Trường THPT Tân Quới thaitungtq@gmail.com Chuyên đề ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0. 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ( ) ! ! kn n A k n − = , n≥k>0. 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: ( ) !! ! knk n C k n − = , n≥k≥0. 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton ( ) nn n nn n nn n n n n n n n n bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−−−− 11222222110  . Công thức số hạng tổng quát: kknk nk baCT − + = 1 , 0≤k≤n. B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2         + x x , (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2 =+++ −n nnn CCC  . ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x) 5 +x2(1+3x) 10 . ĐS: 3320 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 4 3 =M 5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1         + x x với x>0. ĐS: 35 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n − 3 là hệ số của x 3n − 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n − 3 =26n. ĐS: n=5 7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 2048242 210 =++++ n n n nnn CCCC  . ĐS: n=5 8. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11 =         + + + + ++ (n, k là các số nguyên dương, k≤n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 Trường THPT Tân Quới thaitungtq@gmail.com 9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n , biết: 3 n C n 0 −3 n − 1 C n 1 +3 n − 2 C n 2 −3 n − 3 C n 3 + … +(−1) n C n n =2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 10. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 11. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + +  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 1 23 11 + − ++ n nn 12. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A 1 A 2 …A n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n , tìm n. ĐS: n=8 13. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a 0 +a 1 x+ … +a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a 0 , a 1 ,…a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0 =+++ n n a a a  . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n . ĐS: a 8 =126720 14. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 1 2 2 12 2 5 2 3 2 1 2 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 n n n nnnn C n C n CCC + − =++++ −  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 15. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC  , (n nguyên dương và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 16. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho ( ) 20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n n n nnnn CnCCCC  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 17. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1−x)] 8 . ĐS: 238 18. (ĐH_Khối A 2003) Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP 2 Trường THPT Tân Quới thaitungtq@gmail.com Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 5 3 1 , biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n , (n nguyên dương, x>0, ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC         +                 ++                 +         =         + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222  (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n=7, x=4 −o0o− Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP 3 . hợp chập k của n phần tử: ( ) !! ! knk n C k n − = , n≥k≥0. 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton ( ) nn n nn n nn n n n n n n n n bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−−−− 11222222110  . Công thức. kknk nk baCT − + = 1 , 0≤k≤n. B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2         + x x , (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên. phần tử) ĐS: 4 3 =M 5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1         + x x với x>0. ĐS: 35 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên