Quá trình martingale với thời gian rời rạc

Thông tin tài liệu

Trang 1 1.1.QUÁ TRÌNH MARTINGALE VỚI THỜI GIAN RỜI RẠCMartingale bắt nguồn từ lý thuyết trò chơi và ngày nay đã trở thành mơhình tốn quan trọng trong nghiên cứu thị trường tài chính, bảo

Các mơ hình ngẫu nhiên Q trình Martingale 1.1 Q TRÌNH MARTINGALE VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC Martingale bắt nguồn từ lý thuyết trò chơi ngày trở thành mơ hình tốn quan trọng nghiên cứu thị trường tài chính, bảo hiểm chứng khốn Khi bắt đầu chơi, người chơi có vốn X , thông tin ban đầu mà người chơi biết A0 , ta có  X , A0  Sau chơi ván thứ nhất, vốn người chơi biến ngẫu nhiên X1 , thông tin sau chơi ván tăng lên A0  A1 ,… Bằng cách đó, tiền vốn có sau ván thứ n biến ngẫu nhiên X n thông tin thu lập thành dãy  X n , An  Về phương diện toán học, ta xem  An  dãy   trường không giảm X n biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào An , tức An  đo  Trị chơi xem khơng thiệt hại cơng trung bình có điều kiện (biết thông tin) vốn ván sau vốn ván trước Theo ngơn ngữ xác suất điều có nghĩa là: E  X n 1 An   Xn Và  X n , An  gọi Martingale  Trò chơi xem thiệt hại trung bình có điều kiện vốn ván sau bé hay vốn ván trước Theo ngơn ngữ xác suất điều có nghĩa là: E  X n 1 An   Xn Và  X n , An  gọi Martingale (Supper Martingale) TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Q trình Martingale  Trị chơi xem có lợi trung bình có điều kiện vốn ván sau lớn hay vốn ván trước Theo ngôn ngữ xác suất điều có nghĩa là: E  X n 1 An   Xn Và  X n , An  gọi Martingale (Sub Martingale) Dĩ nhiên chơi, người chơi phải định chiến lược để chơi: Tiếp tục chơi, bỏ thêm vốn, không chơi Chẳng hạn V1 tiền đặt cược cho ván thứ nhất, rõ ràng V1 phải phụ thuộc vào thơng tin A0 Sau vào thông tin A1 thu sau ván thứ nhất, người chơi đặt cược V2 cho ván thứ hai,…căn vào thông tin An thu sau ván thứ n, người chơi đặt cược Vn 1 cho ván chơi thứ n  Theo ngôn ngữ xác suất điều có nghĩa là: Vn An  đo gọi  X n , An  1 dãy dự báo trước Vì mục đích người chơi dừng chơi Thời gian lần người chơi đạt mục đích định ngừng chơi gọi thời điểm dừng 1.1.1 Khái niệm tương thích dự báo Giả sử  , A, P  không gian xác suất, F  A   trường A X biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Ta nói X tương thích với F X F  đo được, tức X   B   F với tập Borel B  1 (để cho tiện, ký hiệu X  F X tương thích với F ) Ký hiệu   X  X   B  , B   trường Borel  , rõ ràng X tương thích với F   X   F TS Nguyễn Huy Hoàng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Quá trình Martingale Cho trước dãy ngẫu nhiên X  X n , n   Ký hiệu    X n , n      trường bé A chứa tất   trường   X n  , n   Ta gọi    X n , n      trường sinh từ X  X n , n   Đặt: X  n  n     X m , m n  , m, n   Xn  n     X m , m  n  , m, n   X n  n    X n  X  n  n     X m , m n  , m, n   X n  n     X m , m  n  , m, n   Cho dãy   trường  An , n   A Dãy gọi không giảm nếu: Am  An , m n, m, n   Chẳng hạn  n , n   họ không giảm Ta lưu ý n gồm biến cố quan sát tính đến thời điểm n Với ký hiệu trên, ta nói q trình ngẫu nhiên X  X n , An , n   dãy tương thích, X n  An với n   Ta nói V  Vn , An  1, n  , A A0  dãy dự báo Vn  An  với n   Rõ ràng dãy dự báo tương thích (vì Vn  An  mà An   An nên Vn  An ) Tất nhiên ta ln có: X  X n , n , n   dãy tương thích Người ta thường gọi n   trường tự nhiên dãy  X n , n   Nó gồm tất biến cố liên quan đến khứ (trước n) (tại n) dãy TS Nguyễn Huy Hoàng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Quá trình Martingale 1.1.2 Thời điểm Markov thời điểm dừng Ta gọi  , A, P  không gian xác suất đầy đủ A chứa tất tập có xác suất (Tập O gọi xác suất tồn A  A cho P  A  0 O  A ) Ký hiệu   0,1, 2, ,   0,1, 2,    ,           An , n   dãy   trường không gian A   trường bé chứa tất An , n   Giả sử  :    biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị  ) Ta nói  thời điểm Markov  An , n     :    n  An , n   Nếu thêm vào P      1  gọi thời điểm dừng Chú ý -  thời điểm markov   :    n  An , n   - Ký hiệu A lớp gồm tất tập A  cho: A  A , A    n   An 1.1.3 Martingale Giả sử  , A, P  không gian xác suất Dãy X  X n , An , n   gọi là: - Martingale (đối với An , n   ) nếu: (i)  X n , An , n   dãy tương thích TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Quá trình Martingale (ii) E X n  , n   (iii) Với m n, m, n   ta có: E  X n Am  X m , P  hầu chắn - Martingale (đối với An , n   ) điều kiện (i), (ii) thỏa mãn và: Với m n, m, n   ta có: E  X n Am  X m , P  hầu chắn (iii′) - Martingale (đối với An , n   ) điều kiện (i), (ii) thỏa mãn và: (iii′′) Với m n, m, n   ta có: E  X n Am  X m , P  hầu chắn 1.1.4 Các bất đẳng thức - Nếu  X n , An , n 0,1, , N Martingale dưới, với   ta có:   P  Min X   P  Max X  P Max X n  0n N 0n N    E X N1 Max X n  0n N     EX N n   EX  E X N1 Min X n    n  Max E X n 0n N 0n N   EX N  EX 0n N - Nếu  X n , An , n 0,1, , N Martingale trên, với   ta có:   P  Min X   P  Max X  P Max X n  0n N 0n N 0n N    EX  E X N1 Max X n    0n N n   E X N1 Min X n    n  Max E X n 0n N    EX  EX N  EX N 0n N - Nếu  X n , An , n 0,1, , N Martingale khơng âm, với   ta có: TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Quá trình Martingale  1.2 P Max X n    EX   P Sup X n    n N   EX N 0n N QUÁ TRÌNH MARTINGALE VỚI THỜI GIAN LIÊN TỤC Trong phần T dùng để ký hiệu khoảng đường thẳng, chẳng hạn T  0,   Việc chuyển số kết q trình ngẫu nhiên nói chung Martingale nói riêng từ trường hợp thời gian rời rạc lên trường hợp liên tục thường - Làm tương tự trường hợp rời rạc - Dùng kết có trường hợp rời rạc Tuy nhiên gặp phải nhiều khó khăn phức tạp nhiều vấn đề cần phải có điều kiện liên tục phải họ   trường, điều kiện liên tục phải q trình 1.2.1 Khái niệm tương thích dự báo Cho trước trình ngẫu nhiên X  X t , t  T với T tập  Ký hiệu    X t , t  T    trường bé A chứa tất   trường   X t  , t  T Ta gọi    X t , t  T    trường sinh từ X  X t , t  T Đặt: TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Q trình Martingale X  t  t     X s ,s t  , s, t  T Xt  t     X s ,s  t  , s, t  T X t  t    X t  X  t  t     X u , u t  , u, t  T X t  t     X u , u  t  , u, t  T - Cho họ   trường  At , t  T A Họ không giảm As  At ,s t, s, t  T Chẳng hạn  t , t  T họ không giảm Ta lưu ý t gồm biến cố quan sát tính đến thời điểm t - Cho họ   trường  At , t   0,    A , t   0,  Đặt:   At  Au , At    As  u t  s t    A0   A0 , A   At   0t    C    trường bé A chứa lớp tập C  A - Nếu  At  không giảm At   At  A t  ta nói họ   trường  At , t   0,    liên tục phải At At  với   t  T Rõ ràng At  , t   0,   liên tục phải Với ký hiệu trên, ta nói  X t , At , t  T q trình tương thích nếu: (i) At , t  T không giảm; (ii) X t  At với t  T ; TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Q trình Martingale - Ta nói  X t , At , t  T trình dự báo nếu: (i) At , t  T không giảm; (ii) X t  At  với t  T ; Rõ ràng X  X t , t , t  T q trình tương thích Ta thường gọi t , t  T   trường tự nhiên trình  X t , t  T Nó gồm tất biến cố liên quan đến khứ (trước t) (tại t) trình 1.2.2 Martingale Giả sử  , A, P  khơng gian xác suất Q trình X  X t , At , t  T gọi là: - Martingale (đối với At , t  T ) nếu: (i)  X t , At , t  T (ii) E X t  , t  T (iii) Với s t; s, t  T ta có: E  X t As  X s , P  hầu chắn trình tương thích - Martingale (đối với At , t  T ) điều kiện (i), (ii) thỏa mãn và: (iii′) Với s t; s, t  T ta có: E  X t As  X s , P  hầu chắn - Martingale (đối với At , t  T ) điều kiện (i), (ii) thỏa mãn và: (iii′′) Với s t; s, t  T ta có: E  X t As  X s , P  hầu chắn Chú ý - Từ định nghĩa kỳ vọng có điều kiện, ta có: TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM Các mơ hình ngẫu nhiên Quá trình Martingale Điều kiện (iii) tương đương với: X t dP  A XsdP, A  As XsdP, A  As A Điều kiện (iii′) tương đương với: X t dP  A A Điều kiện (iii′′) tương đương với: X t dP  A XsdP, A  As A - Trong định nghĩa điều kiện (ii) (tức điều kiện có kỳ vọng hữu hạn) thay điều kiện có kỳ vọng có điều kiện Các ví dụ Ví dụ Giả sử X biến ngẫu nhiên có E X   At , t  T họ   trường khơng giảm A Khi đó: X t E  X At  Martingale  At , t  T Ví dụ Q trình Wiener Martingale, có giá số độc lập kỳ vọng gia số Levy cho đặc trưng sau trình Wiener: Giả sử  Wt , At , t   0,    q trình tương thích cho: (i) Có quỹ đạo liên tục (với xác suất 1); (ii) Là Martingale với W0 0  E  X t  Xs  As TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM   t  s, st Các mơ hình ngẫu nhiên Q trình Martingale Khi  Wt  q trình Wiener Các tính chất Đối với trường hợp thời gian liên tục ta có kết tương tự trường hợp rời rạc (i) Nếu X  X t , At , t  T Martingale, hàm trung bình EX t khơng phụ thuộc t  T (ii) Nếu X  X t , At , t  T Martingale dưới, hàm trung bình EX t khơng giảm t  T Thật vậy, với s t ta có: EXs (iii)  E  EX t As   EX t p Nếu X  X t , At , t  T Martingale, hàm E X t ,1 p   không giảm t  T 1.2.3 Thời điểm dừng Cho  , A, P  không gian xác suất đầy đủ  At , t  T họ   trường không giảm A , At chứa tất tập có xác suất Định nghĩa - Giả sử  :    0,  biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị  ) Ta nói  thời điểm Markov (đối với  At , t  T ) nếu:   :    t  At , t T thêm vào P      1  gọi thời điểm dừng TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM 10 Các mơ hình ngẫu nhiên Q trình Martingale - Đặt A lớp tất tập A  cho: A  A A    t   At Như A gồm biến cố quan sát tính đến thời điểm  A   trường   trường A 1.2.4 Các bất đẳng thức Với số thực a, b cho    a  b   , ký hiệu rT  a, b  r  a, b,T  số lần mà trình  X t , t  T chuyển từ giá trị a tới giá trị b Khi r rT  a, b  gọi số lần cắt ngang từ lên đoạn  a, b  trình  X t , t  T Định lý - Giả sử X  X t , At , t T Martingale liên tục phải, đó, với   ta có:   P  Sup X t   0t T    P Inf X t   0t T    X T dP     Sup X t   0t T    EX  EX T+  X T dP   Inf X   t T t - Nếu X Martingale không âm với EX Tp  ,1  p   thì:   E  Sup X t  0t T  p p  p  p    EX T  1 p  - Nếu rT  a, b  số lần cắt ngang từ lên khoảng  a, b  Martingale X  X t , At , t T thì: TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM 11 Các mơ hình ngẫu nhiên Q trình Martingale ErT  a, b  E  XT  a   b a TS Nguyễn Huy Hồng Bộ mơn Tốn -Thống kê; UFM  EX T+  a  b a 12

Ngày đăng: 28/01/2024, 09:07

Xem thêm: