SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ - SI Lĩnh vực: Tốn Cấp học: Trung học sở Tên tác giả: Nguyễn Cao Cường Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh, Quận Đống Đa Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Năm học 2018 - 2019 MỤC LỤC Trang I Lý chọn đề tài II Nhiệm vụ, mục đích đề tài III Phạm vi đề tài IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Chương GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI Bất đẳng thức Cô-si 2 Những quy tắc chung Chương MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI Kỹ thuật 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Kỹ thuật 2: Kỹ thuật tách nghịch đảo Kỹ thuật 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật 4: Kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC .11 Kỹ thuật 5: Kỹ thuật nhân thêm số 12 Kỹ thuật 6: Kỹ thuật ghép đối xứng 15 Kỹ thuật 7: Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số 16 Kỹ thuật 8: Kỹ thuật đổi biến số .18 Kết luận khuyến nghị 20 Tài liệu tham khảo 1/20 I Lý chọn đề tài MỞ ĐẦU  Tốn học nói chung tốn học phổ thơng nói riêng giúp người học, người nghiên cứu có kiến thức, tư logic khả suy luận Đối với học sinh trung học sở, tốn học hình thành cho em kiến thức sở ban đầu, kiến thức toán học đại Qua học, vấn đề toán với cách thức suy luận giúp em hình thành tư tốn học Tốn học sơ cấp có lẽ mảng tốn học địi hỏi trí thơng minh, óc tư linh hoạt người học, bất đẳng thức (BĐT) vấn đề hay khó Từ lớp trung học sở, học sinh giới thiệu cách bất đẳng thức, phương pháp chứng minh bất đẳng thức Và hầu hết người học bất đẳng thức, biết bất đẳng thức kinh điển, tiếng: bất đẳng thức Cô-si Nhưng thực tế chung học sinh phổ thông việc vận dụng bất đẳng thức Cơ - si vào giải tốn gặp nhiều khó khăn Chính vậy, để giúp học sinh khắc phục phần khó khăn trên, viết đề tài " Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" II Nhiệm vụ, mục đích đề tài Đề tài " Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si"sẽ giới thiệu đến với học sinh bất đẳng thức Cô – si số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cơ-si Bên cạnh đó, đề tài sai lầm thường gặp học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô – si Đề tài viết theo cách thức lý thuyết kèm với ví dụ minh họa Bên cạnh việc cung cấp, tổng kết cách sử dụng bất đẳng thức Cô - si, đề tài cịn giới thiệu tốn minh họa, áp dụng kỹ thuật giới thiệu III Phạm vi đề tài 3/23 Với học sinh trung học sở, lớp em giới thiệu tiếp cận với bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cơ -si nói riêng Vì vậy, đề tài Một số kỹ " thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - si" hướng tới việc giúp cho học sinh lớp 8; lớp có kiến thức bất đẳng thức Cô-si số kỹ thuật sử dụng từ giúp cho em phát triển tư bất đẳng thức, đặt móng cho cấp độ lớn sau IV Đối tượng nghiên cứu phương pháp tiến hành Đề tài tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Cô-si Trên sở kiến thức dạng bất đẳng thức, tổng kết kỹ thuật thường dùng Phương pháp chủ yếu đề tài phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm thực tế giảng dạy 4/23 Chương GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC CƠ – SI Bất đẳng thức Cơ – Si (CAUCHY) 1.1.Dạng tổng quát (n số): x1, x2, x3 …… xn ≥ ta có:  Dạng x1  x2  xn n x x x 1:  n  Dạng 2: x1  x2  xn  n x  Dạng 3:  x  xn   n  n n x1 x2 xn n  x1 x2 xn    S n Dấu “ = ” xảy khi: x1  x2   xn Hệ 1: Nếu x1  x2  . xn  S  : const S x  x   xn  n Hệ 2: Nếu: x1x2 xn  P  const x1  x2   xn nP  1.2.Dạng cụ thể ( số, số ): n = 2:  x, y ≥ đó: xy 1.2.1 1.2.2  xy x  y  xy xy  1.2.3   xy  1.2.5     nn P MinS  x  x . x 2 n = 3:  x, y, z ≥ đó: xyz  xyz x  y  z  33 xyz xyz     xyz    x  y  : Max  P  x1x2 .xn     n  1.2.4 4xy : x y xy    x  y  z  27xyz 1.2.6  xy  x  y 2    z xyz x y  xyz  x  y  z 3 Bình luận:  Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN)  Dạng dạng đặt cạnh tầm thường lại giúp ta nhận dạng sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC thức Những quy tắc chung chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô – Si: Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu “ = ” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh khơng trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: khơng học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, toán tối ưu, toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trị biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Trên quy tắc giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh thực hiểu quy tắc qua ví dụ bình luận phần sau CHƯƠNG MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ - SI Kỹ thuật Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ” Đánh giá từ tổng sang tích a, b, c Bài 1: Chứng minh rằng:  a  b2 b2  c2  c2  a   8a 2b2c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng:  x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 ≥  x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a2  b2  2ab  a,b, (Sai)   a  b2 b2  c2  c2  a   b2  c2  2 c 2bc 8a b c c2  a2   2ca 2  2  Ví  24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 3  dụ: 5 4   Lời giải đúng: Sử dụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ x2 y = 2|xy| ta có: a2  b2  ab    2 b  c  bc     ca     a2 c a b2 b2  c2 c2  a2   8| a2b2c2|  8a2b2c2 a,b,c (Đú ng) Bình luận: Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều)  dương Cần ý rằng:x2 + y2≥ x2 y =2|xy|vì x, y khơng b Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơ Si tốn nói  biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cô Si mà phải qua phép Trong toán dấu “ ≥ ”  đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụn  Bài : Chứng minh rằng: a   b b)2 8  64ab(a   a,b ≥ Giải   a  b     a  b     64ab(a b)2 CôSi   a  b  ab   2  a  b ab      24.22.ab.a  b   Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab  a, b ≥ Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) 331.a.b 3.3 a.b.ab  9ab ≥ Bình luận:  = 3.3 gợi ý sử dụng Cô-si cho ba số, cặp Mỗi biến a, b xuất ba lần, sử dụng Cô Si cho ba số khử thức cho biến Bài 4: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2  a, b ≥ Giải: Ta có: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 33 33a3b3 = 9ab2 Cơsi Bình luận:  9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để áp dụng BĐT Cơ-si ta có b Khi có định hướng việc tách hệ số khơng có khó khăn a,b,c, d    Bài 5: CMR abc 81  1 1 : d     Cho: 1 a 1 b 1 c 1 d Giải Từ giả thiết suy ra:        1  1 1- b  c d  3 = 1 a  1 b   1 c         Vậy:   3 1 b 1 c 1 d 1 d  bcd 0 1 b1 c1 d  0 cda 1 c1 d 1 a 1 b  bcd 1 b1 c1 d  3 1 a       Côsi  dca 1 d 1 c1 a 3 0   1 c    abc 1 a1 b1 c 1 a1 b1 c1 d   81 abcd 1 a1 b1 c1 d