GIẢNG BÀI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC NHẤT - Full 10 điểm

Đây là b ản ghi lại lời giảng của giáo s ư A r t h u r Ma t t u c k a nd H a y n e s M i l l e r trên l ớp Để xem to àn b ộ bài gi ảng n ày b ạn có thể đến http://www mientayvn com > H ọc liệu mở > Học viện công nghệ Massachusetts > Toán h ọ c > Phương tr ình vi phân > chương I M I T O p e n C o u r s e W a r e h tt p:// o c w m i t e d u 18 03 D i f f e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i ng 2 0 0 6 P l e a s e u s e t h e f o ll o w i ng c it a t i o n f o r m a t : A r t h u r Ma t t u c k a nd H a y n e s M i l l e r , 1 8 0 3 D i ff e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i n g 20 0 6 (Ma s s a c h u se t t s I n s t i t u t e o f T e c hn o l o g y : M I T O p e n C o u r s e W a r e ) h tt p:// o c w m i t e d u ( a cc e ss e d M M D D , Y Y Y Y ) L i c e n s e : C r e a t i v e C om m o n s A tt r i b u ti o n - N o n c om m e r c i a l - Sh a r e A l ik e N o t e : P l e a s e u s e t h e a c t u a l d a t e y o u a c ces se d t h i s m a t e r i a l i n y o u r c it a t i o n F o r m o r e i n f o r m a t i o n ab o ut c i t i ng t h es e m a t e r i a l s o r o ur T e r m s o f U s e , v i s it : h tt p:// o c w m i t e d u / t e r m s M I T O p e n C o u r s e W a r e h tt p:// o c w m i t e d u 18 03 D i f f e r e n ti a l E q u a t i o n s , S p r i ng 2 0 0 6 T r a n s c r i p t – L e c t u r e 1 O K , l e t '''' s g e t s t ar t e d I '''' m a s s u m i ng t h a t , A, y o u w e n t r e c i t a t i o n y e s t e r da y , B , t h a t e v e n i f y o u d i d n'''' t , y o u k n o w h o w t o se p a r a t e v a r i a b l e s , a nd y o u k n o w h o w t o c o n s t r u c t s i m p l e m o d e l s , s o l v e p h y s i c a l p r o b le m s w i t h d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s , a nd p o s s i b l y e v e n s o lv e t h e m S o , y o u s h o u l d h a v e l e a r n e d t h a t e it h e r i n h i g h sc h o o l , o r 18 01 h e r e , o r , y e a h S o , I '''' m g o i ng t o s t a r t f r o m t h a t p o i n t , a s s u m e y o u k n o w t h a t I ''''m n o t g o i ng t o t e l l y o u w h a t d i f fe r e n ti a l e q u a t i o ns a r e , o r w h a t mo d e li ng i s I f y o u s t il l a r e u n c e r t a i n ab o ut t h o s e t h i n g s , t h e b o o k h a s a v e r y l o ng a nd g oo d e x p l a n a t i o n o f i t J u s t r e a d t h a t s t u ff S o , w e a r e t a l k i ng a b o ut f i r s t o r d e r O D E s Vâng, chúng ta hãy b ắt đầu Tôi gi ử sử rằng, A, bạn đ ã đi đ ến buổi ôn b ài ngày hôm qua, B, cho dù b ạn không đến, bạn biết cách tách biến, v à b ạn biết cách để xây dựng m ột mô h ình đơn gi ản, giải các b ài toán v ật lí với các ph ương tr ình vi phân, và th ậm chí có th ể giải chúng Vì v ậy, bạn đán g l ẽ đ ã ph ải học nó hoặc ở tr ư ờng phổ thông, hoặc 18 01 ở đây, h o ặc, vâng V ì v ậy, tôi sẽ bắt đầ u t ừ điểm đó, giả sử bạn biết điều đó Tôi s ẽ không định nghĩa lại ph ương tr ình vi phân là gì ho ặc mô h ình là gì N ếu bạn vẫn c òn chưa n ắm vững những thứ n ày, s ách đ ã nói r ất nhiều v à gi ải thích rất r õ ràng v ề nó Hãy đ ọc nó đi V ì v ậy, chúng ta sẽ nói về các ph ương tr ình vi phân b ậc nhất O D E: I '''' l l o n l y u s e t w o a c r o n y m s O D E i s o r d i n ar y d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s I t h i nk a l l o f M I T k n o w s t h a t , w h e t h e r t h e y '''' v e b ee n t a k i ng t h e c ou r s e o r n o t S o , w e a r e t a l k i ng ab o ut f i r s t - o r d e r O D E s , w h i c h i n s t a n d a r d f o r m , ar e w r it t e n, y o u i s o l a t e t h e d e r i v a t i v e o f y w i t h r e s p e c t t o , x , l e t '''' s s a y , o n t h e l e f t - h a nd s i d e , a nd o n t h e r i g h t - h a nd s i d e y o u w r i t e e v e r y t h i ng e l s e Y o u c a n'''' t a l wa y s d o t h i s v e r y w e l l , b ut f o r t o da y , I ''''m g o i ng t o a s s u m e t h a t i t h a s b e e n d o n e a nd it '''' s d o ab l e S o , f o r e x a m p l e , s o m e o f t h e o n e s t h a t w i l l b e c o n s i d e r e d e it h e r t o da y o r i n t h e p r o b l e m s e t a r e t h i n g s l i k e y '''' = x / y ODE: Tôi s ẽ chỉ d ùng hai t ừ viết tắc ODE l à phương tr ình vi phân th ư ờng Tôi nghĩ mọi ngư ời trong MIT n ày đ ều biết điều đó, cho d ù h ọ có học về khóa học n ày hay không Vì v ậy, chúng ta sẽ nói về các ph ương tr ình vi phân b ậc nhất, ở dạng ti êu chu ẩn, đ ư ợc viết, b ạn tách riêng đ ạo h àm c ủa y theo x, giả s ử rằng, ở vế trái, v à ở vế phải bạn viết mọi th ứ c òn l ại B ạn không t h ể lúc n ào c ũng l àm đư ợc nh ư th ế n ày , nhưng đ ối với hôm nay, tôi s ẽ giả s ử rằng nó đ ã đư ợc l àm và có th ể l àm đư ợc Vì v ậy, chẳng hạn, một số dạng s ẽ đư ợc xét ho ặc trong hôm nay hoặc trong xấp b ài t ập l à nh ững ph ương tr ình có d ạng y '''' = f( x , y ) T h a t ''''s p r e t t y s i m p l e T h e p r o b l e m s e t h a s y '''' = x - y ^ 2 An d , i t a l s o h a s y '''' = y - x ^ 2 T h e r e a r e o t h e r s , t o o N o w , w h e n y o u l o o k a t t h i s , t h i s , o f c o u r s e , y o u c a n s o l v e b y s e pa r a t i ng v a r i ab l e s S o , t h i s i s s o l v ab l e T h i s o ne i s - - a nd n e i t h e r o f t h es e c a n y o u s e pa r a t e v a r i ab l e s A nd t h e y l o o k e x t r e m e l y s i m il a r B u t t h e y a r e e x t r e m e l y d i s s i m i l ar T h e m o s t d i ss i m i l a r a b o ut t h e m i s t h a t t h i s o n e i s e a s il y s o lv a b l e And y o u w il l l e a r n , i f y o u d o n''''t k n o w a l r e ad y , n e x t t i m e n e x t Fr i da y h o w t o s o lv e t h i s o n e Cái đó khá đơn gi ản Xấ p bài t ập có bài y '''' = x - y ^ 2 Và, c ũng có b ài y '''' = y - x ^ 2 C ũng có những b ài khác n ữa Bây giờ, khi bạn xét cái n ày, đây, t ất nhi ên, b ạn có thể gi ải bằng ph ương pháp tách bi ến V ì v ậy, cái n ày có th ể giải đ ư ợc Cái n ày là - - và c ả hai cái này b ạn không thể tách biến V à trông chúng r ất giống nhau Nh ưng th ực sự chúng r ất khác nhau Sự khác nhau r õ r ệt nhất l à cái này có th ể giải đ ư ợc Và b ạn sẽ h ọc, nếu bạn ch ưa bi ết, lần tới thứ sáu tới cách để giải cái n ày T h i s o n e , w h i c h l o o k s a l m o s t t h e s a m e , i s u n s o l v ab l e i n a ce r t a i n s e n s e N a m e l y , t h e r e a r e n o e l e m e n t ar y f u n c t i o n s w h i c h y o u c a n w r it e d o w n, w h i c h w i l l g i v e a s o l u t i o n o f t h a t d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n S o , r i g h t a wa y , o n e c o n f r o n t s t he m o s t s i g n i f i c a nt f a c t t h a t e v e n f o r t h e s i m p l e s t p o s s i b l e d i ffe r e n t i a l e q u a t i o n s , t h o s e w h i c h o n l y i n v o l v e t h e f i r s t d e r iv a t iv e , it '''' s p o s s i b l e t o w r it e d o w n e x t r e m e l y l o o k i ng s i m p l e g u y s Cái này, có v ẻ khá giống, nh ưng không th ể giải đ ư ợc theo một ý nghĩa n ào đó C ụ thể, không có nh ững h àm cơ b ản m à b ạn có thể viết ra, sẽ cho nghiệm của ph ương tr ình vi phân Vì v ậy, ngay t ức th ì , ngư ời ta đối mặt với sự kiện có ý nghĩa nhất l à th ậm chí cho dù đ ối với những ph ương tr ình vi phân đơn gi ản nhất , nh ững ph ương tr ình này ch ỉ liên quan đ ến đạo h àm b ậc nhất, có thể viết ra những thằng trông cực k ì đơn gi ản I '''' l l p ut t h i s on e up i n b l u e t o i n d i c a t e t h a t i t '''' s b a d W h oo p s , s o rr y , I m e a n, n o t re a l l y ba d , b ut r ec a l c i t r a n t I t '''' s n o t s o l v ab l e i n t h e o r d i n ar y s e n s e i n w h i c h y o u t h i n k o f a n e q u a ti o n i s s o lv a b l e An d , s i n c e t h o s e e q u a t i o n s ar e t h e r u l e r a t h e r t h a n t h e e x c e p t i o n , I ''''m g o i ng ab o u t t h i s f i r s t da y t o n o t s o l v i ng a s i n g l e d i f fe r e n ti a l e q u a ti o n, b ut i n d i c a t i ng t o y o u w h a t y o u d o w h e n y o u m e e t a b l u e e q u a t i o n li k e t h a t Tôi s ẽ đánh dấu cái n ày màu xanh lam đ ể cho biết rằng nó l à x ấ u Whoops, xin l ỗi, ý tôi là, không th ực sự xấu, nh ưng ngoan c ố Nó không ph ải không gi ải đ ư ợc theo nghĩa thông thư ờng nh ư b ạn th ư ờng nghĩ V à,b ởi v ì nh ững ph ương tr ình là theo quy t ắc chứ không ph ải là các ngo ại lệ, trong bu ổi đầu ti ên này tôi s ẽ không giải m ột ph ương tr ình vi phân đơn gi ản , mà ch ỉ ra cho bạn những g ì b ạn l àm khi b ạn gặp một ph ương tr ình xanh nh ư th ế W h a t d o y o u d o w i t h i t ? S o , t h i s f i r s t d a y i s g o i n g t o b e d e v o t e d t o g e om e t r i c wa y s o f l o o ki ng a t d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n s a nd n um e r i c a l At t h e v e r y e n d , I '''' l l t a l k a l i tt l e b i t ab o ut n um e r i c a l w a y s And y o u'''' l l w o r k o n b o t h o f t h o s e f o r t h e f i r s t p r o b l e m s e t S o , w h a t '''' s o u r g e o m e t r i c v i e w o f d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n s ? W e ll , it '''' s s om e t h i ng t h a t '''' s c o n t r a s t e d w it h t h e u s u a l p r o ce d u r e s , b y w h i c h y o u s o lv e t h i n g s a nd f i nd e l e m e n t ar y f u n c t i o ns w h i c h s o l v e t h e m I '''' l l c a l l t h a t t h e a n a l y t i c m e t h o d S o , o n t he on e h a n d , w e h a v e t h e a n a l y t i c i d e a s , i n w h i c h y o u w r i t e d o w n e x p l i c i t l y t h e e q u a ti o n, y '''' = f ( x , y ) B ạ n làm gì v ới nó? V ì v ậy, ngày đ ầu ti ên này s ẽ đư ợc d ành cho vi ệc d ùng nh ững ph ương pháp hình h ọc đ ể xét các phương tr ình vi phân và bi ểu diễn s ố V ào cu ối bu ổi, tôi sẽ nói m ột chút về ph ương pháp s ố V à b ạn sẽ l àm vi ệc tr ên c ả hai trong x ấ p bài t ập đầu ti ên Vì v ậy, cách nh ìn hình h ọc của chúng ta v ề các phương tr ình vi phân là nh ư th ế n ào? Vâng, đó là cái gì trái ng ư ợc v ới các th ủ tục thông th ư ờng, qua đó bạn giải m ọi thứ v à tìm th ấy các hàm cơ b ản giải chúng Tôi sẽ gọi đó l à phương pháp g i ải tích Vì v ậy, m ột mặt, chúng ta có nh ững ý t ư ởng phân tích, trong đó b ạn viết ra rõ ràng các ph ương tr ình, y ''''= f (x, y) An d , y o u l o o k f o r ce r t a i n f u n c t i o n s , w h i c h a r e c a l l e d i t s s o l u ti o n s N o w , s o t h e r e ''''s t h e O D E An d , y 1 o f x , n o t i c e I d o n '''' t u s e a s e p a r a t e l e t t e r I d o n '''' t u s e g o r h o r s o m e t h i ng l ik e t h a t f o r t h e s o l u t i o n b ec a u s e t he l e t t e r s m u l ti p l y s o q u i c k l y , t h a t i s , m u l ti p l y i n t h e s e n s e o f r abb i t s , t h a t a f t e r a w h i l e , i f y o u k e e p u s i ng d i f fe r e n t l e t t e r s f o r e a c h n e w i d e a , y o u c a n''''t f i g u r e o u t w h a t y o u '''' r e t a l k i ng a b o u t Và, b ạn t ìm các hàm nào đó, đư ợc gọi l à các nghi ệm c ủa nó Bây giờ, v ì v ậy đó là phương trình vi phân t h ư ờng V à, y1 x, chú ý tôi không s ử d ụng một kí tự riêng bi ệt Tôi không s ử d ụng g hoặc h hoặc thứ g ì đó tương t ự nh ư th ế cho nghiệm b ởi vì các ch ữ cái n hân quá nhanh, có ngh ĩa là, nhân trong ý ngh ĩa c ủa thỏ, sau một lúc , n ếu bạn tiếp tục sử dụng các ch ữ cái khác nhau cho mỗi ý t ư ởng mới, bạn không thể tìm ra nh ững g ì b ạn đang nói S o , I '''' l l u s e y 1 m e a n s , it '''' s a s o l u ti o n o f t h i s d i ffe r e n ti a l e q u a ti o n O f c o u r se , t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n h a s m a n y s o l u t i o n s c o n t a i n i ng a n a r b i t r a r y c on s t a n t S o , w e '''' l l c a l l t h i s t he s o l u t i o n N o w , t h e g e o m e t r i c v i e w , t he g e o m e t r i c g uy t h a t c o rr e s p o n d s t o t h i s v e r s i o n o f w r i t i ng t h e e q u a t i o n, i s s o m e t h i ng c a l l e d a d i r e c t i o n f i e l d A n d , t h e s o l u t i o n i s , f r o m t he g e o m e t r i c p o i n t o f v i e w , s o m e t h i ng c a l l e d a n i n t e g r a l c u r v e S o , l e t m e e x p l a i n i f y o u d o n''''t k n o w w h a t t he d i r e c ti o n f i e l d i s I k n o w f o r s o m e o f y o u, I ''''m r e v i e w i ng w h a t y o u l e ar n e d i n h i g h s c h o o l T h o s e o f y o u w ho h a d t h e B C s yll a b u s i n h i g h s c h o o l s h o u l d k n o w t h es e t h i n g s B u t , i t n e v e r hu r t s t o g e t a li t t l e m o r e p r a c t i c e An d , i n a n y e v e n t , I t h i n k t h e c om p u t e r s t u f f t h a t y o u w i l l b e d o i ng o n t h e p r o b l e m s e t , a c e r t a i n a mo u nt o f i t s h o u l d b e n o v e l t o y o u Vì v ậy, tôi s ẽ sử dụng y1 với ngh ĩa l à, nó là m ột nghiệm của phương tr ình vi phân này T ất nhi ên, m ột ph ương tr ình vi phân có nhi ều nghi ệm ch ứa một hằng số t ùy ý Vì v ậy, chúng ta s ẽ g ọi đây l à nghi ệm Bâ y gi ờ, quan điểm h ình h ọc, đối t ư ợng h ình h ọc t ương ứng v ới phiên b ản n ày c ủa cách vi ết ph ương tr ình vi phân , đư ợc g ọi l à m ột trư ờng có hư ớng V à, t ừ quan điểm h ình h ọc, nghiệm đư ợc g ọi l à đư ờng cong tích phân Đ ể tôi giải thích n ếu bạn không biết trư ờng có h ư ớng l à gì Đ ối với một số bạn , có l ẽ l à tôi đang nh ắc l ại nh ữ ng gì mà b ạn đ ã h ọc ở tr ư ờng trung học Nh ững bạn đ ã h ọc ch ương tr ì nh h ọc BC ở trư ờng trung học chắc sẽ biết những cái n ày Tuy nhiên, không bao gi ờ l ãng phí n ếu bạn nh ận đ ư ợc một ít kiến thức thực tế h ơn Và, trong b ất cứ tr ư ờng hợp n ào , tôi ngh ĩ r ằng cá c phương pháp tính toán mà b ạn s ẽ th ực hiện tr ên x ấp b ài t ập , m ột lư ợng nhất định c ủa nó s ẽ mới lạ đối với bạn I t wa s n o v e l t o m e , s o w hy n o t t o y o u ? S o , w h a t ''''s a d i r e c t i o n f i e l d ? W e l l , t h e d i r e c t i o n f i e l d i s , y o u t a k e t h e p l a n e , a nd i n e a c h p o i nt o f t h e p l a n e - - o f c o u r s e , t h a t '''' s a n i m p o s s i b i li t y B u t , y o u p i c k s om e p o i n t s o f t h e p l a n e Y o u d r a w w h a t '''' s c a l l e d a l it tl e li n e e l e m e n t S o , t h e r e i s a p o i n t I t ''''s a l i t tl e li n e , a nd t h e o n l y t h i ng w h i c h d i s t i n g u i s h e s i t o u t s i d e o f i t s p o s i ti o n i n t h e p l a n e , s o h e r e '''' s t he p o i n t , ( x , y ) , a t w h i c h w e a r e d r a w i ng t h i s li n e e l e m e n t , i s i t s s l o p e An d , w h a t i s i t s s l o p e ? I t s s l o p e i s t o b e f ( x , y ) And n o w , Y o u f i l l up t he p l a n e w i t h t h e s e t h i n g s u n t i l y o u '''' r e ti re d o f p u t t i ng t h e n i n S o , I '''' m g o i ng t o g e t ti re d p r e t t y q u i c k l y Nó m ới đối với tôi, vậy tại sao không m ới đối với bạn? Vậy, trư ờng có h ư ớng l à gì? Vâng, trư ờng có h ư ớng là, b ạn chọn một mặt phẳng, v à t ại mỗi điểm của mặt phẳng - t ất nhi ên, đó là m ột đi ều không thể Nhưng, b ạn chọn một số điểm của mặt phẳng B ạn v ẽ m ột yếu t ố đ ư ờng nhỏ Vì v ậy, đó là m ột điểm Nó l à m ột đ ư ờng nhỏ, v à th ứ duy nhất phân biệt các y ếu tố đ ư ờng thẳng với nhau , vì v ậy đây l à đi ểm, (x, y), tại đó chúng ta v ẽ yếu tố đ ư ờng th ẳng n ày, là h ệ số góc của nó V à, h ệ số góc c ủa nó l à gì? H ệ số góc c ủa nó l à f (x, y) Và bây gi ờ, bạn lấp đầy mặt phẳng v ới những th ứ n ày cho đ ến khi bạn mệt mỏi Vì v ậy, tôi sẽ c ảm thấy mệt mỏi khá nhanh chóng S o , I d o n ''''t k n o w , l e t ''''s n o t m a k e t h e m a l l g o t h e s a m e wa y T h a t s o r t o f s ee m s c h e a t i n g H o w ab o ut h e r e ? H e r e '''' s a f e w r a n d o m l y c h o s e n l i n e e l e m e n t s t h a t I p u t i n, a nd I p u t t e d t he s l o p e s a t r a n d o m s i n c e I d i d n''''t h a v e a n y p a r t i c u l a r d i f fe r e n ti a l e q u a ti o n i n m i n d N o w , t h e i n t e g r a l c u r v e , s o t h o s e a r e t h e l i n e e l e m e n t s T h e i n t e g r a l c u r v e i s a c u r v e , w h i c h g o e s t h r o u g h t h e p l a n e , a nd a t e v e r y p o i n t i s t a n g e n t t o t h e l i n e e l e m e nt t h e r e Vì v ậy, tôi không biết, chúng ta không làm cho t ất cả chúng đi theo c ùng đư ờng Đ i ều đó ph ần n ào có v ẻ nh ư gian l ận C òn ở đây thì sao ? Đ ây là m ột v ài y ếu tố đư ờng thẳng đ ư ợc ch ọn ngẫu nhi ên mà tôi đ ặt v ào, và tôi đ ặt hệ số góc ngẫu nhi ên b ởi v ì tôi không có b ất cứ phương tr ình vi phân đ ặc bi ệt nào trong đ ầu Bây gi ờ, các đư ờng cong tích phân, đó là nh ững y ếu tố đ ư ờng thẳng Đư ờng cong tích phân l à đư ờng cong nằm trong m ặt phẳng , và t ại mỗi điểm l à ti ếp tuyến với yếu tố đ ư ờng thẳng tại đó S o , t h i s i s t h e i n t e g r a l c u r v e H e y , wa i t a m i n u t e , I t h o u g ht t a n g e n t s w e r e t h e l i n e e l e m e nt t h e r e d i d n ''''t e v e n t o u c h i t W e ll , I c a n '''' t f i l l up t h e p l a ne w it h l i n e e l e m e n t s H e r e , a t t h i s p o i n t , t h e r e w a s a l i ne e l e m e n t , w h i c h I d i d n '''' t b o t h e r d r a w i ng i n An d , i t wa s t a n g e n t t o t h a t S a m e t h i ng o v e r h e re : i f I dr e w t h e l i n e e l e m e nt h e r e , I w o u l d f i nd t h a t t h e c u r v e h a d e x a c t l y t h e r i g h t s l o p e t h e r e Vì v ậy, đây l à đư ờng cong tích phân N ày, ch ờ một chút , tôi ngh ĩ tiếp tuyến l à y ếu tố đư ờng thẳng ở đó th ậm chí không chạm nó Vâng, tôi không thể làm đ ầy toàn b ộ m ặt ph ẳng với các yếu tố đ ư ờng thẳng Ở đây, v ào th ời đi ểm n ày, đ ã có m ột yếu tố đư ờng thẳng mà tôi chưa v ẽ Và, nó ti ếp tuyến với cái đó Đi ểm trên đây tương t ự : n ếu tôi v ẽ các y ếu tố đ ư ờng thẳng ở đây, tôi sẽ th ấy rằng đư ờng cong có h ệ số góc đúng như ở đó S o , t h e p o i nt i s t h e i n t e g r a l , w h a t d i s t i n g u i s h e s t h e i n t e g r a l c u r v e i s t h a t e v e r y w h e r e i t h a s t h e d i r ec ti o n, t h a t '''' s t h e wa y I '''' l l i n d i c a t e t h a t it '''' s t a n g e n t , h a s t h e d i r e c ti o n o f t h e f i e l d e v e r y w h e r e a t a l l p o i n t s o n t h e c u r v e , o f c o u r s e , w h e r e i t d o e s n '''' t g o I t d o e s n '''' t h a v e a n y m i s s i o n t o f u l f il l N o w , I s a y t h a t t h i s i n t e g r a l c u r v e i s t h e g r a p h o f t h e s o l u t i o n t o t h e d i f fe r e n ti a l e q u a t i o n I n o t h e r w o r d s , w r it i ng d o w n a n a l y t i c a l l y t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n i s t h e s a m e g e om e t r i c a l l y a s d r a w i ng t h i s d i r e c t i o n f i e l d , a nd s o lv i ng a n a l y ti c a l l y f o r a s o l u t i o n o f t h e d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n i s t h e s a m e t h i ng a s g e o m e t r i c a l l y d r aw i ng a n i n t e g r a l c u r v e S o , w h a t a m I s a y i n g ? Vì v ậy, vấn đề ở đây l à , đi ểm phân bi ệt các đ ư ờng cong tích phân l à ở khắp mọi n ơi là nó có hư ớng , đó là cách mà tôi s ẽ chỉ ra rằng nó l à ti ếp tuyến , có hư ớng của trư ờng ở kh ắp mọ i nơi ở t ất cả các điểm tr ên đư ờng cong T ất nhi ên, nơi mà nó không đi qua Nó không có b ất kỳ nhi ệm vụ n ào đ ể ho àn thành Bây gi ờ, tôi nói rằng đ ư ờng cong tích phân n ày là đ ồ thị của nghiệm của phương tr ình vi phân Nói cách khác, vi ết ra dạng giải tích c ủa phương tr ình vi phân v ề mặt h ình h ọc sẽ t ương đương v ới việc vẽ trư ờng có h ư ớng n ày, và gi ải bằng ph ương pháp gi ải tích nghiệm của phương tr ình vi phân tương đương v ới v ẽ một đ ư ờng cong tích phân v ề mặt h ình h ọc V ậy, tôi đang nói g ì ? I s a y t h a t a n i n t e g r a l c u r v e , a l l r i g h t , l e t m e w r i t e i t t h i s wa y I '''' l l m a k e a l it tl e t h e o r e m o u t o f i t , t h a t y 1 ( x ) i s a s o l u t i o n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n i f , a nd o n l y i f , t h e g r ap h, t h e c u r v e a s s o c i a t e d w it h t h i s , t h e g r a p h o f y 1 o f x i s a n i n t e g r a l c u r v e I n t e g r a l c u r v e o f w h a t ? W e l l , o f t h e d i r e c t i o n f i e l d a s s o c i a t e d w i t h t h a t e q u a ti o n B u t t h e r e i s n ''''t q u it e e n o u g h r o o m t o w r i t e t h a t o n t h e b o a r d B u t , y o u c o u l d p ut i t i n y o u r n o t es , i f y o u t a k e n o t e s S o , t h i s i s t h e r e l a ti o n b e t w e e n t h e t w o , t h e i n t e g r a l c u r v e s o f t h e g r a p hs o r s o l u t i o n s Tôi nói r ằng một đư ờng cong tích phân, đúng rồi , hãy đ ể tôi viết nó theo cách này Tôi s ẽ t ạo ra m ột định lý nh ỏ v ề điều đó , đó là y1 (x) là m ột nghiệm của phươ ng trình vi phân n ếu, v à ch ỉ nếu , đ ồ thị, đư ờng cong gắn v ới nó, đồ th ị của y1 ( x ) là m ột đ ư ờng cong tích phân Đư ờng cong tích phân của cái g ì ? Vâng, c ủa trư ờng có hư ớng gắn với phương t rình đó Nhưng không có đ ủ chổ trống để viết điều đó trên b ảng Tuy nhiên, b ạn có thể vi ết v ào trong v ở của bạn , n ếu bạn ghi chép V ì v ậy, đ ây là m ối quan hệ giữa hai cái , các đư ờng cong tích phân c ủa đồ thị hoặc các nghiệm N o w , w hy i s t h a t s o ? W e ll , i n f a c t , a l l I h a v e t o d o t o p r o v e t h i s , i f y o u c a n c a l l i t a p r o o f a t a l l , i s s i m p l y t o t r a n s l a t e w h a t e a c h s i d e r e a l l y m e a n s W h a t d o e s i t r e a l l y m e a n t o s a y t h a t a g i v e n f u n c ti o n i s a s o l u t i o n t o t h e d i ff e r e n ti a l e q u a t i o n ? W e l l , i t m e a ns t h a t i f y o u p l ug i t i n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a ti o n, i t s a t i s f i e s it Ok a y , w h a t i s t h a t ? S o , h o w d o I p l ug i t i n t o t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n a nd c h ec k t h a t i t s a t i s f i e s i t ? Bây gi ờ, tại sao đi ều đó l ại nh ư v ậy? Vâng, tr ên th ực tế, tất cả nh ững g ì tôi ph ải l àm đ ể ch ứng minh đi ều n ày là , c ũng ch ưa h ẳn là m ột chứng minh , ch ỉ đ ơn gi ản l à đ ể di ễn giải xem m ỗi vế thực sự có nghĩa g ì M ột hàm cho trư ớc l à m ột nghiệm của phương tr ìn h vi phân có ý ngh ĩa g ì ? Vân g, nó có ngh ĩa l à n ếu bạn thế nó vào trong phương tr ình vi phân, nó th ỏa m ã n phương tr ình vi phân đó Đư ợc rồi, đó l à gì? Vì v ậy, l àm cách nào đ ể thế nó vào các phương tr ình vi phâ n và ki ểm tra xem nó thỏa m ãn ph ương tr ình vi ph ân ? W e l l , d o i ng i t i n t h e ab s t r a c t , I f i r s t c a l c u l a t e i t s d e r i v a t i v e A nd t h e n, h o w w i l l i t l o o k a f t e r I p l u g g e d i t i n t o t h e d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n? W e l l , I d o n ''''t d o a n yt h i ng t o t h e x , b u t w h e r e v e r I s e e y , I p l ug i n t h i s p a r t i c u l a r f un c t i o n S o , i n n o t a t i o n, t h a t w o u l d b e w r i t t e n t h i s wa y S o , f o r t h i s t o b e a s o l u t i o n m e a ns t h i s , t h a t t h a t e q u a ti o n i s s a t i s f i e d Ok a y , w h a t d o e s i t m e a n f o r t h e g r ap h t o b e a n i n t e g r a l c u r v e ? W e l l , i t m e a ns t h a t a t e a c h p o i n t , t he s l o p e o f t h i s c u r v e , i t m e a n s t h a t t h e s l o p e o f y 1 o f x s h o u l d b e , a t e a c h p o i n t , ( x 1 , y 1 ) I t s h o u l d b e e q u a l t o t he s l o p e o f t h e d i r e c ti o n f i e l d a t t h a t p o i n t Vân g, v ề khía cạnh lí thuyết th ực hiện nó , đ ầu ti ên tôi tính đ ạo h àm c ủa nó Và sau đó, nó s ẽ trông nh ư th ế n ào sau khi tôi th ế nó vào t rong phương tr ình vi phân? Vâng, tôi không làm gì đ ối với x, nhưng b ất cứ n ơi nào tôi th ấy y, tôi th ế v ào hàm c ụ thể n ày Vì v ậy, theo quy ư ớc, n ó s ẽ đư ợc viết theo cách này Vì v ậy, khi cái này là nghi ệm theo nghĩa n ày , thì phương trình đó đư ợc thõa mãn Đư ợc rồi, đ ồ thị l à m ột đ ư ờng cong tích phân có nghĩa l à gì ? Vâng, nó có ngh ĩa l à t ại mỗi điểm, hệ số góc c ủa đ ư ờng cong n ày, nó có ngh ĩa l à h ệ số góc c ủa y1 ( x ) s ẽ l à , t ại mỗi điểm (x1, y1) Nó s ẽ bằng hệ số góc của tr ư ờng vô h ư ớng t ại đi ểm đó And t h e n , w h a t i s t h e s l o p e o f t h e d i r ec ti o n f i e l d a t t h a t p o i n t ? W e ll , i t i s f o f t h a t pa r t i c u l a r , w e l l , a t t h e p o i n t , ( x , y 1 ) I f y o u l ik e , y o u c a n p ut a s u b sc r i p t , o n e , o n t h e r e , s e nd a on e h e r e o r a z e r o t h e r e , t o i n d i c a t e t h a t y o u m e a n a par t i c u l a r p o i n t B u t , i t l o o k s b e t t e r i f y o u d o n'''' t B u t , t h e r e ''''s s om e p o ss i b i l i t y o f c o n f u s i o n I a d m i t t o t h a t S o , t h e s l o p e o f t h e d i r ec ti o n f i e l d , w h a t i s t h a t s l o p e ? W e ll , b y t h e wa y , I c a l c u l a t e d t h e d i r e c t i o n f i e l d I t s s l o p e a t t he p o i nt wa s t o b e x , w h a t e v e r t h e v a l u e o f x w a s , a nd w h a t e v e r t h e v a l u e o f y 1 ( x ) w a s , s u b s t it u t e d i n t o t h e r i g h t - h a nd s i d e o f t h e e q u a t i o n S o , w h a t t h e s l o p e o f t h i s f u n c ti o n o f t h a t c u r v e o f t h e g r a p h s h o u l d b e e q u a l t o t h e s l o p e o f t h e d i r e c t i o n f i e l d N o w , w h a t d o e s t h i s s a y ? Và r ồi , h ệ số g óc c ủa tr ư ờng có h ư ớng tại đi ểm đó là gì? Vâng, nó là giá tr ị của h àm f t ại đi ểm đó, vâng , t ại điểm , (x, y1) N ếu bạn thí ch, b ạn có thể đặt một chỉ số d ư ới , m ột, ở đó , đ ể m ột ở đây ho ặc không ở đó , đ ể cho biết rằng bạn mu ốn nói đến một điểm cụ thể Tuy n hiên, s ẽ tốt h ơn n ếu bạn không làm như v ậy Nh ưng , có m ột số khả năng gây nhầm lẫn Tôi th ừa nh ận điều đó V ì v ậy, h ệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng , h ệ số góc đó bằng bao nhiêu ? Vâng, ti ện thể , tôi đ ã tính toán trư ờng có hư ớng H ệ số góc của nó tại điểm x, b ấ t k ể giá tr ị c ủa x bằng bao nhi êu , và b ất kể giá trị của y1 (x) b ằng bao nhi êu , đư ợc th ế v ào v ế ph ải c ủa ph ương tr ình Vì v ậy, h ệ số góc của h àm này c ủa đ ư ờng cong đó c ủa đồ thị s ẽ b ằng hệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng Bây gi ờ, điều n ày nói lên cái gì? W e l l , w h a t ''''s t h e s l o p e o f y 1 ( x ) ? T h a t '''' s y 1'''' ( x ) T h a t '''' s f r o m t h e f i r s t d a y o f 1 8 01, c a l c u l u s W h a t ''''s t h e s l o p e o f t h e d i r e c t i o n f i e l d ? T h i s ? W e l l , it '''' s t h i s An d , t h a t '''' s w i t h t h e r i g ht h a nd s i d e S o , s a y i ng t h e s e t w o g u y s a r e t h e s a m e o r e q u a l , i s e x a c t l y , a n a l y t i c a ll y , t h e s a m e a s s a y i ng t h es e t w o g u y s ar e e q u a l S o , i n o t h e r w o r d s , t h e p r o o f c o n s i s t s o f , w h a t d o e s t h i s re a l l y m e a n ? W h a t d o e s t h i s r e a ll y m e a n ? And a f t e r y o u s e e w h a t b o t h r e a l l y m e a n, y o u s a y , y e a h , t h e y '''' r e t h e s a m e Vâng, h ệ số góc c ủa y1 (x) b ằng bao nhi êu ? Đó là y1 ''''(x) Đi ều n ày các b ạn đ ã h ọc trong bu ổi đầu của 18,01, giải tích H ệ số góc của tr ư ờng có h ư ớng bằng bao nhi êu? Cái n ày à ? Vâng, nó là cái này Và, đó là v ới v ế b ên ph ải V ì v ậy, nói rằng hai thằng n ày gi ống nhau ho ặc t ương đương nhau , thì chính xác, v ề mặt giải tích , gi ống nh ư nói r ằng hai th ằng n ày b ằng nhau Vì v ậy, nói cách khác, ch ứng minh g ồm có, cái này th ực sự có ý nghĩa g ì ? Cái này th ực sự có nghĩa g ì? Và sau khi b ạn hi ểu đ ư ợc nó thật sự có ý nghĩ a gì , b ạn nói, yeah, chúng gi ống nhau S o , I d o n ''''t h o w t o w r i t e t h a t I t ''''s o k a y : s a m e , s a m e , h o w '''' s t h a t ? T h i s i s t h e s a m e a s t h a t Ok a y , w e l l , t h i s l e a v e s us t he i n t e r e s t i ng q u e s t i o n o f h o w d o y o u d r a w a d i r e c t i o n f r o m t h e , w e l l , t h i s b e i ng 2 0 0 3 , m o s t l y c o m p u t e r s d r a w t h e m f o r y o u N o n e t h e l es s , y o u d o h a v e t o k n o w a c e r t a i n a m o un t I '''' v e g iv e n y o u a c o u p l e o f e x e r c i s e s w h e r e y o u h a v e t o d r a w t he d i r e c t i o n f i e l d y o u r s e l f T h i s i s s o y o u g e t a f ee l i ng f o r it , a nd a l s o b e c a u s e hu m a n s d o n''''t d ra w d i r e c t i o n f i e l d s t h e s a m e w a y c o m p u t e r s d o S o , l e t ''''s f i r s t o f a ll , h o w d i d c o m p u t e r s d o i t ? T h e y a r e v e r y s t u p i d T h e r e ''''s n o p r o b l e m Vì v ậy, tôi không bi ết cách viết nó Nó ổn : gi ống nhau , gi ống nhau, l àm sao th ế nhỉ ? Cái này tương t ự nh ư cái đó Đư ợc rồi, tốt, cái này đ ể lại cho chúng ta m ột câu h ỏi thú vị v ề cách mà b ạn vẽ một tr ư ờng có h ư ớng từ , vâng , đây là năm 2003, ch ủ yếu l à máy tính v ẽ chúng cho b ạn Tuy nhi ên, b ạn phải biết m ột l ư ợng nh ất định Tôi đ ã đưa cho b ạn một v ài bài t ập, trong đó bạn phải tự vẽ các tr ư ờng có h ư ớng Đi ều n ày g iúp b ạn có đ ư ợc một cảm giác v ề nó, và c ũng bởi v ì con ng ư ời không v ẽ tr ư ờng có h ư ớng giống nh ư cách máy tính làm Vì v ậy, trư ớc hết chúng ta h ãy xét, máy tính đ ã làm đi ều đó như th ế n ào ? Chúng r ất ng ớ ngẩn Không có v ấn đề g ì S i n c e t h e y g o v e r y f a s t a nd h a v e u n l i m i t e d a m o un t s o f e n e r g y t o wa s t e , t h e c o m p u t e r m e t h o d i s t h e n a iv e o n e Y o u p i c k t h e p o i n t Y o u p i c k a p o i n t , a nd g e n e r a l ly , t h e y a r e u s u a l l y e q u a ll y s p a ce d Y o u d e t e r m i n e s o m e s p a c i n g , t h a t o n e : b l a h, b l a h, b l a h, b l a h , b l a h, b l a h, b l a h, e q u a l l y s pa ce d An d , a t e a c h p o i n t , i t c o m p u t e s f ( x , y ) a t t he p o i n t , f i n d s , m ee t s , a nd c o m p u t e s t h e v a l u e o f f o f ( x , y ) , t h a t f u n c t i o n , a nd t h e n e x t t h i ng i s , o n t he s c r ee n, i t d r a w s , a t ( x , y ) , t he li t t l e l i n e e l e m e nt h a v i ng s l o p e f ( x , y ) I n o t h e r w o r d s , i t d o e s w h a t t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n t e l l s i t t o d o B ởi v ì chúng ho ạt động với tốc độ rất nhanh v à không h ạn chế về l ư ợng năng l ư ợng sử d ụng, ph ương pháp máy tính là m ột ph ư ơng pháp ngây thơ B ạn chọn đi ểm Bạn chọn m ột điểm, v à nói chung, chúng thư ờng cách đều nhau Bạn xác định khoảng cách n ào đó, cái đó: blah, blah, blah, blah, blah, blah, blah, cách đ ều nhau Và, ở mỗi điểm, nó tính giá tr ị của f (x, y) t ại điểm n ày, tìm, g ặp, v à tính giá tr ị của f (x, y), h àm đó, và đi ều tiếp theo l à, trên màn hình, nó v ẽ, tại(x, y),yếu tố đ ư ờng thẳng nhỏ có hệ số góc f (x, y) Nói cách khác, nó làm nh ững g ì mà các ph ương tr ình vi phân b ảo nó l àm And t h e o n l y t h i ng t h a t i t d o e s i s y o u c a n, i f y o u ar e t e ll i ng t h e t h i ng t o d r a w t h e d i r e c t i o n f i e l d , ab o ut t h e o n l y o p t i o n y o u h a v e i s t e l l i ng w h a t t h e s pa c i ng s h o u l d b e , a nd s o m e t i m e s p e o p l e d o n ''''t l ik e t o s e e a w h o l e li n e T h e y o n l y l ik e t o se e a l i tt l e b i t o f a h a l f l i n e An d , y o u c a n s om e t i m e s t e l l , a c c o r d i ng t o t h e pr o g r a m , t e l l t h e c o m p u t e r h o w l o ng y o u wa nt t h a t l i n e t o b e , i f y o u w a nt i t t e e ny o r a l i t t l e b i g g e r O n c e i n aw h i l e y o u wa nt y o u wa n t i t n a r r o w e r o n i t , b ut n o t r i g h t n o w Và th ứ duy nhất m à nó làm là b ạn có thể, nếu bạn đang nói thứ để vẽ tr ư ờng có hư ớng, t ùy ch ọn duy nhất m à b ạn có l à cho bi ết khoảng cách sẽ bằng bao nhi êu, và th ỉnh thoảng ng ư ời ta không thích thấy to àn b ộ m ột đư ờng thẳng Họ chỉ thích thấy m ột ít của nửa đư ờn g th ẳng V à th ỉnh tho ảng bạn có thể nói, theo ch ương tr ình, nói cho máy tính bi ết bạn muốn đ ư ờng thẳng đó d ài bao nhiêu, b ạn muốn nó nhỏ hay lớn hơn m ột chút Thỉnh thoảng bạn mu ốn bạn muốn nó hẹp h ơn , nhưng không ph ải ngay bây gi ờ Ok a y , t h a t '''' s w h a t a c om p u t e r d o e s W h a t d o e s a h u m a n d o ? T h i s i s w h a t i t m e a n s t o b e h u m a n Y o u u s e y o ur i n t e l li g e n c e F r o m a h u m a n p o i nt o f v i e w , t h i s s t u f f h a s b e e n d o n e i n t h e w r o ng o r d e r A nd t h e r e a s o n i t ''''s b e e n d on e i n t h e w r o ng o r d e r : b ec a u s e f o r e a c h n e w p o i n t , i t r e q u i r e s a r e c a l c u l a t i o n o f f ( x , y ) T h a t i s h o r r i b l e T h e c o m p u t e r d o e s n''''t m i n d , b u t a h u m a n d o e s S o , f o r a h u m a n, t he w a y t o d o i t i s n o t t o b e g i n b y p i c ki ng t h e p o i n t , b ut t o b e g i n b y p i c k i ng t he s l o p e t h a t y o u w o u l d l ik e t o s ee S o , y o u b e g i n b y t a k i ng t h e s l o p e L e t '''' s c a l l i t t h e v a l u e o f t he s l o p e , C S o , y o u p i c k a n u m b e r C i s t w o I wa n t t o s e e w h e r e a r e a l l t h e p o i n t s i n t h e p l a n e w h e r e t h e s l o p e o f t h a t l i n e e l e m e nt w o u l d b e t w o ? W e ll , t h e y w i l l s a t i s f y a n e q u a t i o n Đư ợc rồi, đó l à nh ững g ì m à má y tính làm Còn con ngư ời l àm như th ế n ào? Th ế mới l à con ngư ời B ạn sử dụng trí thông minh của bạn Từ quan điểm con ng ư ời, cái n ày đ ã đư ợc thực hi ện theo thứ tự sai V à lý do nó đư ợc thực hiện theo thứ tự sai: v ì đ ối với mỗi điểm mới, c ần phải tính toán l ại f (x, y) Điều đó thật kinh khủng Các máy tính không bận tâm, nhưng m ột con ng ư ời th ì khác Vì v ậy, đối với một con ng ư ời, cách để l àm đi ều đó không ph ải bắt đầu bằng cách chọn các điểm, m à b ắt đầu bằng các h ch ọn hệ số góc m à b ạn mu ốn thấy Vì v ậy, bạ n b ắt đầu bằng cách chọn hệ s ố góc Chúng ta h ãy g ọi giá trị của hệ s ố góc l à C Vì v ậy, bạn chọn một số C bằng hai Tôi mu ốn biết tất cả các điểm trong mặt ph ẳng m à ở đó hệ số góc của yếu tố đ ư ờng thẳng bằng 2 nằm ở đâu? Vâng, chúng sẽ th õa mãn m ột ph ươn g trình T h e e q u a t i o n i s f ( x , y ) = C , i n g e n e r a l S o , w h a t y o u d o i s p l o t t h i s , p l o t t he e q u a ti o n, p l o t t h i s e q u a t i o n N o t i c e , it '''' s n o t t h e d i f fe r e n ti a l e q u a t i o n Y o u c a n '''' t e x a c t l y p l o t a d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n I t '''' s a c u r v e , a n o r d i n a r y c u r v e B ut w h i c h c u r v e w i l l d e p e n d ; it '''' s , i n f a c t , f r o m t h e 1 8 0 2 p o i n t o f v i e w , t h e l e v e l c u r v e o f C , s o r r y , i t '''' s a l e v e l c u r v e o f f o f ( x , y ) , t h e f un c t i o n f o f x a nd y c o r r e s p on d i ng t o t h e l e v e l o f v a l u e C Nói chung,phương tr ình là f (x, y) = C Vì v ậy, những g ì b ạn l àm là v ẽ đồ thị cái n ày, v ẽ đồ th ị ph ương tr ình, v ẽ đồ thị ph ương tr ình này Chú ý, nó không ph ải l à phương tr ình vi phân B ạn không thể vẽ chính xác đồ thị ph ương tr ình vi phân Đó là m ột đ ư ờng cong, m ột đư ờng cong b ì nh thư ờng Nh ưng đư ờng cong s ẽ phụ thuộc vào cái gì ; trên th ực tế, nó xu ất phát t ừ quan điểm của 18 02, đ ư ờng mức C, xin lỗi, nó là m ột đ ư ờng mức của f(x, y), h àm f c ủa x v à y tương ứng với mức giá tr ị C B ut w e ar e n o t g o i ng t o c a l l i t t h a t b e c a u s e t h i s i s n o t 18 02 I n s t e ad , w e '''' r e g o i ng t o c a l l i t a n i s o c l i n e A nd t h e n, y o u p l o t , w e l l , y o u'''' v e d o n e i t S o , y o u '''' v e g o t t h i s i s o c li n e , e x c e p t I ''''m g o i ng t o u s e a s o l u t i o n c u r v e , s o li d li n e s , o n l y f o r i n t e g r a l c u r v es W h e n w e d o p l o t i s o c l i n e s , t o i n d i c a t e t h a t t h e y ar e n o t s o l u t i o n s , w e '''' l l u s e d a s h e d li n e s f o r d o i ng t h e m O n e o f t h e c om p u t e r t h i n g s d o e s a nd t he o t h e r o n e d o es n'''' t B ut t h e y u s e d i ffe r e nt c o l o r s , a l s o T h e r e a r e d i f fe r e nt wa y s o f t e l l i ng y o u w h a t ''''s a n i s o c li n e a nd w h a t '''' s t h e s o l u ti o n c u r v e S o , a nd w h a t d o y o u d o ? S o , t h es e a r e a l l t h e p o i n t s w h e r e t h e s l o p e i s g o i ng t o b e C Nhưng chúng tôi s ẽ không gọi nó nh ư th ế bởi v ì đây không ph ải l à 18 02 Thay vào đó, chúng ta s ẽ gọi nó l à m ột đ ư ờng đẳng t à Và sau đó , b ạn vẽ, vâng, bạ n hoàn thành nó Vì v ậy, bạn đ ã có đư ờng đẳng t à này, ngo ại trừ tôi sẽ sử dụng một đ ư ờng cong nghiệm, các đư ờng liền nét, chỉ cho các đ ư ờng cong tích phân Khi chúng ta vẽ các đ ư ờng đẳng t à, đ ể chỉ ra rằng chúng không phải l à nghi ệm, chúng ta sẽ sử dụng cá c đư ờng nét đứt để v ẽ chúng M ột trong hai cái máy tính làm đư ợc c òn cái còn l ại th ì không Nh ưng chúng c ũng s ử dụng những m àu s ắc khác nhau Có nhiều cách khác nhau để nói cho bạn biết đ ư ờng đ ẳng t à là gì và đư ờng cong nghiệm l à gì À , và b ạn l àm gì? Vì v ậy, đây l à t ất cả những đi ểm có hệ số góc bằng C And n o w , w h a t y o u d o i s d r a w i n a s m a n y a s y o u wa n t o f li n e e l e m e n t s h a v i ng s l o p e C N o t i c e h o w e f f i c i e nt t h a t i s I f y o u w a nt 5 0 m i ll i o n o f t h e m a nd h a v e t h e t i m e , d r a w i n 5 0 m il l i o n I f t w o o r t h r e e a r e e n o u g h , d r a w i n t w o o r t h r ee Y o u w il l b e l o o ki ng a t t h e p i c t u r e Y o u w i l l se e w h a t t h e c u r v e l o o k s l i k e , a nd t h a t w il l g i v e y o u y o u r j u d g m e nt a s t o h o w y o u a r e t o d o t h a t S o , i n g e n e r a l , a p i c t u r e d r aw n t h a t wa y , s o l e t '''' s s a y , a n i s o c l i n e c o rr e s p o n d i ng t o C e q u a l s z e r o Và bây gi ờ, những g ì b ạn l àm là v ẽ thậ t nhi ều nh ư b ạn muốn các yếu tố đư ờng có độ dốc C Chú ý đ ến tính hiệu quả Nếu bạn muốn 50 triệu đ ư ờng v à có th ời gian, h ãy v ẽ 50 tri ệu Nếu hai hoặc ba l à đ ủ, h ãy v ẽ hai hoặc ba Bạn sẽ nh ìn vào ảnh Bạn sẽ thấy đ ư ờn g cong trông như th ế n ào, và nó s ẽ cho bạn sự suy xét về cách thức để bạn l àm đi ều đó V ì v ậy, nói chung, một bức tranh đ ư ợc vẽ theo cách đó, v ì v ậy, giả sử rằng, một đ ư ờng đ ẳng t à tương ứng với C bằng không T h e l i n e e l e m e n t s , a nd I t h i nk f o r a n i s o c l i n e , f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s l e c t u r e , i t w o u l d b e a g oo d i d e a t o p ut i s o c l i n e s O k a y , s o I ''''m g o i ng t o p ut s o l u t i o n c u r v e s i n p i n k , o r w h a t e v e r t h i s c o l o r i s , a nd i s o c li n e s ar e g o i ng t o b e i n o r a n g e , I g u es s S o , i s o c li n e , r e pr es e n t e d b y a da s h e d li n e , a nd n o w y o u w i l l p u t i n t he l i n e e l e m e n t s o f , w e '''' l l n e e d l o t s o f c h a l k f o r t h a t S o , I '''' l l u s e w h i t e c h a l k Các y ếu tố đ ư ờng, v à tôi ngh ĩ đối với một đ ư ờng đẳng t à, đ ối với mục đích của b ài gi ảng n ày, nó s ẽ l à m ột ý t ư ởng tốt để đặt các đ ư ờng đẳng t à Đư ợc rồi, do đó, tôi sẽ tô các đư ờng cong nghiệm m àu h ồng, hoặc bất cứ m àu s ắc n ào , và các đư ờng đẳng t à có màu da cam, tôi đoán v ậy V ì v ậy, các đ ư ờng đẳng t à, đư ợc biểu diễn bằng các đ ư ờng nét đ ứt, và bây gi ờ bạn sẽ đặt các y ếu tố đ ư ờng vào , chúng ta s ẽ cần rất nhiều phấn cho đi ều đó V ì v ậy, tôi sẽ sử dụng phấn trắng Y h o r i z o n t a l ? B e c a u s e a c c o r d i ng t o t h i s t h e s l o p e i s s u p p o s e d t o b e z e r o t h e r e A nd a t t h e s a m e w a y , h o w ab o ut a n i s o c l i n e w h e r e t he s l o p e i s n e ga t iv e o n e ? L e t '''' s s u pp o s e h e r e C i s e q u a l t o n e g a t i v e on e O k a y , t h e n i t w il l l o o k l ik e t h i s T h es e a r e s u pp o s e d t o b e li n e s o f s l o p e n e g a t i v e on e D o n '''' t s h o o t m e i f t h e y a r e n o t S o , t h a t '''' s t h e p r i n c i p l e S o , t h i s i s h o w y o u w i l l f i l l up t he p l a n e t o d r a w a d i r e c t i o n f i e l d : b y p l o t ti ng t he i s o c li n e s f i r s t Y ngang? B ởi v ì theo đây h ệ số góc đ ư ợc cho l à b ằ ng 0 ở đó V à tương t ự , các đư ờng đẳng tà mà h ệ số góc của nó bằng trừ 1 th ì sao? Hãy gi ả sử ở đây C bằng trừ 1 Đ ư ợc rồi, sau đó nó s ẽ trông nh ư th ế n ày Đây là nh ững đ ư ờng đ ư ợc giả sử l à có h ệ số góc bằng tr ừ 1 Đừng b ắn tôi, nếu chúng không phải V ì v ậy, đó l à nguyên t ắc V ì v ậy, đây l à cách b ạn sẽ l àm đ ầy m ặt phẳng để vẽ tr ư ờng có h ư ớng: bằng cách đầu ti ên v ẽ các đ ư ờng đẳng t à And t h e n , on c e y o u h a v e t h e i s o c l i n e s t h e r e , y o u w il l h a v e l i n e e l e m e n t s A nd y o u c a n d r a w a d i r e c t i o n f i e l d Ok a y , s o , f o r t he n e x t f e w m i n u t e s , I ''''d l ik e t o w o r k a c o u p l e o f e x a m p l e s f o r y o u t o s h o w h o w t h i s w o r k s o u t i n p r a c t i c e S o , t h e f i r s t e q u a ti o n i s g o i ng t o b e y '''' = - x / y Ok a y , f i r s t t h i n g , w h a t a r e t h e i s o c l i n e s ? W e l l , t h e i s o c li n e s ar e g o i ng t o b e y Và sau đó, m ột khi bạn có đ ư ờng đẳng t à ở đó, bạn sẽ có các yếu tố đ ư ờng V à b ạn có thể v ẽ một tr ư ờng có h ư ớng Đ ư ợc rồi, v ì v ậy, trong v ài phút sau, tôi mu ốn xét một v ài ví d ụ để cho các b ạn thấy điều n ày đư ợc tiến h ành trong th ực tế nh ư th ế nào Vì v ậy, phương tr ình đ ầu ti ên s ẽ l à y ''''= - x / y Đư ợc rồi, điều đầu ti ên, các đư ờng đẳng t à là gì? Vâng, các đư ờng đ ẳng t à s ẽ l à y … W e l l , - x / y = C M a y b e I b e t t e r m a k e t w o s t e p s o u t o f t h i s M i n u s x o v e r y i s e q u a l t o C B u t , o f c o u r s e , n o b o d y d r a w s a c u r v e i n t h a t f o r m Y o u '''' l l w a nt i t i n t h e f o r m y = - 1 / C * x S o , t h e r e ''''s o ur i s o c li n e W hy d o n ''''t I p ut t h a t up i n o r a n g e s i n c e it '''' s g o i ng t o b e , t h a t '''' s t h e c o l o r I '''' l l d r a w i t i n I n o t h e r w o r d s , f o r d i ff e r e nt v a l u e s o f C , n o w t h i s t h i ng i s a l i g n e d I t '''' s a li g n e d , i n f a c t , t h r o u g h t h e o r i g i n T h i s l o o k s pr e tt y s i m p l e O k a y , s o h e r e '''' s o u r p l a n e T h e i s o c l i n e s ar e g o i ng t o b e l i n e s t h r o u g h t h e o r i g i n And n o w , l e t '''' s p ut t h e m i n, s u pp o s e , f o r e x a m p l e , C i s e q u a l t o on e Vâng, - x / y = C Có l ẽ tốt h ơn là tôi nên làm riêng hai bư ớc ra ng oài đây Tr ừ x tr ên y b ằng C Nh ưng, t ất nhi ên, không ai v ẽ một đ ư ờng cong d ư ới dạng đó Bạn sẽ muốn nó có d ạng y= ( - 1 / C ) * x Vì v ậy, đó l à đư ờng đẳng t à c ủa chúng ta Tại sao tôi không t ô nó màu da cam vì nó s ẽ l à, đó là màu mà tôi đ ã v ẽ nó Nói cách khác, đối với các giá trị khác nhau c ủa C, bây giờ cái n ày đư ợc sắp h àng Nó đư ợc sắp h àng, trên th ực tế, qua g ốc tọa độ Điều n ày có v ẻ khá đ ơn gi ản Đ ư ợc rồi, do đó, đây l à m ặt phẳng của ch úng ta Các đư ờng đẳng t à s ẽ l à các đư ờng đi qua gốc tọa độ V à bây gi ờ, chúng ta h ãy đ ặt chúng vào trong, gi ả sử, ví dụ, C bằng một W e l l , i f C i s e q u a l t o o n e , t h e n it '''' s t he l i n e , y e q u a l s m i nu s x S o , t h i s i s t h e i s o c l i n e I '''' l l p u t , d o w n h e r e , C e q u a l s m i n u s o n e A n d , a l o ng it , n o , s om e t h i n g '''' s w r o n g I ''''m s o r r y ? C i s on e , n o t n e g a t iv e on e , r i g h t , t h a n k s T h a n k s S o , C e q u a l s o n e S o , i t s h o u l d b e li t t l e l i n e s e g m e n t s o f s l o p e o n e w i l l b e t h e l i n e e l e m e n t s , t h i n g s o f s l o p e o n e O K , n o w h o w ab o u t C e q u a l s n e ga ti v e o n e ? Vâng, n ếu C bằng một, do đó nó l à đư ờng, y bằng trừ x V ì v ậy, đây l à đư ờng đẳng t à Tôi s ẽ đặt, d ư ới đây, C bằng trừ một V à, d ọc theo nó, không, có cái g ì đó không ổn Tôi xin l ỗi? C l à m ột, không phải trừ một, đúng không, cám ơn C ảm ơn V ì v ậy, C bằng m ột V ì v ậy, có lẽ n ên là nh ững đo ạn nhỏ với hệ số góc bằng 1 sẽ l à nh ững yếu tố đ ư ờng, những cái có h ệ số góc bằng một Vâng, c òn C b ằng trừ một th ì sao? I f C e q u a l s n e ga t i v e o n e , t h e n i t ''''s t he li n e , y = x And s o , t h a t '''' s t h e i s o c l i n e N o t i c e , s t il l d a s h b ec a u s e t h es e ar e i s o c l i n e s H e r e , C i s n e g a t i v e on e And s o , t h e s l o p e e l e m e n t s l o o k l i k e t h i s N o ti c e , t h e y a r e p e r p e n d i c u l a r N o w , n o t i c e t h a t t h e y a r e a l wa y s g o i ng t o b e p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e b ec a u s e t h e s l o p e o f t h i s l i n e i s m i n u s o ne o v e r C B u t , t h e s l o p e o f t h e li n e e l e m e nt i s g o i ng t o b e C T h o s e n u m b e rs , m i n us o ne o v e r C a nd C , a r e n e g a t iv e r e c i p r o c a l s An d , y o u k n o w t h a t t w o l i n e s w h o s e s l o p e s a r e n e ga t i v e r ec i pr o c a l s a r e p e r p e n d i c u l a r S o , t h e l i n e e l e m e n t s a r e g o i ng t o b e p e r p e n d i c u l a r t o t h es e A nd t h e r e f o r e , I h a r d l y e v e n h a v e t o b o t h e r c a l c u l a t i n g , d o i ng a ny mo r e c a l c u l a t i o n H e r e '''' s g o i ng t o b e a , w e ll , h o w ab o ut t h i s o n e ? N ếu C bằng trừ một, th ì đó là đư ờng, y = x V à như v ậy, đó l à đư ờng đẳng t à Chú ý, v ẫn c òn các đư ờng nét đứt v ì đây là nh ững đ ư ờng đẳng t à Ở đây, C bằng trừ 1 V à như v ậy, các yếu tố hệ số góc trông giống nh ư th ế n ày Chú ý, chúng vuông góc Bây gi ờ, chú ý r ằng chúng sẽ luôn vuông góc với đ ư ờng đ ẳng t à vì h ệ số góc của đ ư ờng n ày là tr ừ m ột tr ên C Nhưng h ệ số góc của y ếu tố đ ư ờng thẳng là C Nh ững con số n ày, tr ừ một trên C và C, nhân nhau b ằng trừ 1 V à, b ạn biết rằng hai đ ư ờng m à h ệ số góc của chúng nhân nhau b ằng trừ 1 vuông góc nhau V ì v ậy, các yếu tố đ ư ờng sẽ vuông góc với những cái này Và do đó, tôi th ậm chí hầ u như không ph ải bận tâm tính toán, l àm thêm b ất cứ tính toán nào n ữa Đây sẽ l à m ột, vâng, c òn cái này thì sao? H e r e '''' s a c o n t r o v e r s i a l i s o c l i n e I s t h a t a n i s o c li n e ? W e ll , wa i t a m i n u t e T h a t d o e s n '''' t c o r r e s p o nd t o a n yt h i ng l oo k i ng l i k e t h i s Ah - h a , b ut i t w o u l d i f I p ut C m u l t i p l i e d t h r o u g h b y C And t h e n, i t w o u l d c o r r e s p o nd t o C b e i ng z e r o I n o t h e r w o r d s , d o n''''t w r it e i t l i k e t h i s M u l ti p l y t h r o u g h b y C I t w i l l r e a d C y = - x And t h e n, w h e n C i s z e r o , I h a v e x e q u a l s z e r o , w h i c h i s e x a c t l y t he y - a x i s Dư ới đây là m ột đ ư ờng đẳng t à tinh t ế Đó l à m ột đư ờng đẳng t à ph ải không ? Vâng, ch ờ m ột chút Nó có v ẻ không li ên quan gì t ới biểu thức n ày Ah - ha, nhưng tôi s ẽ chỉ ra chúng tương đương b ằng cách nhân hai vế với C Và b ạn sẽ thấy, nó tương ứng với C bằng không Nói cách khác, không vi ết nó nh ư th ế n ày Nhân hai v ế với C Nó tương đương C y = - x Và sau đó, khi C b ằng không, tôi có x bằng không, nó chính là tr ục y S o , t h a t r e a ll y i s i n c l u d e d Ho w ab o ut t he x - a x i s ? W e ll , t h e x - a x i s i s n o t i n c l u d e d Ho w e v e r , m o s t p e o p l e i n c l u d e i t a n y w a y T h i s i s v e r y c o m m o n t o b e a s o r t o f s l o pp y a nd b e n d i ng t h e e dg e s o f c o r n e r s a l i t t l e b it , a n d h o p i ng n o b o d y w i l l n o t i c e W e '''' l l s a y t h a t c o r r e s p o n d s t o C e q u a l s i n f i n i t y I h o p e n o b o d y wa n t s t o f i g ht ab o u t t h a t I f y o u d o , g o f i g h t w i t h s om e b o d y e l s e S o , i f C i s i n f i n i ty , t h a t m e a n s t he l i t t l e l i n e s e g m e nt s h o u l d h a v e i n f i n i t e s l o p e , a nd b y c o mm o n c o n s e n t , t h a t m e a n s i t s h o u l d b e v e r t i c a l And s o , w e c a n e v e n c o u nt t h i s a s s o r t o f a n i s o c l i n e An d , I '''' l l m a k e t h e d a s h e s s m a l l e r , i n d i c a t e i t h a s a l o w e r s t a t u s t h a n t h e o t h e r s A n d , I '''' l l p ut t h i s i n , d o t h i s w e a s e l l y t h i ng o f p u t ti ng i t i n q u o t a t i o n m ar k s t o i n d i c a t e t h a t I '''' m n o t r es p o n s i b l e f o r it Vì v ậy, nó đúng là m ột đ ư ờng đẳng t à Còn tr ục x thì sao ? Vâng, tr ục x không ph ải l à đư ờng đ ẳng t à Tuy nhiên, dù sao đi n ữa h ầu hết mọi ng ư ời đ ều tính đến nó Đi ều n ày thông thư ờng phần n ào lu ộm thuộm và u ốn các c ạnh của các góc m ột ít, v à hy v ọng không ai sẽ chú ý Nó tương ứng với C bằng vô c ùng Tôi hy v ọng không ai muốn tranh lu ận v ề điều đó N ếu muốn , hãy tranh lu ận v ới ng ư ời khác V ì v ậy, nếu C bằng vô c ùng , có ngh ĩa l à các đo ạn nh ỏ sẽ có h ệ số góc bằng vô cùng , và theo như s ự đồng ý phổ biến , có ngh ĩa l à nó s ẽ nằm d ọc Và như v ậy, chúng tôi thậm chí có thể tính cái này như l à m ột loại đ ư ờng đẳng t à Và, tôi s ẽ l àm cho các d ấu gạch ngang nh ỏ h ơn, ch ỉ ra nó có một t ình tr ạng thấp h ơn nh ững cái khác Và , tôi s ẽ đặt cái n ày vào trong d ấu ngoặc kép để cho biết rằng tôi không xét nó Ok a y , n o w , w e n o w h a v e t o p ut i t t h e i n t e g r a l c u r v es W e ll , n o t h i ng c o u l d b e e a s i e r I ''''m l o o ki ng f o r c u r v e s w h i c h ar e e v e r y w h e r e p e rp e n d i c u l a r t o t h es e r a y s W e l l , y o u k n o w f r o m g e o m e t r y t h a t t h o s e a r e c i r c l e s S o , t h e i n t e g r a l c u r v e s a r e c i r c l e s An d , it '''' s a n e l e m e n t ar y e x e r c i s e , w h i c h I w o u l d n o t d e p r i v e y o u o f t h e p l e a s u r e o f S o lv e t h e O D E b y s e p a r a t i o n o f v a r i a b l es I n o t h e r w o rd s , w e '''' v e g o tt e n t h e , s o t h e c i r c l e s ar e o n e s w it h a ce n t e r a t t h e o r i g i n, o f c o u r s e , e q u a l s om e c o n s t a n t I '''' l l c a l l i t C 1, s o it '''' s n o t c o n f u s e d w i t h t h i s C T h e y l o o k l ik e t h a t , a nd n o w y o u s h o u l d s o lv e t h i s b y s e pa r a t i ng v a r i ab l e s , a nd j u s t c o n f i r m t h a t t h e s o l u t i o ns a r e , i n f a c t , t h o s e c i r c l e s Đư ợc rồi, bây giờ, chúng ta ph ải đặt nó v ào đư ờng cong tích phân Vâng, không có gì d ễ dàng hơn Tôi đang tìm đư ờng cong vuông g óc v ới các tia này ở m ọi n ơi Vâng, t ừ h ình h ọc b ạn biết rằng đó l à nh ững đ ư ờng tròn Vì v ậy, các đ ư ờng cong tích phân là các đư ờng tròn Và, nó là m ột bài t ập c ơ b ản , mà tôi s ẽ không t ư ớc đi của các b ạn niềm vui thích với nó Gi ải phương tr ình vi phân th ư ờng bằng ph ương pháp tách bi ến Nói cách khác, chúng ta đ ã nh ận đư ợc các đ ư ờng tr òn là nh ững cái mà tâm n ằm tại gốc tọa độ , t ất nhi ên, b ằng một h ằng số n ào đó Tôi s ẽ gọi nó l à C1, do đó, nó không nh ầm lẫn với C này Chúng gi ống nh ư th ế n ày, và bây gi ờ bạ n nên gi ải phương tr ình này b ằng ph ương pháp tách bi ến , và ch ỉ cần xác nh ận rằng trên th ực tế, các nghiệm l à nh ững v òng tròn O n e i n t e r e s t i ng t h i n g , a nd s o I c o n f i r m t h i s , I w o n''''t d o i t b e c a u s e I wa nt t o d o g e o m e t r i c a nd n u m e r i c a l t h i n g s t o d a y S o , i f y o u s o lv e i t b y s e p a r a t i ng v a r i a b l es , o ne i n t e r e s t i ng t h i ng t o n o t e i s t h a t i f I w r i t e t h e s o l u t i o n a s y = y 1 ( x ) , w e ll , i t '''' l l l o o k s o m e t h i ng l ik e t h e s q r t ( C 1 - x ^ 2 ) W e '''' l l m a k e t he x s q u a r e d b e c a u s e t h a t '''' s t h e w a y p e o p l e u s u a l l y p ut t h e r ad i u s M ột điều thú v ị, v à vì v ậy tôi xác nhận điều n ày, tôi s ẽ không l àm đi ều đó v ì tôi mu ốn l àm nh ững thứ h ình h ọc v à s ố ngày hôm nay Vì v ậy, nếu bạn giải nó b ằng cách tách các biến, m ột trong những điều thú vị cần l ưu ý là n ếu tôi viết những nghi ệm l à y = y1 (x), vâng , nó s ẽ có d ạng căn bậc hai của (C1 - x ^ 2) Chúng ta s ẽ tạo ra x b ình vì đó là cách ngư ời ta thư ờng đặt bán kính And s o , a s o l u t i o n, a t y p i c a l s o l u t i o n l oo k s l i k e t h i s W e ll , w h a t '''' s t h e s o l u t i o n o v e r h e r e ? W e ll , t h a t o n e s o l u t i o n w i l l b e g o e s f r o m h e r e t o h e r e I f y o u l i k e , i t h a s a n e g a t i v e s i d e t o i t S o , I '''' l l m a k e , l e t '''' s s a y , p l u s T h e r e ''''s a n o t h e r s o l u t i o n, w h i c h h a s a n e ga t i v e v a l u e B ut l e t ''''s u s e t h e o n e w i t h t he p o s i t iv e v a l u e o f t he s q u a r e r o o t M y p o i nt i s t h i s , t h a t t h a t s o l u ti o n, t h e d om a i n o f t h a t s o l u t i o n , r e a l l y o n l y g o e s f r o m h e r e t o h e r e It '''' s n o t t h e w h o l e x - a x i s I t ''''s j u s t a l i m it e d p i e c e o f t h e x - a x i s w h e r e t h a t s o l u t i o n i s d e f i n e d T h e r e '''' s no wa y o f e x t e n d i ng i t f u r t h e r A n d , t h e r e ''''s no wa y o f pr e d i c ti n g , b y l o o k i ng a t t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n, t h a t a ty p i c a l s o l u t i o n wa s g o i ng t o h a v e a l i m it e d d o m a i n l ik e t h a t Và vì v ậy, nghiệm , nghi ệm thông th ư ờng sẽ có d ạng như th ế n ày Vâng, nghi ệm tr ên đây là gì? Vâng, m ột nghi ệm sẽ tương ứng với đồ thị t ừ đây đến đây N ếu bạn t hích, nó có m ột v ế âm c ủa nó Vì v ậy, tôi sẽ xét trư ờng hợp d ương Có m ột nghiệm khác , trong đó có m ột giá tr ị âm Nhưng chúng ta hãy s ử dụng nghiệm v ới giá trị dương c ủa căn b ậc hai V ấn đề c ủa tôi ở đây, nghiệm đó, mi ền nghi ệm đó , th ực sự chỉ đi từ đây đến đây Nó không ph ải toàn b ộ trục x Nó chỉ l à ph ần gi ới hạn của trục x ở đó nghiệm đó đư ợc xác định Không có cách nào đ ể mở rộng nó th êm n ữa Và, không có cách nào đ ể d ự đoán, bằng cách nh ìn vào phương tr ình vi phân, m ột nghi ệm thông th ư ờng sẽ có một miền giới hạn giống nh ư th ế I n o t h e r w o r d s , y o u c o u l d f i nd a s o l u ti o n, b ut ho w f a r o u t i s i t g o i ng t o g o ? S o m e ti m e s , i t '''' s i m p o s s i b l e t o t e l l , e x c e p t b y e i t h e r f i n d i ng i t e x p li c i t l y , o r b y a s ki ng a c o m p u t e r t o d r a w a p i c t u r e o f i t , a nd se e i ng i f t h a t g i v e s y o u s o m e i n s i g h t It '''' s o n e o f t h e m a ny d i f f i c u lt i e s i n h a n d l i ng d i f fe r e n t i a l e q u a ti on s Y o u d o n''''t k n o w w h a t t h e d om a i n o f a s o l u ti o n i s g o i ng t o b e u n t i l y o u'''' v e a c t u a l l y c a l c u l a t e d it Nói cách khác, b ạn có thể t ìm ra m ột nghi ệm , nhưng nó s ẽ đi xa ra ngo ài bao nhiêu ? Đôi khi, không th ể nói đ ư ợc , ngo ại trừ bằng cách ho ặc tìm ra nó m ột cách r õ ràng, ho ặc b ằ ng cách yêu c ầu một máy tính v ẽ một h ình ảnh của nó, v à xem nó có cho b ạn sự hiểu bi ết sâu sắc hay không Đó là m ột trong r ất nhiều khó khăn trong việc xử lý ph ương tr ình vi p hân B ạn không biết mi ền nghi ệm sẽ l à gì cho đ ến khi bạn thực sự đ ã tính toán nó N o w , a s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e i s g o i ng t o b e , l e t ''''s s e e , y '''' = 1 + x - y It '''' s n o t a l o t m o r e c om p l i c a t e d , a nd a s a c om p u t e r e x e r c i s e , y o u w i l l w o r k w i t h, s t i ll , m o r e c o m p l i c a t e d o n e s B ut h e r e , t h e i s o c l i n e s w o u l d b e w h a t ? W e ll , I s e t t h a t e q u a l t o C C a n y o u d o t h e a l g e b r a i n y ou r h e a d ? A n i s o c l i n e w i l l h a v e t h