi 100, trong các s ố đó họ c sinh ph ả i tìm ra các s ố th ỏ a mãn yêu c ủa đề bài Các s ố tròn ch ụ c ph ả i tìm là : 30, 40, 50  Suy lu ậ n tương t ự Suy lu ận tương tự là m ộ t ki ể u suy lu ận nghe có lí Trong đó tiền đề thƣờ ng là m ộ t phép suy lu ận mà tính đúng đắ n c ủa nó đƣợ c thi ế t l ập để t đó rút ra kế t lu ậ n c ầ n thi ế t (có th ể là m ộ t quy t ắ c, công th ứ c, m ộ t tính ch ất,…) cho mộ t phép suy lu ậ n khác có nh ững điề u ki ện tƣơng tự g ầ n gi ố ng v ớ i phép suy lu ậ n nêu trong ti ền đề [9,51] K ế t lu ận đƣợ c rút ra có th ể đúng nhƣng cũng có thể sai Song ki ể u suy lu ận tƣơng tự có ý nghĩa đặ c bi ệ t quan tr ọ ng trong nhi ề u phát minh khoa h ọ c Có th ể ghi tóm t ắ t n ộ i dung phép tƣơng t ự nhƣ sau: Ti ền đề - Đ ố i tƣ ợ ng A có các tính ch ấ t a, b, c, d - Đ ố i tƣ ợ ng B có các tính ch ấ t a, b, c K ế t lu ậ n - Đ ố i tƣ ợ ng B cũng có tính ch ấ t d Ví d ụ 1 21 Ta đã biết: “Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng các s ố t ự nhiên thì t ổ ng không thay đổi”; t đó có thể rút ra: (1) Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng các phân s ố thì t ổng không thay đổ i 14 (2) Khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng các s ố th ậ p phân thì t ổ ng không tha y đổ i Đây là phép SL tƣơng tự Trong phép SL này t nh ữ ng ti ền đề đúng rút ra kế t lu ậ n đúng Ví d ụ 1 22 T quy t ắ c nhân nh ẩ m m ộ t s ố v ới 11: “Muố n nhân m ộ t s ố v ớ i 11, ta nhân s ố đó vớ i 10 r ồ i c ộ ng v ớ i chính s ố đó”, ta có thể dùng SL tƣơng tự để nêu ra các quy t ắ c sau: (1) Mu ố n nhân m ộ t s ố v ớ i 21, ta nhân s ố đó vớ i 20 r ồ i c ộ ng v ớ i chính s ố đó (2) Mu ố n nhân m ộ t s ố v ớ i 61, ta nhân s ố đó vớ i 60 r ồ i c ộ ng v ớ i chính s ố đó (3) Mu ố n nhân m ộ t s ố v ớ i 29, ta nhân s ố đó vớ i 30 r ồ i tr v ớ i chính s ố đó Đây là phép SL tƣơng tự Trong phép SL này, t các ti ền đề đúng ta rút ra đƣợ c k ế t lu ận đúng Ví d ụ 1 23 Ta đã biết: “Mọ i s ố t ậ n cùng b ằ ng 2 thì chia h ết cho 2”, t đó bằng SL tƣơng tự ta có th ể suy ra: (1) M ọ i s ố có t ậ n cùng là 5 thì chia h ế t cho 5 (2) M ọ i s ố có t ậ n cùng là 3 thì chia h ế t cho 3 (3) M ọ i s ố có t ậ n cùng là 7 thì chia h ế t cho 7 Trong phép SL này, t ti ền đề đúng nhƣng kế t lu ậ n rút ra l ạ i sai Phép SL tƣơng tự có vai trò quan tr ọ ng trong Toán ti ể u h ọ c Có nhi ề u bi ệ n pháp tính ho ặ c cách gi ả i m ộ t bài toán không th ể nêu đƣợc dƣớ i d ạ ng quy t ắc chung Khi đó ta thƣờ ng d ạ y nh ữ ng bi ệ n pháp tính và cách gi ả i các lo ại toán này dƣớ i d ạ ng bài t ậ p m ẫ u, sau đó họ c sinh có th ể áp d ụng tƣơng tự nhƣ các bài tậ p m ẫu để luy ệ n t ậ p Ví d ụ 1 24 a Sau khi HS đã nắm đƣợ c d ấ u hi ệu để m ộ t s ố chia h ế t cho 2 là ch ữ s ố t ậ n cùng c ủ a s ố đó chia hế t cho 2, GV có th ể hƣớ ng d ẫ n HS v ậ n d ụng phép SL tƣơng tự để tìm ra d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 5 là ch ữ s ố t ậ n cùng c ủ a s ố đó phả i chia h ết cho 5 Do đó số đó phả i có t ậ n cùng là 0 ho ặ c 5 b Sau khi HS n ắm dƣợ c d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 9 là t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố đó phả i chia h ế t cho 9 GV có th ể hƣớ ng d ẫn HS dùng SL tƣơng tự để tìm ra d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 3 là t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a s ố đó chia hế t cho 3 c Sau khi HS n ắm đƣợ c tính ch ấ t giao hoán ở phép c ộng là khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổng đó không thay đổ i D ựa vào SL tƣơng tự , GV có th ể hƣớ ng d ẫ n 15 HS tìm ra tính ch ấ t giao hoán c ủa phép nhân là khi đổ i ch ỗ các th a s ố trong m ộ t tích thì tích đó không thay đổ i 1 1 1 2 3 M ố i quan h ệ c ủ a suy lu ậ n di ễ n d ị ch và suy lu ậ n nghe có lí Suy lu ậ n di ễ n d ị ch là suy lu ận mà khi ta đi theo cách thứ c c ủ a nó thì t nh ữ ng ti ền đề đúng chúng ta luôn suy ra đƣợ c nh ữ ng k ế t lu ận đúng Còn suy luậ n nghe có lí là suy lu ậ n mà khi dùng nó thì t nh ữ ng ti ề n đề đúng có khi ta rút ra các kế t lu ận đúng, có khi ta rút ra nh ữ ng k ế t lu ậ n sai M ặc dù khác nhau nhƣ vậy nhƣng hai loạ i SL này không mâu thu ẫ n v ớ i nhau mà có liên quan ch ặ t ch ẽ , b ổ sung cho nhau trong m ọ i quá trình h ọ c t ậ p và nghiên c ứ u toán h ọc Ngƣờ i t a thƣờng dùng các phép SL có lí để d ạ y cho h ọ c sinh các ki ế n th ứ c m ớ i, các quy t ắ c m ới; sau đó dùng phép SL suy diễn để hƣớ ng d ẫ n HS luy ệ n t ậ p áp d ụ ng các quy t ắ c và ki ế n th ứ c m ớ i vào gi ả i nh ữ ng bài t ậ p c ụ th ể , 2 phép SL này tƣơng ứ ng v ới 2 bƣớ c lên l ớ p quan tr ọ ng là: - Bƣớ c d ạ y bài m ớ i - Bƣớ c luy ệ n t ập rèn kĩ năng Ví d ụ 1 25 Sau khi cho HS quan sát các trƣờ ng h ợ p riêng: - 2 x 3 = 6 và 3 x 2 = 6 - 4 x 3 = 12 và 3 x 4 = 12 - 5 x 7 = 35 và 7 x 5 = 35 GV hƣớ ng d ẫ n HS nêu ra nh ận xét chung: “Khi ta đổ i ch ỗ các th a s ố trong m ộ t tích thì tích đó không thay đổi” Đó là phép SL có lí (Quy nạ p không hoàn toàn) Áp d ụ ng nh ận xét chung này vào các trƣờ ng h ợ p riêng: - Khi g ặp bài toán điề n s ố vào ch ỗ ch ấm 6 x 9 = … x 6 HS có thể gi ải nhƣ sau: “Ta có: 6 x 9 = 9 x 6, v ậy điề n s ố 9 vào ch ỗ ch ấm” - Khi g ặp dãy tính “2 x 13 x 5 = ?” HS có thể đổ i ch ỗ hai th a s ố 13 và 5 để tính nhanh hơn: 2 x 13 x 5 = 2 x 5 x 13 = 130 Khi đó ta đã dùng SL suy diễn để gi ả i bài t ậ p Qua ví d ụ trên ta th ấy đƣợc hai phép SL này đƣợ c áp d ụ ng trong m ộ t th ể th ố ng nh ấ t k ế th a và làm ti ền đề c ủ a nhau, h ỗ tr ợ cho nhau Vì n ế u di ễ n d ịch là đi t cái chung đến cái riêng, thì trƣớc đó cầ n ph ả i có suy lu ậ n có lí (quy n ạ p không hoàn toàn, 16 SL tƣơng tự) để d ự đoán cái chung đã Nói cách khác, SL có lí cung c ấ p nguyên li ệ u cho di ễ n d ị ch, di ễ n d ị ch l ại đặ t ra yêu c ầ u m ớ i cho SL có lí, kh ẳng đị nh hay ph ủ đị nh nh ữ ng d ự đoán (giả thuy ế t) c ủa bƣớ c SL có lí Vì th ế có th ể nói “sự k ế t h ợ p ch ặ t ch ẽ gi ữ a SL có lí và SL suy di ễ n v a là đặc trƣng của phƣơn g pháp toán h ọ c nói chung v a là điể m c ố t y ếu trong phƣơng pháp dạ y toán ở ti ể u h ọc nói riêng” Ngoài ra, s ự k ế t h ợ p ch ặ t ch ẽ gi ữ a SL có lí và SL suy di ễn có khi còn đƣợ c th ể hi ệ n ngay trong quá trình d ạ y ki ế n th ứ c m ớ i Ch ẳ ng h ạ n: Ví d ụ 1 26 a Ta đã biế t quy t ắ c: Mu ố n chia m ộ t s ố th ậ p phân cho m ộ t s ố t ự nhiên: - Ta chia ph ầ n nguyên c ủ a s ố b ị chia cho s ố chia - Vi ế t d ấ u ph ẩy vào bên trái thƣơng đã tìm đƣợc trƣớ c khi l ấ y ch ữ s ố th ập phân đầ u tiên ở ph ầ n th ậ p phân c ủ a s ố b ị chia để ti ế p t ụ c th ự c hi ệ n phép chia - Ti ế p t ụ c chia v ớ i t ng ch ữ s ố th ậ p phân c ủ a s ố b ị chia b Áp d ụ ng quy t ắc trên vào trƣờ ng h ợp đặ c bi ệt “ chia số t ự nhiên”, chẳ ng h ạ n 52 : 16, b ằ ng cách coi 52 là s ố th ập phân đặ c bi ệ t 52 = 52,00 52 16 40 3,25 80 0 c T đó ta có quy tắc “Khi chia mộ t s ố t ự nhiên cho m ộ t s ố t ự nhiên mà còn dƣ, ta có th ể ti ế p t ục chia nhƣ sau: - Vi ế t d ấ u ph ẩ y vào bên ph ả i s ố thƣơng - Vi ế t thêm vào bên ph ả i s ố dƣ mớ i m ộ t ch ữ s ố 0 r ồ i ti ế p t ụ c chia, và có th ể làm nhƣ th ế mãi” Trong ví d ụ trên, ta th ấ y vi ệ c k ế t h ợ p gi ữ a SL có lí và SL di ễ n d ị ch Quá trình áp d ụ ng quy t ắ c a vào phép chia b là m ộ t phép suy di ễ n song quá trình suy lu ận để đi t cách tính b đế n quy t ắ c t ổ ng quát c l ạ i cho ta m ộ t phép SL có lí K ế t qu ả quá trình k ế t h ợ p này c ủa 2 phép SL đã cho ta mộ t quy t ắ c tính toán m ớ i v ề “Chia hai số t ự nhiên” cho HS 17 1 1 2 Ch ứ ng minh Quy t ắ c suy lu ậ n có nghĩa là: Nế u có các ti ền đề , ,…, thì có k ế t lu ận B, B đƣợ c g ọ i là m ộ t k ế t lu ậ n lôgic Trƣờ ng h ợ p t ấ t c ả các ti ền đề , ,…, đều đúng thì kế t lu ậ n lôgic B g ọ i là m ộ t k ế t lu ậ n ch ứ ng minh và m ệnh đề B g ọ i là đã đượ c ch ứ ng minh Nói cách khác: - M ộ t k ế t lu ậ n ch ứ ng minh là m ộ t k ế t lu ậ n lôgic c ủ a các ti ền đề đúng - Ch ứ ng minh m ộ t m ệnh đề B là ch ỉ rõ B là k ế t lu ậ n lôgic c ủ a các ti ền đề đúng M ỗ i ch ứ ng minh trong toán h ọ c bao g ồ m m ộ t s ố h ữ u h ạ n b ƣớc, trong đó mỗi bƣớ c là m ộ t suy lu ậ n di ễ n d ịch, trong đó ta đã vậ n d ụ ng m ộ t quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát Trong các trƣờ ng h ợ p ch ứ ng minh ch ỉ g ồ m m ột bƣớc thì đó là mộ t phép suy lu ậ n di ễ n d ị ch v ớ i các ti ền đề đúng M ộ t phép ch ứ ng minh g ồ m ba ph ầ n: 1 Lu ậ n đề là m ệnh đề ta ph ả i ch ứ ng minh 2 Lu ậ n c ứ là nh ữ ng m ệnh đề mà tính đúng đắ n c ủa nó đã đƣợ c kh ẳng định (thƣờ ng là các định nghĩa, tiền đề ho ặc định lí đã đƣợ c ch ứng minh trƣớc đó,…) dùng làm tiền đề trong m ỗi bƣớ c suy lu ậ n 3 Lu ậ n ch ứ ng l à nh ữ ng quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát đƣ ợ c s ử d ụ ng trong m ỗ i bƣ ớ c suy lu ậ n c ủ a ch ứ ng minh đó Nhƣ vậ y ch ứ ng minh t ti ền đề A d ẫn đế n k ế t lu ậ n B ( A → B) là: - Thi ế t l ậ p m ột dãy các bƣớ c suy lu ậ n di ễ n d ị ch - Trong m ỗi bƣớ c ta ch ỉ rõ ti ền đề k ế t lu ậ n và quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát đƣợ c áp d ụ ng [4,92] Ví d ụ 1 2 7 Ch ứ ng minh 432135 chia h ế t cho 9 - M ọ i s ố t ự nhiên có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì nó chia h ế t cho 9 - S ố 432135 có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 V ậ y 432135 chia h ế t cho 9 Trong phép ch ứ ng minh này, lu ận đề là 432135 chia h ế t cho 9; lu ậ n c ứ là M ọ i s ố t ự nhiên có t ổ ng các ch ữ s ố chia h ế t cho 9 thì nó chia h ế t cho 9; lu ậ n ch ứ ng là quy t ắ c suy lu ậ n 18 Ví d ụ 1 2 8 Ch ứ ng minh 1044 chia h ế t cho 2 và 9 - 1044 có ch ữ s ố t ậ n cùng là 4 nên nó chia h ế t cho 2 - 1044 có t ổ ng các ch ữ s ố là 9 nên nó chia h ế t cho 9 V ậ y 1044 chia h ế t cho 2 và 9 Trong phép ch ứng minh này, ta đã dùng 2 luậ n c ứ để ch ứ ng minh: d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 2 và d ấ u hi ệ u chia h ế t cho 9, áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n: Ví d ụ 1 2 9 Ch ứ ng minh r ằ ng n × (n + 1 ) chia h ế t cho 2 Bài g i ả i: - N ế u n chia h ế t cho 2 thì n × (n + 1) chia h ế t cho 2 - N ếu n chia 2 dƣ 1 thì n + 1 chia hế t cho 2 nên n × (n + 1) chia h ế t cho 2 T đây ta có n× (n + 1) chia h ế t cho 2 1 30 Ch ứ ng minh r ằ ng tích c ủ a ba s ố t ự nhiên liên ti ế p chia h ế t cho 6 Bài g i ả i: Gi ả s ử n là s ố t ự nhiên và T = n × ( n + 1) × (n + 2), ta ch ứ ng minh T chia h ế t cho 6 Ta có T chia h ế t cho 2 vì trong hai s ố t ự nhiên liên ti ế p ph ả i có m ộ t s ố ch ẵ n (1) - N ế u n chia h ế t cho 3 thì T chia h ế t cho 3 - N ếu n chia 3 dƣ 1 thì n + 2 chia hế t cho 3 nên T chia h ế t cho 3 - N ếu n chia 3 dƣ 2 thì n + 1 chia hế t cho 3 nên T chia h ế t cho 3 T đó ta có T chia hế t cho 3 (2) Vì 2 và 3 là hai s ố nguyên t ố cùng nhau nên t (1) và (2) ta suy ra T chia h ế t cho 6, hay tích c ủ a 3 s ố t ự nhiên liên ti ế p chia h ế t cho 6 1 1 3 Các phương pháp chứ ng minh toán h ọc thườ ng g ặ p 1 1 3 1 Phương pháp ch ứ ng minh tr ự c ti ế p M ệnh đề B đƣợ c g ọ i là ch ứ ng minh tr ự c ti ế p n ế u ta ch ỉ ra đƣợ c B là k ế t lu ậ n lôgic c ủ a các ti ền đề đúng , ,…, Cơ sở ch ứng minh phƣơn g pháp tr ự c ti ế p là quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầ u: Khi ch ứ ng minh t ti ền đề A đế n k ế t lu ậ n B b ằng phƣơng pháp chứ ng minh tr ự c ti ế p, ta ti ến hành theo sơ đồ sau: A → ; → ; ; → ; → B Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n b ắ c c ầu ta đƣợc điề u ph ả i ch ứ ng minh [10,188] 19 Ví d ụ 1 3 1 Ch ứ ng minh r ằ ng “N ế u a chia h ế t cho 6 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 3” - Suy lu ậ n 1: A → A: a chia h ế t cho 6 : a chia h ế t c ho 3 - Suy lu ậ n 2: : a chia h ế t cho 3 : t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a a chia h ế t cho 3 T đó rút ra kế t lu ậ n: N ế u a chia h ế t cho 6 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 3 Ví d ụ 1 3 2 Ch ứ ng minh r ằ ng “N ế u a chia h ế t cho 18 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a n ó chia h ế t cho 9 ” Ta có: N ế u a chia h ế t cho 18 thì a chia h ế t cho 9 N ế u a chia h ế t cho 9 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 9 V ậ y n ế u a chia h ế t cho 18 thì t ổ ng các ch ữ s ố c ủ a nó chia h ế t cho 9 1 1 3 2 Phương pháp ch ứ ng minh ph ả n ch ứ ng Trong trƣờ ng h ợ p t ổ ng quát, mu ố n ch ứ ng minh t ti ền đề A d ẫn đế n k ế t lu ậ n B b ằng phƣơng pháp phả n ch ứ ng ta ti ến hành theo sơ đồ sau: - Gi ả s ử A đúng mà B sai - A ˄ B → C ˄ C - Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n ) - Ta rút ra k ế t lu ậ n A → B là đúng Đôi khi sơ đồ trên đƣợ c thu g ọn nhƣ sau: - Gi ả s ử A đúng mà B sai - B → A - Áp d ụ ng quy t ắ c suy lu ậ n Ta rút ra k ế t lu ậ n A → B là đúng [10 , 190] Ví d ụ 1 3 3 Ch ứ ng minh r ằ ng “ 3 n + 2 là s ố l ẻ thì n là s ố l ẻ ” Gi ả s ử n là s ố ch ẵ n, ta có n = 2 x k Suy ra 3n + 2 = 3 × 2k + 2 = 2 × (3 k + 1), đây là s ố ch ẵ n V ậ y 3n + 2 là s ố l ẻ thì n là s ố l ẻ 20 Ví d ụ 1 3 4 Ch ứ ng minh r ằ ng không t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên a K hi chia c ho 15 dƣ 6 và chia cho 24 dƣ 16 b Khi chia cho 18 dƣ 9 và chia cho 27 dƣ 12 Bài gi ả i: a Gi ả s ử t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên a khi chia cho 15 dƣ 6 và chia cho 24 dƣ 16 Suy ra a = 15k + 6 = 3 × (5k + 2) chia h ế t cho 3 Và a = 24l + 16 không chia h ế t cho 3 Nhƣ vậ y a v a chia h ế t cho 3 v a không chia h ế t cho 3 Điề u này vô lí Do đó không t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên khi chia cho 15 dƣ 6 và chia cho 24 dƣ 16 b Gi ả s ử t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên b khi chia cho 18 dƣ 9 và chia cho 27 dƣ 12 Suy ra b = 18p + 9 = 9 × (2p + 1) chia h ế t cho 9 Và b = 27q + 12 không chia h ế t cho 9 Nhƣ vậ y b v a chia h ế t cho 9 v a không chia h ế t cho 9 Điề u này vô lí Do đó không t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên khi chia cho 18 dƣ 9 và chia cho 27 dƣ 1 2 Ví d ụ 1 35 Ch ứ ng minh r ằ ng n × (n + 1 ) chia h ế t cho 2 Bài gi ả i: Gi ả s ử n×(n +1) không chia h ế t cho 2 N ế u n không chia h ế t cho 2 thì n = 2k + 1 Suy ra n (n + 1) = (2k + 1)×(2k + 2) = 2×(2k + 1)×(k + 1) chia h ế t cho 2 (1) N ế u n + 1 không chia h ế t cho 2 thì n + 1 = 2k + 1 Suy ra n×(n + 1) = 2k×(2k + 1) chia h ế t cho 2 (2) T (1) và (2) ta th ấy ngƣợ c v ớ i gi ả thuy ế t V ậ y n×(n + 1) chia h ế t cho 2 1 1 3 3 Phương pháp chứ ng minh quy n ạ p hoàn toàn Gi ả s ử t ậ p h ữ u h ạ n X = { , ,… , } và T(x) là hàm m ệnh đề xác đị nh trong t ậ p X Ta ph ả i ch ứ ng minh m ệnh đề : Ɐ x є X, T(x) là đúng bằng phƣơng pháp quy nạ p hoàn toàn Ta c ầ n ch ứ ng t ỏ r ằ ng T( ), T( ),…, T( ) đề u là nh ữ ng m ệnh đề đúng T đó k ế t lu ậ n m ệnh đề trên là đúng [10 ,191] 21 Ở đây ta áp dụ ng quy t ắ c suy lu ậ n t ổ ng quát: ( ) ( ) ( ) * + ( ) Ví d ụ 1 36 Ch ứ ng minh r ằng “ Trong 50 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 5 đề u chia h ết cho 5” Ta có: 5 chia h ế t cho 5 15 chia h ế t cho 5 25 chia h ế t cho 5 35 chia h ế t cho 5 45 chia hêt cho 5 V ậ y trong ph ạ m vi 50 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ận cùng là 5 đề u chia h ế t cho 5 Ví d ụ 1 37 Ch ứ ng minh r ằng “ Trong 60 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 2 đề u chia h ết cho 2” Ta có: 2 chia h ế t cho 2 12 chia h ế t cho 2 22 chia h ế t cho 2 32 chia h ế t cho 2 42 chia h ế t cho 2 52 chia h ế t cho 2 V ậ y trong ph ạ m vi 60 s ố t ự nhiên đầ u tiên, các s ố có t ậ n cùng là 2 đề u chia h ế t cho 2 Ví d ụ 1 38 Ch ứ ng minh r ằ ng “ N ế u n chia h ế t cho 3 thì n (n + 1) chia h ế t cho 6” Bài gi ả i: Ta có n chia h ế t cho 3 nên n = 3k (v ớ i k là s ố nguyên) + N ế u k là s ố ch ẵ n thì k = 2m; v ậ y n = 3×2m = 6m Khi đó n× (n + 1) = 6m×( 6m + 1) , v ậ y n×(n + 1) chia h ế t cho 6 (1) + N ế u k là s ố l ẻ thì k = 2m + 1, v ậ y n = 3×(2m + 1) = 6m + 3 khi đó n×(n + 1) = (6m + 3)×(6m + 4) = 3×(2m +1)×2×(3m +2) = 6×(2m + 1)× (2m + 2), v ậ y n×(n + 1) chia h ế t cho 6 (2) T (1) và (2) suy ra n ế u n chia h ế t cho 3 thì n×(n + 1) chia h ế t cho 6 Ví d ụ 1 3 9 Ch ứ ng minh r ằ ng tích c ủ a b ố n s ố t ự nhiên liên ti ế p thì chia h ế t 4 22 Bài gi ả i: Gi ả s ử n là s ố t ự nhiên và T = n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3) G ọ i D là t ậ p các s ố dƣ c ủ a phép chia n ch o 4 V ậ y D = {0 , 1 , 2 , 3} - N ế u s ố dƣ bằ ng 0 thì n chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 - N ế u s ố dƣ bằ ng 1 thì (n + 3) chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 - N ế u s ố dƣ bằ ng 2 thì (n + 2) chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 - N ế u s ố dƣ bằ ng 3 thì (n + 1) chia h ế t cho 4 Suy ra T chia h ế t cho 4 V ậ y T chia h ế t cho 4 v ớ i m ọ i s ố t ự nhiên 1 1 3 4 Phương pháp chứ ng minh quy n ạ p không hoàn toàn Ch ứ ng minh quy n ạp không hoàn toàn là phƣơng pháp mà ta đi chứ ng minh m ộ t vài trƣờ ng h ợp riêng để đi đế n k ế t lu ậ n chung Ví d ụ 1 40 Ch ứ ng minh r ằ ng “ Khi chia m ộ t s ố cho 0 5 ta ch ỉ c ầ n g ấ p đôi s ố đó” Để ch ứ ng minh m ệnh đề này, ta làm nhƣ sau: Ta th ấ y: 3 : 0 5 = 6; 3 x 2 = 6 6 : 0 5 = 12; 6 x 2 = 12 9 : 0 5 = 18; 9 x 2 = 18 100 : 0 5 = 200; 100 x 2 = 200 1580 : 0 5 = 3160; 1580 x 2 = 3160 Ta rút ra k ế t lu ậ n: Khi chia m ộ t s ố t ự nhiên cho 0 5 ta ch ỉ c ầ n g ấp đôi số đó Ví d ụ 1 41 ch ứ ng minh r ằ ng Các s ố có hai ch ữ s ố cu ố i t ạ o thành m ộ t s ố chia h ế t cho 4 thì s ố đó chia h ế t cho 4 Ta th ấ y: 116 chia h ế t cho 4 2004 chia h ế t cho 4 4532 chia h ế t cho 4 12508 chia h ế t cho 4 15236 chia h ế t cho 4 K ế t lu ậ n: Các s ố có hai ch ữ s ố cu ố i t ạ o thành m ộ t s ố chia h ế t cho 4 thì s ố đó chia hế t cho 4 Ví d ụ 1 4 2 ch ứ ng minh r ằ ng Khi đ ổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổ ng đó không thay đ ổ i 23 Bài gi ả i: Ta có b ả ng sau: a b a + b b + a 3 4 3 + 4 = 7 4 + 3 = 7 15 28 15 + 28 = 43 28 + 15 = 43 125 352 125 + 352 = 477 352 + 125 = 477 355 280 355 + 280 = 635 280 + 355 = 635 1208 2764 1208 + 2764 = 3972 2764 + 1208 = 3972 2341 4321 2341 + 4321 = 6662 4321 + 2341 = 6662 V ậy khi đổ i ch ỗ các s ố h ạ ng trong m ộ t t ổ ng thì t ổng đó không thay đổ i Ví d ụ 1 4 3 Ch ứ ng minh 1 nhân v ớ i s ố nào cũng b ằ ng chính nó Ta có: 1 x 2 = 2 1 x 5 = 5 1 x 10 = 10 1 x 100 = 100 1 x 257 = 257 V ậ y 1 nhân v ớ i s ố nào cũng bằ ng chính nó 1 1 4 Vai trò c ủ a các phép suy lu ậ n và ch ứ ng minh trong d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c Suy lu ậ n và ch ứ ng minh có vai trò quan tr ọ ng trong d ạ y h ọ c toán ở ti ể u h ọ c nói riêng và trong toán h ọ c nói chung Suy lu ậ n và ch ứng minh đƣợ c xem là m ộ t trong nh ữ ng n ề n t ả ng xây d ự ng nên các ngành khoa h ọ c t ự nhiên T xƣa đế n nay, nh ờ SL và CM mà ngƣờ i ta có th ể nh ậ n th ức đƣợc cái chƣa biế t t nh ững cái đã biết SL và CM còn là cơ sở c ủ a s ự sáng t ạ o T các phán đoán, đƣa đế n các ch ứng minh để ch ấ p nh ậ n hay bác b ỏ m ộ t v ấn đề nào đó Việ c v ậ n d ụ ng các phép SL và CM vào trong d ạ y h