Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên 1 khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học. Một số sách tham khảo thường giải các bài toán dạng này bằng cách sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Định lý này hiện nay đã không còn được học trong chương trình THPT nữa. Do đó cách giải như vậy là không hợp lệ trong kì thi TSĐH. Dưới đây, mình trình bày một vài ví dụ về cách giải các bài toán dạng này
D NG TOÁN TÌM I U KI N C A THAM S mẠ Đ Ề Ệ Ủ Ố HÀM S N I U TRÊN M T KHO NGĐỂ ỐĐƠ Đ Ệ Ộ Ả Các b n thân m n! D ng toán tìm i u ki n c a tham sđ ề ệ ủ ố m hàm sđể ố f(x) ng bi n (ngh ch bi n) trên 1 đồ ế ị ế kho ngả là m t d ng bài th ng g p khi thi i h c. M t s sách tham kh o th ng gi i các bài toán d ng này b ng cách s d ng nh lý o v d u c a tam th c b c hai. nh lý này hi n nay ã không còn c h c trong ch ng trình THPT n a. Do ó cách gi i nh v y là không h p l trong kì thi TS H. D i ây, mình trình bày m t vài ví d v cách gi i các bài toán d ng này. I - Nh c l i lý thuy tắ ạ ế 1) Cho hàm s y=f(x) xác nh trên kho ng K; ∀x1,x2∈K;x1<x2 Khi ó: f(x) ng bi n trên K ⇔f(x1)<f(x2) f(x) ngh ch bi n bi n trên K ⇔f(x1)>f(x2) 2) M i liên h gi a tính ch t n i u c a hàm s và d u c a o hàm: f′(x)≥0,∀x∈K thì f(x) ng bi n trên K f′(x)≤0,∀x∈K thì f(x) ngh ch bi n trên K (D u “ =” ch x y ra t i m t s h u h n i m). II - Ví d :ụ Ví d 1ụ . Tim i u ki n c a tham s m ê ham sô f(x)=2x3+3x2+6mx–1 nghich biên trên (0;2). Giai TX : R Ta co f′(x)=6x2+6x+6m=6(x2+x+m). Δ=1–4m. *) V i m≥14 ta co Δ≤0 nên f′(x)≥0,∀x∈R. Do o ham sô luôn ông biên. Yêu câu cua bai toan không c thoa man. ! *) V i m<14 ta co Δ>0 nên ph ng trình f′(x)=0 co hai nghiêm x1,x2(x1<x2). Bang biên thiên cua ham sô f(x) T bang biên thiên, iêu kiên cân va u ê ham sô" f(x) nghich biên trên (0;2) la: x1≤0<2≤x2⇔{x1x2≤0(x1−2)(x2−2)≤0⇔{m≤0m≤−6⇔m≤−6 Kết luận: hm sô f(x) nghch biến trên (0;2) khi v ch khi m≤−6. !"#!!$"$ "!%&'(#!)!!*+!,#- ./Δ≤0-/"01!!234&!23!5!&- ./(Δ>0.'#&)&!6075!8 "!%&'!!2 5!9:;- Xin đưa thêm một sô ví dụ: Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham sô m đ' hm sô sau đ(ng biến trên kho*ng (−∞;1) f(x)=x2+m(m2−1)x−m3−1x−1 Giai TX : : R∖{1} Ta co: f′(x)=x2−2x+m+1(x−1)2,∀x≠1 dâu cua f′(x) phu thuôc dâu cua g(x)=x2–2x+m+1 Ta co: Δ′=−m. * Nêu m≥0 thi Δ′≤0 nên g(x)≥0,∀x⇒f′(x)≥0,∀x≠1. Khi o ham sô a cho ông biên ! trên t ng khoang xac inh. Do o cung ông biên trên" ! (−∞;1) * Nêu m<0 thi Δ′>0. Khi o ph ng trình f′(x)=0 co hai nghiêm phân biêt x1,x2(x1<1<x2). Ta co bang biên thiên cua f(x) D a vao bang biên thiên, ta thây trong tr ng h p nay, không co gia tri nao cua m thoa man yêu # ! câu bai toan. K t lu n: V i m≥0 thi ham sô f(x) ông biên trên (−∞;1). Ví d 3ụ . Tim i u ki n c a tham s m ê ham sô f(x)=x3–3mx2+3(2m–1)x ông biên trên (2;3). Giai TX : R Ta co f′(x)=3x2–6mx+6m–3; f′(x)=0⇔[x=1x=2m−1 * Nêu m=1 thi f′(x)≥0,∀x∈R. Vây ham sô luôn ông biên trên R. Do o ham sô cung ông biên trên ! (2;3). * Nêu m>1 thi ta co bang biên thiên cua f(x) D a vao bang biên thiên, ta thây trong tr ng h p nay, iêu kiên cân va u ê ham sô ông biên # trên (2;3) la: 1<2m–1≤2⇔1<m≤32 * Nêu m<1 thi ta co bang biên thiên cua f(x) D th y ham sô hiên nhiên ông biên trên$ (2;3) Kêt luân: i u ki n c n và ê ham sô a cho ông biên trên % ! (2;3) la: m≤32 III – Bài t pậ : M i các b n làm thêm m t s bài t p: 1) Bài t p 5 tr.8 (SGK GT 12NC), bài t p 8 tr. 44 (SGK GT 12CB), bài 1.81 tr.27 (SBT GT 12NC) 2) Tim m ê ham sô y=x3+(m–1)x2–(2m2+3m+2)x ông biên trên (2;+∞). 3) Tim m ê ham sô y=(m+1)x3+mx2–x ông biên trên (−∞;−1). 4) Tim m ê ham sô y=x2+x+1x−m ông biên trên (2;+∞). 5) ( H Hang Hai 2000-2001Đ ̀ ̉ ) Tim m ê ham sô y=−13x3+(m–1)x2–(m–3)x–4 ông biên trên (0;3). Đi8u Ki<n Đ= Hàm S Đ>n Đi<u Trên M$t Kho)ng Cho Trc 8 7 Votes Có hai phương pháp chính để giải các bài toán về tính đơn điệu trên khoảng cho trước. PP1: Rút theo , rồi dựa vào bài toán cụ thể để tìm . PP2: Lập bảng biến thiên để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận. Ví dụ 1. (A-2013) Tìm để hàm số nghịch biến trên . Lời giải. Ta có . Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi . Xét hàm số trên có . Bảng biến thiên: . Từ bảng biên thiên ta có . Vậy với , hàm số đã cho nghịch biến trên . Ví dụ 2. Tìm để hàm số đồng biến trên . Lời giải. Ta có: . Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . Xét hàm số trên có . Bảng biến thiên: . Từ bảng biến thiên suy ra . Vậy với , hàm số đã cho luôn đồng biến trên . Ví dụ 3. Tìm để hàm số đồng biến trên . Lời giải. Ta có: ; . Với , ta có hàm số luôn đồng biến trên Do đó hàm số đồng biến trên nên thỏa mãn điều kiện bài toán. Với , ta có . Bảng biến thiên: . Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên . Với , ta có (loại). Với , ta có (thỏa mãn). Vậy với hoặc , hàm số đã cho đồng biến trên . Ví dụ 4. Tìm để hàm số đồng biến trên . Lời giải. Tập xác định: . Ta có: . Hàm số đồng biến trên . Xét hàm số trên có . Bảng biến thiên: . Từ bảng biến thiên ta có . Vậy với , hàm số đã cho đồng biến trên . Ví dụ 5. Tìm để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Lời giải. Ta có: ; . Với hàm số luôn đồng biến trên , mâu thuẫn giả thiết. Do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với có hai nghiệm . Bảng biến thiên: . Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi (thỏa mãn). Vậy với , hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Nhận xét: Đối với các bài toán có bậc nhất và có khoảng đơn điệu cụ thể nên dùngPP1 còn các bài toán có bậc lớn hơn 1 và khoảng đơn điệu không cụ thể phải dùngPP2. . D NG TOÁN T M I U KI N C A THAM S m Đ Ề Ệ Ủ Ố H M S N I U TRÊN M T KHO NGĐỂ ỐĐƠ Đ Ệ Ộ Ả Các b n thân m n! D ng toán t m i u ki n c a tham sđ ề ệ ủ ố m h m sđể ố f(x) ng bi. "!%&'!!2 5!9:;- Xin đưa th m một sô ví dụ: Ví dụ 2. T m điều kiện của tham sô m đ' h m sô sau đ(ng biến trên kho*ng (−∞;1) f(x)=x2 +m( m2−1)x m3 −1x−1 Giai TX. ham sô y=x3+ (m 1)x2–( 2m2 + 3m+ 2)x ông biên trên (2;+∞). 3) Tim m ê ham sô y= (m+ 1)x3+mx2–x ông biên trên (−∞;−1). 4) Tim m ê ham sô y=x2+x+1x m ông biên trên