NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP - Full 10 điểm

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- PHẠM THỊ ANH DIỆP NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP Sinh viên thực hiện PHẠM THỊ ANH DIỆP MSSV: 2114020106 CHUYÊN NGÀNH: SƢ PHẠM TOÁN KHÓA: 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn ThS. PHẠM NGỌC HOÀNG Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình làm khóa luận, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của ThS. Phạm Ngọc Hoàng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa đã tạo điều kiện cho tôi được nghiên cứu nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Vậy mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Tam Kỳ, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Phạm Thị Anh Diệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi và được sự hướng dẫn khoa học của ThS. Phạm Ngọc Hoàng. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và không phải sao chép từ bất kỳ tài liệu nào. Nếu không đúng như đã nêu trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình. MỤC LỤC Phần 2. NỘI DUNG .......................................................................................................1 CHƢƠNG 1. MÔĐUN VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN...................................1 1.1. Môđun...................................................................................................................1 1.1.1. Các khái niệm chung về môđun ......................................................................1 1.1.2. Một số tính chất của môđun ............................................................................3 1.1.3. Môđun con ........................................................................................................4 1.1.4. Môđun thƣơng ..................................................................................................4 1.1.5. Môđun hữu hạn sinh ........................................................................................5 1.2. Đồng cấu môđun ..................................................................................................6 1.2.1. Định nghĩa 1 .........................................................................................................6 1.2.2. Định nghĩa 2 .........................................................................................................7 1.2.3. Định lí về đồng cấu môđun .................................................................................7 1.3. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp .............................................................................9 1.4. Môđun tự do ..........................................................................................................10 CHƢƠNG 2. NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP ....................................14 2.1. Dãy khớp ...............................................................................................................14 2.2. Nhóm cộng Hom(X,Y) .......................................................................................... 18 2.2.1. Nhóm cộng Hom(X,Y) .......................................................................................18 2.2.2. Đồng cấu cảm sinh ............................................................................................. 19 2.3. Môđun xạ ảnh .......................................................................................................19 2.3.1.Định nghĩa ...........................................................................................................19 2.3.2.Tính chất của môđun xạ ảnh .............................................................................20 2.4. Mô đun nội xạ ....................................................................................................24 2.4.1. Định nghĩa: .........................................................................................................24 2.4.2.Tính chất của môđun nội xạ ..............................................................................25 2.5. Nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp ................................................................ 29 Phần 3. KẾT LUẬN ....................................................................................................36 Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................37 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Đại số là một lĩnh vực của phân nhánh lớn của toán học, là một chủ đề thống nhất của hầu hết tất cả lĩnh vực của toán học. Trong đó đại số hiện đại là một lĩnh vực quan trọng trong toán học tiên tiến, là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của các nhà toán học chuyên nghiệp. Lý thuyết môđun là môn học của đại số hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Aben và không gian véc tơ. Tính linh hoạt và phổ quát của môđun mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lí thuyết môđun để hiểu hơn về không gian véc tơ và nhiều lí thuyết toán học khác. Dãy khớp là một trong những ứng dụng khi nghiên cứu lý thuyết môđun đó là dãy các đồng cấu môđun thỏa mãn tính chất ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân của đồng cấu ra. Khi các môđun trên các đồng cấu được thay bởi môđun của nhóm cộng các đồng cấu Hom(X,Y) thì dãy khớp có nhiều tính chất và ứng dụng hay. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài: “Nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp” để làm khóa luận tốt nghiệp của mình. 1.2. Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu một số tính chất và một số ứng dụng của môđun Hom(X,Y) và dãy khớp 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức liên quan về môđun và các khái niệm liên quan cùng một số kết quả về nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết Môđun 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 1.5. Đóng góp của đề tài Đề tài cung cấp các kiến thức liên quan đến nhóm cộng Hom(X,Y) trong đó X, Y là các môđun và các mô đun đặc biệt như: nội xạ, xạ ảnh,.. kèm theo một số ứng dụng của nó với dãy khớp dưới dạng các bài tập. Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để sinh viên nghiên cứu, bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức. 1.6. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: Chương 1: Môđun và các khái niệm liên quan Chương 2: Nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp Phần tài liệu tham khảo và kiến nghị 1 Phần 2. NỘI DUNG CHƢƠNG 1. MÔĐUN VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN 1.1. Môđun 1.1.1. Các khái niệm chung về môđun Giả sử R là vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên R là một nhóm Aben M (viết theo lối cộng) cùng với một ánh xạ: R  M  M (r,x) rx (hoặc r.x) thường được gọi là phép nhân với vô hướng thoả mãn các điều kiện: (M1) r(x + y) = rx + ry (M2) (r + s)x = rx + sx (M3) (rs)x = r(sx) (M4) 1x = x r,s  R ; x,y  M . Tương tự, môđun phải trên R là một nhóm Aben cùng với một ánh xạ: M  R  M (x,r) xr thoả mãn các điều kiện (M1’), (M2’), (M4’) giống như (M1), (M2), (M4) nói trên, trong đó các vô hướng viết ở bên phải và điều kiện sau: (M3’) x(rs) = (xr)s ; x  M , r,s  R Như vậy, các môđun trái và phải trên R chỉ khác nhau ở một điểm: Khi một tích rs  R “tác động” lên các môđun này, thì r “tác động” trước hay s “tác động” trước. Do đó, nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm môđun trái và môđun phải trên R là trùng nhau.  Môđun trái (phải) trên R còn được gọi là Rmôđun trái (phải).  Sau đây ta chỉ xét các Rmôđun trái và gọi tắt là các Rmôđun. Đôi khi vành R đã được chỉ rõ và không sợ nhầm lẫn gì, ta sẽ gọi các Rmôđun là các môđun cho đơn giản. Các ví dụ 1. Cho R = là vành các số nguyên, còn A là nhóm aben. Khi đó ánh xạ:: A A  (n,a) na 2 thỏa mãn điều kiện phép nhân vô hướng. Do đó nhóm aben A được xem như một môđun trên vành . Vậy ta có -môđun. 2. Cho R là một vành giao hoán với đơn vị 1 0. Khi đó ánh xạ:: R R R  (r,s) rs trong đó rs là phép nhân trong R, thỏa mãn các tính chất của phép nhân vô hướng. Do đó vành R là một môđun. 3. Cho F là một trường, lúc đó mỗi không gian véctơ trên F là một F-môđun. 4. Tập hợp Map(S,M) các ánh xạ từ tập S vào một Rmôđun M là một Rmôđun với hai phép toán định nghĩa như sau: +Phép cộng:  f,g  Map(S,M) : (f,g) f + g với (f + g)(s) = f(s) + g(s), s  S , (phép cộng ở vế sau của đẳng thức chính là phép cộng trong Rmôđun M). +Phép nhân: r  R ; f  Map(S,M) : (r,f) rf với (rf)(s) = r.f(s) , s  S , (phép nhân ở vế sau của đẳng thức chính là phép nhân một phần tử của Rmôđun M với một vô hướng r  R). Bây giờ ta sẽ chứng minh Map(S,M) cùng hai phép toán nói trên là một Rmôđun:  Dễ kiểm tra rằng Map(S,M) là một nhóm Aben với phép cộng; phần tử không của Map(S,M) là ánh xạ 0 : S  M sao cho 0(s) = 0M , s  S; phần tử đối của f  Map(S,M) là f  Map(S,M), đó là ánh xạ: (f) : S  M sao cho (f)(s) = f(s) , s  S. Mặt khác, ta kiểm tra phép nhân nêu trên thoả mãn các điều kiện của định nghĩa Rmôđun với giả thiết M là Rmôđun: (M1) r  R ; f,g  Map(S,M) ; s  S ta có: [r(f + g)](s) = r.[(f + g)(s)] = r.[f(s) + g(s)] = r.f(s) + r.g(s) = (rf)(s) + (rg)(s) = (rf + rg)(s) r(f + g) = rf + rg. (M2) r,r’  R ;  f  Map(S,M) ;  s  S ta có: [(r + r’)f](s) = (r + r’).f(s) = r.f(s) + r’.f(s) = (rf)(s) + (r’f)(s) = (rf + r’f)(s) 3 (r + r’)f = rf + r’f. (M3) r,r’  R ; f  Map(S,M) ; s  S ta có: [(rr’)f](s) = (rr’).f(s) = r[r’.f(s)] = r[(r’f)(s)] = [r(r’f)](s) (rr’)f = r(r’f). (M4) f  Map(S,M) ; 1  R , s  S ta có: (1f)(s) = 1.f(s) = f(s) 1f = f. Vậy, Map(S,M) là một Rmôđun. 1.1.2. Một số tính chất của môđun Cho M là R-mô đun trái. Khi đó i.0x 0 vàa0 0 , ii.( a)x ax   vàa( x) ax,   iii.(a b)x ax bx,   iv.a(x y) ax- ay,  với mọia,b và mọi x, yM , trong đó x – y = x +(-y). Thật vậy, 0x + 0x = (0 + 0)x = 0x + 0, khi thực hiện giản ước phần tử 0x ở cả hai vế đẳng thức ta được 0x=0. Vậy ta có đẳng thức đầu i). Đẳng thức thứ hai của i) được suy ra từa0 a0 a(0 0) a0 0     Vì( a)x ax = (-a + a)x = 0x = 0, a( x) ax = a(-x + x) = a0 = 0  , nên ta có( a)x ax   ,a( x) ax   , tức ii) đúng. Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân ngoài với các phép cộng trên cơ sở định nghĩa các phép trừ ta chứng minh các tính chất iii), iv) như sau:(a b)x (a ( b))x ax ( b)x      = ax +(-bx) = ax bx 4a(x - y) = a(x + (-y))= ax a( y) = ax +(-ay)= ax -ay 1.1.3. Môđun con Giả sử M là một R- môđun. Xét tập conA   của M có tính chất: a) a, b A kéo theo a+ b A. b) a A,r R kéo theora A . Ta nói tập A đóng kín đối với phép cộng trong M và phép nhân vô hướng. Khi đó các phép toán của R- môđun M hạn chế trên tập A cũng cho ta các phép toán trên A, gọi là các phép toán cảm sinh. Nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh thỏa mãn hệ tiên đề của một R- môđun thì ta nói A là một R- môđun con của M. Ta có thể phát biểu lại như sau: Định nghĩa 1. Giả sử M là một R- môđun. Tập conA   của M được gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân với vô hướng của M hạn chế trên A. Từ định nghĩa của môđun con ta có thể đưa ra những tiêu chuẩn đơn giản để kiểm nghiệm một tập con có phải là một môđun hay không. Mệnh đề 1: Cho M là một R- môđun. Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các điều sau là tương đương: i) A là môđun con của M. ii) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi a A, mọir R ta córa A Với mọi a, b A và mọi r, s R ta có ra + sb A. Ví dụ 1. Mỗi K-môđun X có hai môđun con tầm thường X và {0}. 2. Mỗi nhóm con A của nhóm Aben X là một môđun con của A – môđun X 3. Giả sử K là một vành có đơn vị. Vành K là một K-môđun. Khi đó mỗi iđêan trái của K là một môđun con. 1.1.4. Môđun thƣơng Mọi môđun con A của R- môđun M là nhóm con của nhóm cộng M. Do đó ta có nhóm thươngM A = m A | m A  với phép cộng các lớp ghép cho bởi:1 2 1 2(m A) (m A) (m m ) A      5 Trong nhóm thươngM A có thể đưa ra phép nhân vô hướng cảm sinh để nhóm abenM A trở thành một R- môđun. Mệnh đề 2: Cho A là môđun con của R- môđun M. Khi đó tương ứng:R (M A) M A (r,m A) rm A  là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thươngM A là R- môđun với phép nhân với vô hướng r(m + A) = rm +A Ví dụ 1. R là vành , I là một Iđêan của R. Khi đóR / I là một R- môđun và: R / I x x I, x R     2.   n n ; / n là môđun 1.1.5. Môđun hữu hạn sinh Định nghĩa Cho M là một R-môđun, S là một tập con của M. Khi đó giao tất cả các môđun con của M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S. Môđun con của M bé nhất chứa S được gọi là môđun con của M sinh bởi tập S. Ký hiệu Nếu = M thì S gọi là một hệ sinh của M Nếu S là hệ sinh của môđun M sao cho với mọi tập con'''' S S ta đều có'''' S M  thì S được gọi là hệ sinh cực tiểu của môđun M. Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là môđun hữu hạn sinh. Ví dụ: 1) Cho R là một vành, n là số nguyên dương. Khi đó, R-môđun là một R-môđun hữu hạn sinh. 2) Cho R là một vành, R-môđun R[x] không phải là một R-môđun hữu hạn sinh. 3) Nhóm cộng các số hữu tỉ được xem như là một -môđun không phải là môđun hữu hạn sinh. Cho S là một hệ sinh hữu hạn của R-môđun M. Khi đó môđun M là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính với hệ tử trong R của các phần tử của S. 6 Nếu 1 2 nS x ,x ,...,x thì n i i i i i 0 M a x ,a , x S           Đặc biệt: Nếu S x thì M ax,a R Rx   1.2. Đồng cấu môđun 1.2.1. Định nghĩa 1 Giả sử M, M’ là các Rmôđun. Ánh xạ  : M  M’ được gọi là đồng cấu Rmôđun nếu: (x + y) = (x) + (y) ; x,y  M, (r.x) = r.(x) ; r  R , x  M. Từ định nghĩa, ta có  là đồng cấu nhóm cộng Aben cho nên:  (0M) = 0M’ ; (x) =  (x) ; (x  y) = (x)  (y) ;x,y  M. Ví dụ: (1) Ánh xạ đồng nhất idM : M  M , với mọi Rmôđun M, là đồng cấu Rmôđun. (2) Ánh xạ không 0 : M  M’ , x 0M’ là đồng cấu môđun với mọi Rmôđun M, M’. (3) Đồng cấu môđun chính là đồng cấu nhóm Aben. (4) Nếu R là một trường thì đồng cấu Rmôđun chính là đồng cấu Rkhông gian vectơ. (5) Giả sử A  M(m  n , R). Khi đó phép nhân ma trận: A : Rm  Rn (a1, a2, … , am) (a1, a2, … , am).A là một đồng cấu Rmôđun. (6) Đạo hàm hình thức d dX : R[X]  R[X] anxn + … + a1x + ao nanxn1 + … + a1 là một đồng cấu Rmôđun. Nhận xét: Hợp thành của hai đồng cấu Rmôđun là một đồng cấu Rmôđun. 7 1.2.2. Định nghĩa 2 Giả sử  : M  M’ là đồng cấu Rmôđun. Nếu  đồng thời là là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì  được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).  Đơn cấu còn được gọi là phép nhúng.  Nếu  : M  M’ là đẳng cấu môđun thì ta nói M đẳng cấu với M’ và viết M  M’ . Quan hệ đẳng cấu là một quan hệ tương đương. Nhận xét: Giả sử  : M  M’ là đồng cấu Rmôđun; N ≤ M và N’ ≤ M’. Khi đó: (N) ≤ M’ &  1(N’) ≤ M. Nói riêng:  Ker = {x  M / (x) = 0M’} =  1(0M’ ) được gọi là hạt nhân của đồng cấu Rmôđun  .  Im = {(x) / x  M} được gọi là ảnh của đồng cấu Rmôđun  . Mệnh đề: Đồng cấu Rmôđun  : M  M’ là:  Đơn cấu khi và chỉ khi Ker = 0.  Toàn cấu khi và chỉ khi Im = M’ Mệnh đề: Nếu: M N  là một đẳng cấu R–môđun thì1 : N M   là đẳng cấu R–môđun. Chứng minh: Vì: M N  là song ánh,1 : N M   là song ánh. Ngoài ra,r,s R , y, y'''' N    vì   1 y x y x      và vì   1 y'''' x'''' y'''' x'''', x,x'''' M        xác định, ta có        1 1 1 1 ry sy'''' rx sx '''' rx sx '''' r y s y''''                Vậy1  là một đẳng cấu R–môđun. Với hai R–môđun M và N, ta ký hiệuM N khi có một đẳng cấu từ M lên N. 1.2.3. Định lí về đồng cấu môđun Định lí: Với mọi đông cấu Rmôđun  : M  M’ luôn tồn tại duy nhất một đẳng cấu Rmôđun : Ker M  Im làm giao hoán biểu đồ sau: 8 Chứng minh: Xét tương ứng : Ker M  Im x + Ker (x) Ta sẽ chứng minh là đẳng cấu và làm cho biểu đồ trên giao hoán: * là ánh xạ: giả sử x1 + Ker = x2 + Ker x1  x2  Ker (x1)  (x2) = (x1  x2) = 0 (x1) = (x2) (x1 + Ker) = (x2 + Ker) . * là đồng cấu Rmôđun: giả sử (x1 + Ker), (x2 + Ker)  Ker M Ta có [(x1 + Ker) + (x2 + Ker)] = (x1 + x2 + Ker) = (x1 + x2) = (x1) + (x2) = (x1 + Ker) + (x2 + Ker) Và r  R ta có [r(x1 + Ker)] = (rx1 + Ker) = (rx1) = r.(x1) = r. (x1 + Ker). * là đơn cấu: Ker = {x + Ker / (x + Ker) = 0 } Ta có 0 = (x + Ker) = (x) => x  Ker => x + Ker = Ker =        Ker M 0 => là đơn cấu. * là toàn cấu: vì        Ker M = (M) = Im. Vậy là đẳng cấu. * làm giao hoán biểu đồ: x  M, ta có ( p)(x) = (x + Ker) = (x) => p =  . * là duy nhất: giả sử còn có  : Ker M  Im sao cho p =  . Khi đó, (x + Ker)  Ker M ta có: M M’ Ker M p    p   9 (x + Ker) = [p(x)] = (p)(x) = (x) = (x + Ker) =>  = . 1.3. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp Định nghĩa: Giả sử {Mi}I là một họ các Rmôđun. Trên tập tích Descartes I iM = {(xi)I / i  I } ta trang bị hai phép toán:  Phép cộng: (xi)I + (yi)I = (xi + yi)I  Phép nhân với vô hướng : r(xi)I = (rxi)I ; xi , yi  Mi , i  I , r  R. Dễ kiểm tra rằng I iM cùng hai phép toán nói trên là một R môđun và được gọi là tích trực tiếp của họ môđun {Mi}I . Gọi i I M là tập hợp các phần tử (xi)I  I iM sao cho (xi)I có giá hữu hạn (tức xi = 0 hầu hết, trừ ra một số hữu hạn). Dễ kiểm tra rằng i I M cùng 2 phép toán định nghĩa trên I iM là một Rmôđun và được gọi là tổng trực tiếp của họ môđun {Mi}I. Mệnh đề: Giả sử1 2 n M ,M ,...,M là các môđun con của M sao cho1 2 n i j j i M M M ... M và M M 0              vớii 1, 2, ..., n . Khi đó1 2 n M M M ... M    . Chứng minh: Vì1 2 n M M M ... M    nên mỗi phần tửx M có thể viết dưới dạng1 2 n x x x ... x    vớii i x M ,i 1,2,...,n  . Cách viết này là duy nhất. Thật vậy, giả sử 1 n 1 n i i i x x ... x y ... y x , y M       . Khi đó, với mỗi1,2,...,i n ta có:     i i j j j i i i j j i j i j i x y x y M x y M M 0                      hay phần tử i i i i x y 0 x y    + Xét ánh xạ:    1 n 1 n 1 n 1 n : M M ... M M ... M x x ... x x x ,..., x             10 Ta chứng minh  là song ánh bảo toàn hai phép toán của môđun ( tức là  là đẳng cấu) - là đồng cấu:, ,x y M a R    ta có                                   1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 n n 1 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n x x ... x , y y ... y x y x ... x y ... y x y ... x y x y ,..., x y x ,..., x y ,..., y x y ax a x ... x ax ... ax ax ,...,ax a x ,..., x a x                                              - là đơn ánh: Với mọi   1 n x x ... x Ker x 0,...,0                   1 n 1 n i hay x ... x 0,...,0 x ,..., x 0,...,0 x 0, i 1,2,...,n x 0 Ker 0 .               hay là đơn ánh. + Mặt khác là toàn ánh. Vậy là đẳng cấu. 1.4. Môđun tự do Định nghĩa 1: Cho M là R-môđun - Nếu phần tử x  M (Rmôđun) được viết dưới dạng x = S s s sr thì ta nói x biểu thị tuyến tính được qua (các phần tử) của tập S. - Tập con S   của M được gọi là cơ sở của M nếu: x  M , x có sự biểu diễn tuyến tính duy nhất qua (các phần tử) của S. - Môđun M được gọi là tự do nếu M có một cơ sở, hoặc M = 0. Mệnh đề 1. R-môđun tráiF là tự do đối với cơ sởS khi và chỉ khiF biểu diễn được dưới dạng tổng trực tiếp s s S F A    ,sA R ,s S  Mệnh đề 2 (Tính phổ dụng của môđun tự do). Giả sử M là một môđun tự do với cơ sở   ài ii I i I S x v y   là hệ phần tử tùy ý của môđun N. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu môđun i i : M N sao cho x y , i I.      11 Chứng minh: Vì M là môđun tự do với cơ sở i i I S x   nên phần tửx M đều được viết duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tínhi i i I x r x    , vớii i i r R,x S và r 0   với hầu hết (trừ một số hữu hạn) chỉ số i. Xét tương ứng: M N i i i i i I i I x r x r y      - là ánh xạ: Giả sử '''' '''' '''' i i i i i i i i i M i I i I i I x r x r x x '''', r ,r R r r x 0             mà i i I x  là cơ sở nên nó độc lập tuyến tính. Từ đó suy ra   '''' '''' i i i i i i i I i I r r , i I x r y r y x ''''             . - là đồng cấu môđun: '''' i i i i i I i I x r x , x '''' r x M         . Ta có:                  '''' '''' i i i i i i i i I i I i I '''' '''' i i i i i i i i I i I i I i i i i i i i i i I i I i I i I x x '''' r x r x r r x r r y r y r y x x '''' r R, ta có rx r r x rr x rr y r r y r x                                                                    - Chứng minh i i x y , i I    . Thật vậy,i I  , ta có   i i i i x 1.x 1.y y     ( do định nghĩa ánh xạ). - duy nhất: Giả sử: M N  sao cho i i x y , i I.    Khi đói i i I x r x M     ta có:       i i i i i i i i i i i I i I i I i I i I x r x r x r y r x r x x .                                 (đpcm) Định lý 1. Tổng trực tiếp của một họ các môđun tự do là môđun tự do. Chứng minh Cho họ k k I x  các môđun tự do. GọikS là cơ sở của môđunkX . Ta cần chỉ rak k k I j (S )  là cơ sở củakX , trong đókj là phép nhúngkX vàokX . Thật vậy,kx X  , x được biểu thị một cách duy nhấtk k k I x j (x )    ; đồng thờik kj (x ) được biểu thị tuyến tính một cách duy nhất quak kj (S ) vìk kj (S ) là cơ sở củak kj (X ) . Vậy x được biểu thị tuyến tính một cách duy nhất quak kS j (S ) . 12 Vậy S là cơ sở củakX , tứckX là môđun tự do. Để xây dựng môđun tự do sinh bởi tập hợp S cho trước, trước hết chúng ta lưu ý rằng vành R là vành môđun tự do trên vành chính nó với một cơ sở là tập 1 chỉ gồm phần tử đơn vị. Cho tập hợpS   . Với mỗis S ta lấy một bản sao của vành hệ tử R, ký hiệu là s sR r : r R  . Các phần tử củasR có thể xem là phần tửr R được đánh dấu bởi chỉ số s. Và các phép cộng, phép nhân trênsR được “chép lại” từ R như sau:1s 2s 1 2 sr r (r r )  1s 2s 1 2 sr r (r r ) Hiển nhiênsR R vàsR là môđun tự do với cơ sở là tập một phần tử s1 . Khi đó theo định lý trên, tổng trực tiếp s s S F(S) R    là môđun tự do có cơ sở là: s sS'''' j (1 ) s S  . trong đós sj : R F(S) l à phép nhúng thứ s. Ta gọi F(S) là môđun tự do sinh bởi tập S. Chú ý rằng, nếus t là hai phần tử của S thìs s t tj (1 ) j (1 ) , bởi vậy ta có thể thực hiện sự đồng nhất tập hợp S với S’ nhờ song ánh:S S''''  màs s(s) j (1 )  . Và ta có quyền xem như S là một cơ sơ của F(S). Bây giờ cho S là cơ sở môđun tự do X. Khi đós S  môđun được sinh bởi tập s làs Rs là một môđun tự do và Rs là một bản sao của vành hệ tử R. Xét họ các môđun con s S Rs  của môđun X, ta thấy: Rs X vì S là hệ sinh. t s Rs Rt 0    vì S độc lập tuyến tính. Vậys S X Rs F(S)     Tức mỗi môđun tự do X có cơ sở S có thể xem là môđun tự do sinh bởi tập S. Kết hợp tất cả các kết quả trên, ta được: Định lý 2. R-môđun X là tự do khi và chỉ khi X đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó có bản sao của vành hệ tử R 13 Định lý 3. TậpS   trong môđun X là cơ sở của X khi và chỉ khi với bất kỳ môđun Y, mỗi ánh xạf :S Y đều có thể mở rộng với một đồng cấu duy nhấtf : X Y . Chứng minh: Nếu S x là cơ sở của môđun tự do X thìx X : x r x     và do vậy mỗi ánh xạf :S Y có thể mở rộng tới đồng cấuf : X Y theo công thức: f (x) f r x r f (x )      . Ngược lại, nếuS X có tính chất: mỗi ánh xạf :S Y có thể mở rộng tới đồng cấu duy nhất:f : X Y ta cần chứng minh S là cơ sở của X. Lấy môđun tự do F(S) sinh bởi tập S. Xét ánh xạ nhúngjs :S F(S) màs sjs(s) j (1 ), s S,   trong đós sj : R F(S) là phép nhúng thứ s. Theo điều kiện định lý, khi đó js có thể mở rộng tới đồng cấu duy nhấtj: X F(S) . Để chứng minh S là cơ sở của X ta chỉ cẩn j là đẳng cấu. Bởi j là mở rộng của js, mà js thức hiện phép song ánh S lên cơ sởS'''' F(S) nên j là toàn ánh. Xétg : S S'''' là ánh xạ ngược của js, từ cơ sởS'''' F(S) lênS X . Vì S’ là cở sở của F(S) nên g có thể mở rộng tới đồng cấu duy nhấtg j: X X thực hiện sự đồng nhất trên tậpS X và do đó là mở rộng của phép nhúngj:S X . BởiX1 là một mở rộng của phép nhúng i, và từ tính duy nhất của mở rộng thì ta cóXg j 1 . Từ tính chất đơn cấu củaX1 thì j là đơn cấu. Vậy j là đẳng cấu, tức S là cơ sở của môđun X và X là môđun tự do. Định nghĩa 2: F S được gọi là môđun tự do trên tập S. Định lý 4: Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của môđun tự do nào đó. Chứng minh: Xét môđun tự do F(X) sinh bởi tập X. Khi đó ánh xạ đồng nhấtX1 : X X có thể mở rộng tới đồng cấu: F(X) X  . Hiển nhiên là toàn cấu và do đóX F(X) / K er  14 CHƢƠNG 2. NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP 2.1. Dãy khớp Định nghĩa 1: Dãy các môđun và đồng cấu Rmôđun: được gọi là khớp tại Mn nếu Imn1 = Kern ,n ; được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi môđun (trừ ra 2 đầu, nếu có). Dãy khớp với 5 môđun : được gọi là dãy khớp ngắn. (Imf = Kerg). Nhận xét: (*) là dãy khớp ngắn f là đơn cấu , g là toàn cấu và Imf = Kerg. Khi đó, do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M’  Imf (= Kerg) và do g là toàn cấu nên Img = M’’ ; do vậy theo định lí đồng cấu môđun, ta có Kerg M  Img hay Mệnh đề 1: (Tiêu chuẩn chẻ ra của dãy khớp ngắn) Giả sử là dãy khớp ngắn các môđun. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) f có nghịch đảo trái, tức  : M  M’ là đồng cấu, sao cho f