Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tiểu luận đề tài: Tiểu sử Nhà Toán học Carl Friedrich Gauss Bài viết chi tiết, tận tâm, đầu tư nghiên cứu sâu, có sự hướng dẫn của các PGS TS. Đây là một bài báo cáo chi tiết về cuộc đời nhà toán học gauss . Xin trân trọng gửi đến bạn đọc những thước tài liệu chi tiết đầy đủ. Hãy cùng tham khảo, góp ý để bài viết hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn
1 LỜI CẢM ƠN Với kiến thức học từ mơn Lịch sử Tốn học thuộc khoa sư phạm Toán, em lựa chọn đề tài “Nhà toán học Carl Friedrich Gauss” đề tài thực tiểu luận Đây kết trình học tập, tiếp thu kiến thức trường, lớp tìm tịi, nghiên cứu riêng thân em dạy tận tình quý Thầy, Cơ thuộc tổ mơn Tốn nói chung Thầy PGS.TS Tạ Duy Phượng nói riêng người trực tiếp hướng dẫn em mơn học Với lịng kính trọng biết ơn sâu sắc, em xin cảm ơn Ban Giám hiệu, quý thầy, cô trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đưa mơn Lịch sử Tốn học vào giảng dạy, Thầy Cơ ln quan tâm, tận tình giúp đỡ tạo điều kiện cho chúng em suốt trình học tập Đây môn học hay em tích luỹ nhiều kiến thức bổ ích Đặc biệt, em gửi lời cảm ơn chân thành đến Giảng viên: Thầy PGS.TS Tạ Duy Phượng - người trực tiếp giảng dạy, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho em suốt học kì qua Cám ơn Thầy ln tận tình dẫn, đưa nhiều lời khun bổ ích, từ em có đính hướng, triển khai hồn thành tiểu luận cách tốt Mặc dù em dành tất tâm huyết thời gian, cố gắng với đầu tư định trình làm để hồn thiện tiểu luận chỉnh chu Tuy nhiên, kiến thức, lực em cịn nhiều hạn chế khơng có nhiều kinh nghiệm thực tiễn nên khó tránh khỏi thiếu sót làm Em kính mong Thầy lượng thứ, thông cảm cho em! Em xin chân thành cảm ơn Thầy! Sinh viên Minh Trần Nguyễn Bình Minh MỤC LỤC Nội dung STT Trang Lời cảm ơn 2 Mục lục 3 Đặt vấn đề 4 Phần I Cuộc đời nghiệp Gauss I Cuộc đời Gauss Đầu đời Gauss Quá trình trưởng thành Gauss Những năm cuối đời Gauss Cá tính Gauss Gia đình Gauss II Sự nghiệp Gauss Từ 1807 trước 5 10 11 13 Từ năm 1807 – năm 1855 III Các thành tựu Gauss Phần II: Áp dụng phương pháp Gauss vào giải dạng Toán 22 31 ĐẶT VẤN ĐỀ Tính cấp thiết vấn đề - Laplace, nhà toán học Pháp tiếng thời đó, nói rằng: "Nếu hỏi tơi nhà tốn học lớn Đức tơi nói Johann Friedrich Pfaff; cịn hỏi tơi nhà tốn học lớn châu Âu Carl Friedrich Gauss" - Nhà toán học người Anh Henry John Stephen Smith đánh giá Gauss sau: “Nếu loại trừ tên tuổi vĩ đại Newton, khơng có nhà toán học độ tuổi hay quốc gia vượt qua Gauss kết hợp khả sản sinh dồi phát kiến khắt khe tuyệt đối việc chứng minh, mà người Hy Lạp cổ đại ghen tị.” ➔ Xuất phát từ đồng ý giảng viên hướng dẫn, em thực đề tài: “Nhà toán học Carl Friedrich Gauss” Mục tiêu nghiên cứu Cuộc đời, nghiệp tầm ảnh hưởng Nhà tốn học Gauss đến Khoa học nói chung Tốn học giới nói riêng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nhà toán học Carl Friedrich Gauss 3.2 Phạm vi nghiên cứu Cuộc đời nhà toán học Carl Friedrich Gauss PHẦN I: CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CỦA GAUSS I Cuộc đời Gauss Đầu đời Gauss - Johann Carl Friedrich Gauss sinh ngày 30 tháng năm 1777 thành phố Braunschweig, bang Niedersachsen Đức ngày 23 tháng năm 1855 - Ông trai cặp vợ chồng thuộc tầng lớp lao động nghèo xã hội Đức, mẹ ơng chí cịn khơng biết chữ có kiến thức Vì khơng biết chữ, bà khơng thể ghi lại ngày sinh Gauss mà nhớ ông sinh vào tháng 4, trước lễ Thăng Thiên ngày sau lễ Phục Sinh 39 ngày - Khi nhỏ, nhờ vào liệu mà mẹ cho biết, Gauss sau giải câu đố ngày sinh dị tìm ngày diễn lễ Phục sinh, tìm thấy phương pháp để tính ngày từ năm trước năm sau Ơng rửa tội cử hành lễ kiên tín nhà thờ gần trường mà ông theo học cịn nhỏ Q trình trưởng thành Gauss - Johann Carl Friedrich Gauss có ảnh hưởng sâu sắc cho phát triển toán học khoa học, Gauss xếp ngang hàng Leonhard Euler Archimedes nhà toán học vĩ đại lịch sử - Ông người đời ca tụng “Hồng tử nhà tốn học”, danh hiệu khơng hồn tồn xuất phát từ đóng góp ơng cho tốn học mà cịn từ nhỏ, ơng vốn thần đồng có khả tính tốn người - Thiên tài Gauss thể từ lúc nhỏ Một vài giai thoại kể lại rằng, Carl Friedrich Gauss lên tuổi, ông phát lỗi sai bảng tính lương ba ơng sửa Ơng nói đùa rằng: “Tơi học tính trước học nói” Một hơm, ơng giáo trường làng bắt học trị làm phép tính cộng số từ 1,2,3,… đến 100 Trong bạn lớp loay hoay làm tính cộng giây đồng hồ, cậu bé Gauss có đáp số Thầy giáo ngạc nhiên, cậu bé Gauss giải thích + 100 = + 99 = + 98 = … =50 + 51 nên kết 50.101 = 50500, lúc Gauss tuổi - Năm 14 tuổi, Gauss nhận giúp đỡ tài từ Karl Wilhelm Ferdinand, cơng tước vùng Braunschweig Vì thế, từ năm 1792 đến 1794, ông theo học trường Collegium Carolinum, trường học dành cho học sinh có khiếu đặc biệt Trong năm học đây, Gauss đam mê số học cạnh giỏi cổ ngữ sinh ngữ Thời gian Gauss khám phá qui luật Bode (tỉ lệ gần khoảng cách đến mặt trời hành tinh Thái dương hệ) cách độc lập mở rộng định lý nhị thức cho số mũ hữu tỉ - Từ năm 1795 đến 1798 ông học Đại học Gottingen Đây khoảng thời gian mà tài ông bắt đầu người xung quanh ý đến, chưa dứt khoát chuyên ngành toán học hay ngữ văn Gauss khám phá số định lý toán học quan trọng cách độc lập Vào năm 1796, Carl Friedrich Gauss chưa đầy 19 tuổi, ơng có đột phá tốn học chứng minh đa giác với số cạnh số nguyên tố Fermat, đó, đa giác với số cạnh tích số nguyên tố Fermat khác lũy thừa Ông người phát cách dựng hình thất thập giác Đây hình đa giác có 17 cạnh, dựng thước kẻ compa Gauss vẽ trầm trồ người thầy, sau hồn tất, người thầy nói rằng: “Em có biết tốn trước chưa giải được, kể Archimedes hay Isaac Newton không? Bài tốn có niên đại 2000 năm, em giải đêm, em thật thiên tài!” Đây khám gây phá giật gân Do từ thời cổ đại thời điểm đó, chưa giải toán cách trọn vẹn Đây khám phá quan trọng ngành dựng hình, toán làm đau đầu nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại Khoảnh khắc đánh dấu cột mốc lớn huyền thoại toán học Gauss bất ngờ người thầy nói với mình, ơng sung sướng hạnh phúc Hình đa giác 17 cạnh tốn dựng hình trở thành cơng trình mà Gauss tâm đắc đời Gauss thích thú với kết ông yêu cầu khắc lên mộ sau hình thất thập giác Tuy nhiên người xây mộ từ chối, nói khó khăn kỹ thuật làm cho hình với số cạnh nhiều trơng giống hình trịn Về sau, Gauss chia sẻ nói lại “Nếu có nói với tơi tốn khó, có 2000 năm lịch sử chưa có giải được, có lẽ tơi bỏ khơng thể hồn thành đó” Câu nói học cho đời, có lẽ vấn đề mà đối mặt khó khăn nào, có lẽ thực tốt vạch nhiều thử thách buông xuôi - Năm 1796 có lẽ năm chứng kiến nhiều phát kiến Gauss nhất, chủ yếu cho ngành lý thuyết số Vào 30 tháng năm đó, ơng tìm thấy cách dựng hình thất thập giác Sau ơng tiếp tục nâng cấp phát triển số học module, khám phá giúp cho việc giải toán lý thuyết số đơn giản hóa nhiều thao tác Cơng thức nghịch đảo tồn phương ơng tìm thấy ngày tháng 4, ông trở thành người chứng minh thành công định luật tương hỗ bậc hai Định luật tổng quát cho phép nhà toán học xác định khả giải cho phương trình bậc hai số học mơ-đun Định lý số nguyên tố Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho cách hiểu thấu đáo cách sô nguyên tố phân bố dãy số nguyên Ngày 10 tháng 7, Gauss tìm thấy số nguyên dương biểu diễn dạng tổng nhiều ba số tam giác; ông sung sướng viết sổ tay "Heureka! num = Δ + Δ + Δ." Ngày tháng 10, ông cho xuất kết nghiệm đa thức với hệ số trường vô hạn, kết dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau - Năm 1798, Gauss trở Brunswick năm sau (1801) ông cho đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica - Ơng thích thú với phát mà ơng muốn khắc hình thất thập giác lên bia mộ Nhưng người điêu khắc từ chối u cầu khơng đủ kỹ thuật để làm Kỹ thuật khơng tốt khiến hình nhiều cạnh chẳng khác hình trịn Cũng nhờ nghiên cứu này, Carl Friedrich Gauss định chọn theo đuổi nghiệp tốn học thay triết học Ơng tập trung vào đường tốn học Năm 1799, ơng tốt nghiệp đại học Helmstedt - Gauss thích sống trầm lặng, bình thường khơng tham gia hội hè đình đám nhiều Gottingen, mà thích dạo vào thư viện trường đọc sách Thời tình hình trị bất ổn kinh tế suy sụp ngược lại, khoa học lúc phát triển mạnh Người ta mở rộng trường đại học, việc trao đổi thảo luận với nhà khoa học nước trở nên phổ biến, ngành thiên văn dư luận ý tới Gauss chăm sóc việc xây đài thiên văn ngoại thành Gưttingen từ năm 1816 trở ơng sống làm việc ln (chuyện có lợi vệ sinh, bùng nổ bệnh dịch tả, ông bảo "đài thiên văn nơi bảo đảm sức khỏe Gottingen) - Tuy suốt đời làm việc với khoa học, Gauss thích văn chương, đọc tác phẩm Jean Paul, nhà văn tiếng đương thời mà ông hâm mộ Gauss đọc học nhiều Ơng đọc thơng viết thạo thứ tiếng: La tinh, tiếng Pháp, tiếng Anh; đọc lưu loát nguyên nhà văn lớn Charles Dickens (Anh), Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) ), năm cuối đời ơng cịn học thêm thành thạo tiếng Nga Những năm cuối đời - Về già, Johann Carl Friedrich Gauss minh mẫn tỉnh táo, ông bị hội chứng suy tim ngủ, phải chống chọi với bệnh gout sống không hạnh phúc Tới tuổi 62, ông dành thời gian tự học tiếng Nga - Gauss Gottingen, Hannover (nay thuộc Hạ Saxony, Đức) năm 1855 chôn cất nghĩa trang Albanifriedhof - Sau Gauss mất, người bạn ông giáo sư sinh học Robert Heinrich Wagner chấp thuận bảo quản tìm hiểu, nghiên cứu óc thiên tài - nặng 1.492 gam có diện tích vỏ não rộng 219.588 xentimét vng Trên vỏ não tìm thấy nhiều nếp cuộn, đặc điểm nhiều người vào đầu kỷ 20 cho lời giải thích cho trí tuệ đặc biệt ông (Dunnington, 1927) Tuy nhiên, ngày môn não học cho giả khoa học - Đến óc Gauss cịn giữ ngun vẹn trường đại học Gottingen Bia mộ Gauss Cá tính - Johann Carl Friedrich Gauss người cuồng nhiệt theo chủ nghĩa hoàn hảo người lao động cần cù Có giai thoại kể lần, lúc Gauss giải toán, có người đến báo với ơng vợ ơng Ơng nói "Bảo đợi chút lúc tơi xong việc" - Ơng khơng phải người xuất nhiều tác phẩm khoa học, từ chối việc đăng cơng trình ơng chúng chưa ơng cho hồn hảo hay cịn nằm tranh luận Khẩu hiệu ông pauca sed matura (ít, chín chắn) Một nghiên cứu nhật lý ông cho thấy ông khám phá nhiều khái niệm toán học quan trọng nhiều năm nhiều thập kỷ trước chúng xuất đồng nghiệp đương thời Một nhà viết lịch sử toán học, Eric Temple Bell, ước đoán Gauss xuất hết cơng trình ơng, tốn học tiến nhanh 50 năm - Một phê bình khác Gauss ơng khơng hỗ trợ nhà tốn học trẻ tiếp bước ơng Ơng hợp tác với nhà toán học khác bị nhiều người cảm thấy tách biệt khắt khe Mặc dù ơng có số học trị, Gauss khơng thích dạy học (có người nói ơng dự hội thảo khoa học, Berlin năm 1828) Tuy nhiên, số học trị ơng sau trở thành nhà toán học lớn, Richard Dedekind Bernhard Riemann - Gauss người theo đạo bảo thủ Ơng ủng hộ hồng gia chống lại Napoleon Bonaparte người mà ông cho sản phẩm cách mạng Gia đình - Cuộc sống riêng Johann Carl Friedrich Gauss bị ảnh hưởng nghiêm trọng chết người vợ đầu, Johanna Osthoff (1809), đứa con, Louis lâu sau - Ông lập gia đình lần thứ hai với Friederica Wilhelmine Waldeck (thường gọi Minna), người bạn gái vợ cũ, Minna lại vào năm 1831 sau thời gian dài đau ốm Từ người gái Therese ơng phải chăm lo cho gia đình ông Mẹ Gauss sống mái nhà từ năm 1812 đến bà vào năm 1839 - Gauss có Với vợ thứ Johanna (1780-1809), Joseph(18061873),Wilhelmina(1808-1846)vàLouis(1809-1810);trong Wilhelmina coi có có trí tuệ giống cha cô lại sớm Với người vợ thứ hai, Minna Waldeck, ơng có ba con: Eugen (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) Therese (1816-1864) 10 II Sự nghiệp thành tựu Gauss Từ 1807 trước - Ơng nhà tốn học nhà khoa học người Đức tài năng, người có nhiều đóng góp lớn cho lĩnh vực khoa học, lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học quang học Ông khám phá số định lý toán học Nổi tiếng toán vẽ đa giác 17 cạnh thước kẻ compa - toán làm đau đầu nhà toán học 2.000 năm - Một năm sau trở Braunschweig, 1799, Ga trình luận án tiến sĩ đại học Helmstedt (thuộc Braunschweig), ơng đưa chứng minh cho Định lý đại số học (đa thức bậc n trường đại số đóng số phức chẳng hạn có n nghiệm đó) Bên cạnh nhiều chứng minh khác nhà tốn học đời sau, Gauß đưa thêm cách chứng minh khác (lần cuối vào dịp kỷ niệm 50 năm luận án ơng) Cũng nên nói thêm cơng trình Ga từ đưa số phức cách biểu diễn số phức (mặt phẳng Gauß) vào ứng dụng rộng rãi khoa học kỹ thuật - Được tiếp tục giúp đỡ tài cơng tước Karl Wilhelm mà Ga biết ơn gắn bó, ông lưu lại nghiên cứu toán học Braunschweig cách độc lập Thời gian Ga hồn thành Disquisitiones arithmeticae, cơng trình tốn học sâu rộng thời Trong ơng trình bày tất kết tìm cách có hệ thống cô đọng, chứng minh giải đáp vấn đề then chốt, lúc lại phác họa 20 III Một số thành tựu bật Carl Friedrich Gauss 3.1 Chứng minh đóng góp vào phát triển hình học phi Euclid Điều giúp nhà toán học loại bỏ giả thuyết tiền đề Euclid cách để xây dựng hình học khơng tự mâu thuẫn Từ nghiên cứu với ý tưởng nghiên cứu khác, thuyết tương đối rộng Albert Einstein đời, miêu tả vũ trụ hình học phi Euclid 3.2 Định lý phân bố số nguyên tố bình phương tối thiểu: Định lý phân bố số nguyên tố cho phép ước định phân bố số nguyên tố cách sử dụng logarit Mối liên hệ số nguyên tố logarit Carl Friedrich Gauss nghi ngờ vào lúc ông 15 tuổi Nhưng định lý lại xuất lần đầu Adrien-Marie Legendre năm 1805 Điều làm xảy tranh chấp phát chúng Phương pháp bình phương tối thiểu dùng đại đa số ngành khoa học nhằm giảm thiểu sai số đo 3.3 Sự giới thiệu hàm Elip: Vào năm 1796, Carl Friedrich Gauss ý đến độ dài vòng cung đường Lemniskate phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm thuộc đường cong đến điểm gốc Với hàm sin, ông đưa hàm elip lịch sử Nhưng ông chưa cơng bố ghi Nghiên cứu ơng liên quan tới việc nghiên cứu phương pháp hình học số học Sự phát triển thực tế lý thuyết hàm elip hàm ngược tích phân hàm elip thành công nhờ Niels Henrik Abel Carl Gustav Jacobi 3.4 Định lý đại số đóng góp vào cách sử dụng số phức Carl Friedrich Gauss sớm phát cách sử dụng số phức Trong luận án tiến sĩ ông vào năm 1799, ông chứng minh định lý đại số Ông phát biểu định lý sau: với phương trình đại số có bậc lớn có nghiệm thực nghiệm phức Điều nhiều nhà toán học giả thiết chưa chứng minh Trong đó, Carl Friedrich Gauss chứng minh định lý với cách chứng minh khác 3.5 Sự đóng góp vào lý thuyết Định lý Gauss (1835, xuất năm 1867) lý thuyết vật lý Theo wikipedia, định lý nói lên liên quan dịng chảy trường vectơ thơng qua mặt với hành vi trường vectơ bên mặt 21 Các tác phẩm tiếng Một số tác phẩm tiêu biểu Carl Friedrich Gauss kể đến như: • 1799: luận án tiến sĩ định lý đại số học với tiêu đề Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (“Bằng chứng định lý hàm đại số tích phân biến giải thành thừa số thực (nghĩa đa thức) bậc bậc hai”) • 1801: Disquisitiones Arithmeticae (dịch: Những nghiên cứu số học) viết tiếng Latin • 1809: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (dịch: Lý thuyết chuyển động thiên thể quỹ đạo mặt cắt hình nón xoay quanh mặt trời) • 1810: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis • 1823: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (dịch: Lý thuyết kết hợp quan sát có sai số nhỏ nhất) • 1828: Theoria residuorum biquadratorum (dịch: lý thuyết thặng dư trùng phương) • 1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoòungskrọfte ã 1843/44: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie Erste Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen Zweiter Band, pp 3–46 • 1846/47: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie Zweite Abhandlung, Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen Dritter Band, pp 3–44 • Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Verlag Harri Deutsch 2005, mit Anmerkungen von Neumamn (Bản dịch tiếng Anh với thích Jeremy Gray: Expositiones Math 1984) Biểu tượng kỷ niệm Carl Friedrich Gauss • Bức tượng Gauss Gaussberg, Braunschweig 22 • Tượng đài Gauss-Weber Gưttingen • Tượng Gauss làm thạch cao thuộc sở hữu viện thiên văn Gưttingen • Tượng bán thân Gauss đài tưởng niệm Walhalla • Tượng đài Gauss Berlin • Chân dung Gauss in mặt trước tờ tiền giấy 10 mark Đức với đường cong phân phối chuẩn nhà quan trọng Gưttingen 23 • • Ba tem bưu phát hành nhằm tơn vinh Gauss - Từ năm 1989 đến 2001, Đức in hình ơng phân bố Ga ơng tìm tờ tiền 10 mark • - Nhờ đóng góp thiên văn học, tên ơng đặt cho miệng hố Mặt trăng tiểu hành tinh 1001 Gaussia 24 25 26 27 • Bảng tưởng niệm đặt nhà số 30 Wilhelmstraße, Braunschweig – nơi mà ông sinh 28 • Các đóng góp quan trọng Gauss cho tốn học Carl Friedrich Gauss, nhà toán học vĩ đại lịch sử tốn học, có nhiều đóng góp quan trọng cho lĩnh vực Dưới số đóng góp quan trọng ông: Công thức tổng dãy số tự nhiên: Gauss đưa cơng thức tiếng để tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n: 1+2+3+ +n=2n(n+1) Đây công thức quan trọng toán học sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Lý thuyết số: Gauss có nhiều đóng góp quan trọng lĩnh vực lý thuyết số Ông làm việc với số nguyên tố đưa nhiều định lý cơng trình quan trọng lĩnh vực Định lý số nguyên tố đầu tiên: Gauss chứng minh có vô số số nguyên tố dãy số tự nhiên Điều định lý quan trọng có tầm quan trọng lớn lý thuyết số Đại số tuyến tính: Gauss đóng góp vào đại số tuyến tính xác định định lý quan trọng ma trận hệ phương trình tuyến tính Thiên văn học địa chất: Ngồi tốn học, Gauss nhà thiên văn học đưa cơng trình quan trọng việc xác định đường kính hành tinh thiên thể hệ mặt trời Ông làm việc với địa chất đưa nhiều đóng góp lĩnh vực Thiên thể Ceres: Gauss đóng góp quan trọng việc nghiên cứu thiên thể Ceres, hành tinh lùn hệ Mặt Trời Ông tính tốn đường Ceres giúp xác định vị trí khơng gian 29 Lý thuyết số: Lý thuyết số lĩnh vực quan trọng tốn học nghiên cứu tính chất số tự nhiên số nguyên tố Lý thuyết số tập trung vào vấn đề phân tích số, số nguyên tố, phân tích đồ thị vấn đề liên quan đến phép tính tốn học Carl Friedrich Gauss có nhiều đóng góp quan trọng lĩnh vực đưa nhiều định lý cơng trình lý thuyết số quan trọng Đại số tuyến tính: Đại số tuyến tính phần quan trọng tốn học nghiên cứu phép tốn tuyến tính hệ phương trình tuyến tính Carl Friedrich Gauss đóng góp vào lĩnh vực cách đưa định lý kỹ thuật tính tốn liên quan đến ma trận, vectơ, phép tốn tuyến tính khác Đại số tuyến tính có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học máy tính, kỹ thuật, kinh tế học Định lý Gauss-Markov: Định lý Gauss-Markov định lý quan trọng thống kê kinh tế học Định lý nói ước lượng tối ưu mơ hình hồi quy tuyến tính Nó phát triển độc lập Carl Friedrich Gauss Andrey Markov Định lý Gauss-Markov định mơ hình hồi quy tuyến tính, ước lượng tối ưu tham số hồi quy ước lượng tối ưu không thiên vị có phương sai nhỏ số ước lượng tuyến tính khơng thiên vị Định lý có ứng dụng quan trọng việc phân tích liệu dự đoán nhiều lĩnh vực kinh tế học khoa học xã hội 30 Phần II: Áp dụng phương pháp Gauss vào giải Toán A Đề bài: Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss Xét hệ n phương trình n ẩn Ax = b Abs = [𝐴 𝑏] Các phép biến đổi sơ cấp hang Abs + Nhân hàng với số k ≠ + Đổi chỗ hai hàng cho + Cộng bội k hàng vào hàng khác Cách giải Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng vào ma trận Abs , đưa dần ma trận A dạng tam giác Sau giải từ phương trình cuối dần lên Ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình phương pháp Gauss 𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 = −𝟑 { 𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟒 = 𝟕 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 = 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟒 = 𝟒 −3 −3 −1 Xét: Abs = (3 | ) 1 −2 −1 −3 −4 - L2 L3 L2 + (-3)L2 L3 + (-2)L1 −3 −3 −1 -→ (0 −1 10 | ) −6 13 16 −2 −1 −3 −4 −3 −3 −1 16 -→ (0 −6 13 | ) −1 10 −2 −1 −3 −4 L3 + (-6)L2 L4 + (-2)L2 -→ −3 −3 −3 −1 −3 −1 7 (0 −1 10 | ) -→ (0 −1 10 | ) 0 −47 −13 −26 0 −47 −13 −26 0 −21 −9 0 150 −18 300 Ta hệ sau: { 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 𝑥4 = −3 −𝑥2 + 10𝑥3 + 3𝑥4 = −47𝑥3 − 13𝑥4 = −26 1500𝑥4 = 300 Vậy nghiệm hệ (1, -1, 0, 2) 𝑥1 = {𝑥2 = −1 𝑥3 = 𝑥4 = 31 B Đề bài: Giải hệ Ax = b phương pháp Gauss – Seidel Cơ sở lý thuyết - Trong giải tích số, phương pháp Gauss – Seidel, phương pháp Liebmann sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính Nó đahtj tên theo nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss Philipp Ludwig von Seidel Phương pháp áp dụng cho ma trận không chứa phần tử không đường chéo, tính hội tụ xảy ma trận đường chéo trội ma trận đối xứng đồng thời xác định dương 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 ] A = [𝑎21 … 𝑎22 … … … … 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 =[ 𝑎𝑛𝑚 𝑎11 … … ] 𝑎22 … … … … … 𝑎𝑛𝑚 0 0 … −𝑎𝑛1 −𝑎𝑛2 - [−𝑎21 … … … 0] … … … 0 −𝑎12 … −𝑎1𝑛 … −𝑎2𝑛] … … … … 0 - […0 =D–L–U Với điều kiện giả sử A ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt tức detA ≠ a ii ≠ 0, ∀I = 1, 2, …, n Do aii ≠ 0, ∀I = 1, 2, …, n nên detD ≠ tồn D-1 tồn (D – L)-1 Khi ta có: Ax = b (D – L – U)x = b (D – L)x = Ux+b x = (D – L)-1 * Ux + (D – L)-1b Đặt Tg = (D – L)-1 * U cg = (D – L)-1 * b Khi thành lập cơng thức có dạng: x(m) = Tg x(m-1) +cg - Kiểm tra tính hội tụ: Nếu ‖Tg ‖ < nghiệm hệ hội tụ 𝑥̅ - Cơng thức đánh giá sai số: + Đánh giá sai số tiền nghiệm ‖𝑇‖𝑚 ‖𝑥 (𝑚) − 𝑥̅ ‖ ≤ − ‖𝑇‖ ‖𝑥 (1) − 𝑥 (0) ‖ + Đánh giá sai số hậu nghiệm 32 ‖𝑇‖ ‖𝑥 (𝑚) − 𝑥̅ ‖ ≤ − ‖𝑇‖ ‖𝑥 (𝑚) − 𝑥 (𝑚−1) ‖ Thực hành - Công cụ sử dụng: Matlab 2016a - Một số hàm dung: • Test case ST T N A b Số lần lặp [0; 0; 0; 0] Sai Yêu cầu Kết số [0.7; 0.4] 0.0 Tính số n nhỏ để ‖𝑥 (𝑚) − 𝑥 (𝑚−1) ‖ < 0.06 Tính x(3) X0 10, −1,2,0; 6,25; [ ] −1,11, −1,3; −11,15 [ ] 2, −1,10, −1; 0,3, −1,8 [2; 5] [9, −7; −3,7] [11,5; −3,11] [2; 4] [0.9; 0.2] [15,3; 6,13] [6; 2] [0.2; 0.2] Tính x(5) 0.0 Tính 07 số n nhỏ để ‖𝑥 (𝑚) − 𝑥 (𝑚−1) ‖ < 0.007 Một số đánh giá: Tích cực: - Code giải hầu hết vấn đề phương pháp Gauss – Seidel - Giao diện trình bày dễ sử dụng • 1.0001 2.0000 -1.0000 1.0000 n=5 0.0159 0.3680 n=3 33 - Độ xác cao Tiêu cực: - Việc nhập liệu dễ sai sót - Code chưa thật tối ưu Tính Ví dụ * Các tính chương trình: - Kiểm tra hội tụ nghiệm - Chọn vecto x(0) tuỳ ý - Tính vecto nghiệm x(n) - Đánh giá sai số tiền nghiệm hậu nghiệm theo chuẩn - Tìm số n nhỏ để x(n) có sai số nhỏ 𝜀 cho trước * Một số tính khác: - Kiểm tra ma trận nhập vào có phải ma trận đường chéo nghiệm ngặt hay không - Nếu nhập vào số lần lập lặp < chương trình yêu cầu nhập lại - Chương trình thiết kế tự nhập nhập dạng gọi hàm - Cho phép người dung nhập nhanh vecto x0 với: Nhập để chọn vecto để tạo vecto ngẫu nhiên Ví dụ 1: Giải hệ sau phương pháp lặp Gauss – Seidel 𝟏𝟎𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟔 −𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟒 = 𝟐𝟓 { 𝟐𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 = 𝟏𝟏 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟒 = 𝟏𝟓 Từ hệ ta có: 10 −1 A = [−1 11 −1 −11 −1 −1 ] 25 b=[ ] −11 15 0 X0 = [ ] 0 Để giải hệ này, ta nhập vào Matlab ô Comman Window Hoặc chạy chương trình (f5) nhập bước: N=4 A = [10,-1,2,0; -1,11,-1,3; 2,-1,10,-1; 0, 3,-1,8] b = [6;25;-11;15] x0 = (auto x0 = [0;0;0;0] 34 Số lần lặp: Ta kết quả: xn = 1.0001 2.0000 -1.0000 1.0000 PHẦN III: Kết Luận Qua viết MATHX tìm hiểu đời nghiệp Carl Friedrich Gauss, nhà toán học vĩ đại lịch sử tốn học Ơng để lại di sản vĩ đại ảnh hưởng sâu sắc nhiều lĩnh vực khoa học khác Cơng thức tính tổng dãy số tự nhiên ông, lý thuyết số, đại số tuyến tính nhiều đóng góp khác làm cho ơng tơn vinh "Hồng tử nhà tốn học." Tầm quan trọng Gauss khơng giới hạn lĩnh vực tốn học mà cịn lan rộng đến thiên văn học, địa chất, nhiều lĩnh vực khoa học khác Ơng đưa cơng trình quan trọng định lý có ảnh hưởng lớn lịch sử toán học khoa học tự nhiên Cuộc đời nghiệp Gauss ví dụ tài cống hiến cho lĩnh vực tốn học, ơng nguồn cảm hứng khơng ngừng cho hệ sau việc tìm hiểu phát triển kiến thức toán học khoa học tự nhiên