Đang tải... (xem toàn văn)
20 chuyên đề toán hình lớp 8, đa dạng bài tập, lời giải phong phú, dễ hiểu. Bài tập từ dễ đến khó, phù hợp cho cả những bạn yếu về môn hình học 8. Ngoài ra còn trợ giúp các bạn học sinh đang ôn thi, chuẩn bị cho kì thi giữa kì, cuối kì, học sinh giỏi,... giúp các bạn tự tin làm bài, bổ sung kiến thức để vững vàng bước vào phòng thi. Cuối cùng, chúc các bạn học tốt môn hình học 8
Chương I: TỨ GIÁC Chuyên đề TỨ GIÁC A Kiến thức cần nhớ Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng (h.1.1 a, b) Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1 a) tứ giác lõm (h.1.1 b) Nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác 360 D 360 B C A B Một số ví dụ B 40 Các tia phân giác góc C góc D cắt O Cho biết Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, A 110 Chứng minh AB BC COD Giải (h.1.2) * Tìm cách giải 90 Muốn chứng minh AB BC ta chứng minh B B B nên cần tính tổng A Đã biết hiệu A * Trình bày lời giải 180 C D 180 C D Xét COD có COD 2 D ) C ; D (vì C 2 D 360 A B , Xét tứ giác ABCD có: C Trang 180 COD 360 A B 180180 A B B A 110 nên A B 220 Theo đề COD Vậy COD B 40 nên B 220 40 : 90 Do AB BC Mặt khác, A Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB = BC hai cạnh AD, DC khơng Đường chéo DB đường phân giác góc D Chứng minh góc đối tứ giác bù Giải (h.1.3 a,b) * Tìm cách giải Để chứng minh hai góc A C bù ta tạo góc thứ ba làm trung gian, góc góc A chẳng hạn Khi cịn phải chứng minh góc bù với góc C * Trình bày lời giải - Xét trường hợp AD < DC (h.1.3a) Trên cạnh DC lấy điểm E cho DE = DA ADB EDB (c.g.c) E AB EB A E Mặt khác, AB BC nên BE BC Vậy BEC cân C E 180 A C 180 Ta có: E D 360180 180 Do đó: B - Xét trường hợp AD > DC (h.1.3b) Trên tia DA lấy điểm E cho DE = DC 180 D C 180 ; B Chứng minh tương tự trên, ta được: A Ví dụ Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo a Gọi M điểm Tìm giá trị nhỏ tổng MA MB MC MD Giải (h.1.4) * Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ tổng MA MB MC MD ta phải chứng minh MA MB MC MD k ( k số) Ghép tổng thành hai nhóm MA MC MB MD Ta thấy dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng * Trình bày lời giải Trang Xét ba điểm M, A, C có MA MC AC (dấu “=” xảy M AC ) Xét ba điểm M, B, D có MB MD BD (dấu ‘=’ xảy M BD ) Do đó: MA MB MC MD AC BD a Vậy MA MB MC MD a M trùng với giao điểm O đường chéo AC BD C Bài tập vận dụng Tính số đo góc 1.1 Chứng minh tứ giác, tổng hai góc ngồi hai đỉnh tổng hai góc hai đỉnh lại B 220 Các tia phân giác đỉnh C D cắt K Tính 1.2 Cho tứ giác ABCD có A số đo góc CKD C Chứng minh đường phân giác góc B góc D song song 1.3 Tứ giác ABCD có A với trùng 110 Tính số đo góc A, góc B 130 ; D 1.4 Cho tứ giác ABCD có AD DC CB ; C ( Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2010 ) So sánh độ dài 1.5 Có hay khơng tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? 1.6 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Biết AB 3; BC 6,6; CD Tính độ dài AD 1.7 Chứng minh tứ giác tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác 1.8 Cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng, hai điểm có khoảng cách lớn 10 Chứng minh tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 1.9 Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a , b , c , d số tự nhiên Biết tổng S a b c d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d Chứng minh tồn hai cạnh tứ giác Bài toán giải phương trình tơ màu 1.10 Có chín người ba người có hai người quen Chứng minh tồn nhóm bốn người đôi quen Trang Hướng dẫn giải 1.1 Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh kề (h.1.5) , D số đo hai góc trong; D , D số đo hai góc ngồi hai Gọi C 1 2 đỉnh kề C D Ta có: +D C = 2 (180° − C ) + (180° − D=) 1 ( ) +D (1) 360° − C 1 ( ) 360° − C +D (2) Xét tứ giác ABCD có: A += B 1 +D = Từ (1) (2) suy ra: C A+ B 2 Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh đối (h.1.6) +D =B Chứng minh tương tự, ta A2 + C 1.2 (h.1.7) + DCy = = 220° (bài 1.1) Ta có: CDx A+ B ⇒ + CDy CDx +C = 110° = 110° Do D 2 ( ) +C = 180° − 110= Xét ∆CKD có: CKD = 180° − D ° 70° 2 1.3 (h.1.8) ( ) += 360° − = 360° − 2C Xét tứ giác ABCD có: B D A+C =B , D =D nên B +D ⇒B +D +C 180° Vì B = 180° − C = 2 1 1 (1) +M +C = 180° (2) Xét ∆BCM có B 1 =M Do DN // BM Từ (1) (2) suy D 1 1.4 (h.1.9) D chúng cắt E Vẽ đường phân giác góc C = 180° − 110° + 130°= 60° Xét ∆ECD có CED =° AED = CED 60 ∆ADE = ∆CDE (c.g.c) ⇒ = =° DEC 60 ∆BCE = ∆DCE (c.g.c) ⇒ BEC Suy AEB = 180° ba điểm A, E, B thẳng hàng = EAD Vậy BAD ABC= 360° − ( 65° + 110° + 130° )= 55° = ECD= 65° Do 1.5 (h.1.10) Giả sử tứ giác ABCD có CD cạnh dài Trang Ta chứng minh CD nhỏ tổng ba cạnh lại (1) Thật vậy, xét ∆ABC ta có: AC < AB + BC Xét ∆ADC có: CD < AD + AC Do CD < AD + AB + BC Ta thấy cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác mà cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 1.6 (h.1.11) Gọi O giao điểm hai đường chéo Xét ∆AOB , ∆COD vng O, ta có: AB + CD = OA2 + OB + OC + OD Chứng minh tương tự, ta được: BC + AD = OB + OC + OD + OA2 Do đó: AB + CD = BC + AD Suy ra: 32 + 62 =6, 62 + AD ⇒ AD =9 + 36 − 43,56 =1, 44 ⇒ AD =1, 1.7 (h1.12) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA + OB > a; OC + OD > c Do ( OA + OC ) + ( OB + OD ) > a + c hay AC + BD > a + c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC + BD > d + b (2) Cộng vế (1) (2), ta được: ( AC + BD ) > a + b + c + d ⇒ AC + BD > a+b+c+d Xét ∆ABC ∆ADC ta có: AC < a + b; AC < c + d ⇒ 2AC < a + b + c + d (3) Tương tự có: 2BD < a + b + c + d (4) Cộng vế (3) (4) được: ( AC + BD ) < ( a + b + c + d ) ⇒ AC + BD < a + b + c + d Từ kết ta điều phải chứng minh 1.8 • Trước hết ta chứng minh toán phụ: Cho ∆ABC , A ≥ 90° Chứng minh BC ≥ AB + AC Giải (h.1.13) Vẽ BH ⊥ AC Vì A ≥ 90° nên H nằm tia đối tia AC Xét ∆HBC ∆HBA vuông H, ta có: Trang BC = HB + HC = ( AB − HA2 ) + ( HA + AC ) = AB − HA2 + HA2 + AC + HA AC = AB + AC + HA AC Vì HA AC ≥ nên BC ≥ AB + AC ( dấu “=” xảy H ≡ A tức ∆ABC vuông) • Vận dụng kết để giải toán cho Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lồi (h.1.14) +C +D = 360° Ta có: A+ B Suy bốn góc phải có góc lớn 90° , giả sử A ≥ 90° Xét ∆ABD ta có BD ≥ AB + AD > 102 + 102 = 200 suy BD > 200 , BD > 14 Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lõm (h.1.15) =360° Nối CA, Ta có: ACD + ACB + BCD Suy ba góc phải có góc lớn 120° Giả sử ACB ≥ 120° , ACB góc tù Xét ∆ACB có AB ≥ AC + BC > 102 + 102 = 200 Suy AB > 200 ⇒ AC > 14 Vậy ln tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 1.9 (h.1.16) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử khơng có hai cạnh tứ giác Ta giả sử a b c d Ta có: a b c BD c d Do a b c d 2d Ta đặt a b c d S S 2d (*) Ta có: S a S ma m N (1) S b S nb n N (2) S c S pc p N (3) Trang S d S qd q N (4) Từ (4) (*) qd 2d q Vì a b c d nên từ (1), (2), (3), (4) suy m n p q Do q 3; p 4; n 5; m Từ (1), (2), (3), (4) suy a b c d ; ; ; m S n S p S q S Ta có: 1 1 1 1 abcd 1 m n p q S Từ đó: 19 , vơ lí 20 Vậy điều giả sử sai, suy tồn hai cạnh tứ giác 1.10 Coi người điểm, ta có chín điểm A, B, C,… Nối hai điểm với ta đoạn thẳng Ta tô màu xanh hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ hai người quen Ta chứng minh tồn tứ giác có cạnh đường chéo tô màu đỏ Trường hợp có điểm đầu mút bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (h.1.17) Xét ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ tam giác có đoạn thẳng màu đỏ Tương tự đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE có màu đỏ (vẽ nét liền) (h.1.18) Do tứ giác BCDE có cạnh đường chéo tơ đỏ nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trường hợp điểm đầu mút nhiều ba đoạn thẳng màu xanh Không thể điểm đầu mút ba đoạn thẳng màu xanh số đoạn thẳng màu xanh 9.3 N Như tồn điểm đầu mút nhiều hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn điểm A, A đầu mút sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19) Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn ba điểm đỉnh tam giác có ba cạnh màu (đây toán phương pháp tơ màu) chẳng hạn BCD (h.1.20) Trang Trong BCD có cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh BCD màu đỏ Khi tứ giác ABCD tứ giác có cạnh đường chéo tô đỏ, nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trang Chun đề HÌNH THANG HÌNH THANG CÂN DỰNG HÌNH THANG A Kiến thức cần nhớ Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song (h.2.1) Đặc biệt : Hình thang vng hình thang có góc vng (h.2.2) Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy (h.2.3) Trong hình thang cân : - Hai cạnh bên ; - Hai đường chéo ( h.2.4) Dấu hiệu nhận biết hình thang cân : - Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân ; - Hình thang có hai đối bù hình thang cân ; - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Dựng hình • Dụng cụ dựng hình : Thước compa • Các bước giải tốn dựng hình : - Phân tích ; - Cách dựng; - Chứng minh; - Biện luận Đối với tốn dựng hình đơn giản ta khơng trình bày bước phân tích Trang • Để dựng hình thang ta cần biết bốn yếu tố nó, số góc cho trước khơng q hai B Một số ví dụ Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) , tia phân giác góc A , góc D cắt M thuộc cạnh BC Cho biết AD = 7cm, chứng minh hai đáy hình thang có độ dài nhỏ 4cm Giải(h.2.5) *Tìm cách giải Để chứng minh cạnh đáy nhỏ 4cm ta xét tổng hai cạnh đáy chứng minh tổng nhỏ 8cm Khi tồn cạnh đáy có độ dài nhỏ 4cm *Trình bày lời giải Gọi N giao điểm tia AM tia DC (so le ) Ta có : AB / / CD nên A2 = N ⇒ DAN cân D Mặt khác , A1 = A2 nên A= N ⇒ DA = DN (1) =D nên DM đồng thời đường trung tuyến : Xét DAN có D MA = MN = ) ⇒ AB CN ABM NCM ( g c.g= Ta có: DC + AB = DC + CN = DN = DA = 7cm Vậy AB + CD < 8cm Vậy hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ 4cm Ví dụ Tứ giác ABCD có AC = BD AD = BC Chứng minh tứ giác hình thang cân Giải (h.2.6) *Tìm cách giải Tứ giác ABCD có hai đường chéo nên để chứng minh hình thang cân, cần chứng minh AB / / CD Muốn ta chứng minh cặp góc so le *Trình bày lời giải D = ADC BCD(c.c.c= )⇒C 1 = DAB CBA(c.c.c= )⇒ B A1 = Mặt khác, COD AOB (đối đỉnh ) = 2 nên 2C A1 = ⇒C A1 , AB / / CD Vậy tứ giác ABCD hình thang Hình thang có hai đường chéo nên hình thang cân Trang