Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán về cực trị trong Hình học đâylà một trong những dạng toán khó trong chương trình toán phổ thông, hy vọng rằng sáng kiến này sẽ giúp các em giải quyết bớt những khó khắn khi gặp dạng toán này. Mời quý thầy cô và các em tham khảo sáng kiến “Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến”.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 1 I. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Tên đề tài: “Một số bài toán về cực trị trong hình học” 2. Lý do chọn đề tài: Một trong những công tác quan trọng trong nhà trường phổ thông là đào tạo và bồi dưỡng nhân tài. Để hoàn thành nhiệm vụ đó với cương vị là giáo viên giảng dạy bộ môn toán, tôi nhận thấy cần phải cải tiến phương pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học. Là giáo viên được phân công dạy và bồi dưỡng họ c sinh giỏi toán 9 nên tôi đã chọn viết chuyên đề: “Một số bài toán về cực trị trong hình học”. Đây là một trong những dạng toán khó trong chương trình toán phổ thông, hi vọng rằng tư liệu này sẽ giúp các em giải quyết bớt những khó khăn khi gặp dạng toán này. 3. Phạm vi, thời gian thực hiện Phạm vi: học sinh khá giỏi lớp 8 - 9 Thời gian: 10 tiết (trong đó có 2 tiết kiểm tra) II. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1. Khảo sát thực tế: Trước khi thực hiện đề tài này các em học sinh đã được trang bị những kiến thức cơ bản tương đối đầy đủ của chương trình bộ môn toán trong nhà trường phổ thông trung học cơ sở. Quá trình nhận thức của các em ở mức độ bình thường có thể hoàn thành các bài toán trong sách giáo khoa và có khả năng giải được một số bài toán có tính nâng cao. Mặc dù vậy khi đứng trước những bài toán khó thì việ c tìm ra đường lối giải nhiều khi vẫn gặp khó khăn và bế tắc. 2. Biện pháp thực hiện: Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ động viên của đồng nghiệp, thông qua một số tư liệu tham khảo tôi muốn điểm lại một số lý thuyết và giải quyết một số bài tập nhằm giúp các em tìm thấy sự bổ ích và đạt kết quả khi học chuyên đề này. Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 2 A B C D F E I 3. Nội dung chủ yếu của đề tài: A. KHÁI NIỆM: Toán cực trị hình học là một dạng các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, số đo chu vi….) trong tất cả các hình có chung một tính chất. Các bài toán cực trị trong hình học thường được trình bày theo 2 cách: Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh hình rằng mọi hình khác đều có giá trị (của đại lượng phải tìm cực trị) lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra. Cách 2: Thay điều kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một điều kiện mà ta xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị. Trong hai cách trên thì lời giải theo cách 2 có vẻ tự nhiên hơn vì nó mang tính chất tìm kiếm. B. CÁC BÀI TOÁN: Bài toán 1: Cho hình vẽ ABCD cạnh là a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E và F sao cho AE + EF + FA = 2a. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích ∆ CEF lớn nhất. Tìm giá trị đó. Giải: Kẻ aCBCI CBECIEEFCI ==⇒ Δ=Δ⇒⊥ Ta lại có: Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 3 22 ABCD CEF CDF CBE AEF CEF AEF CEF a1 a SSSSS2SSS EA.AF 22 2 =+++= +⇒ =− ≤ 2 CEF a Max S AE.AF 0 2 ⇒ =⇔ = => hoặc AE = 0 hoặc AF = 0 suy ra hoặc E trùng với A hoăc F trùng với A. Bài toán 2: Cho tam giác vuông cân ABC ( A ˆ = 90 o ), cạnh góc vuông là a. Gọi M là trung điểm của BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45 o , các cạnh của góc này cắt một hoặc hai cạnh của tam giác MEF là lớn nhất. Tính giá trị đó theo a. Giải: a) Xét trường hợp E, F cùng nằm trên một cạnh: = 45 o . Kẻ ABMP ⊥ , ACMQ ⊥ ta có tứ giác APMQ là hình vuông. Mặt khác: MF < MA; MQ < ME Trên đoạn MA lấy K sao cho MK = MF Trên ME lấy I sao cho MK = MQ Ta có: góc 0 KMI 45 EMQ FMQ=− = => ∆ KMI = ∆ FMQ (c.g.c) => S KMI = S FMQ 8 a S 4 1 SS 2 ABCMAQMEF ==<⇒ Tức là: 8 a S 2 MEF < b) Xét trường hợp E và F tương ứng nằm trên 2 cạnh AB và AC, áp dụng bài toán 1 ta có : S APMQ = 2S MEF + S AEF Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 4 => 2S MEF = S APMQ - S AEF => 8 a S 2 MEF < Vậy Max 8 a S 2 MEF < khi hoặc E ≡ A hoặc F ≡ A Bài toán 3: Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và có cùng diện tích hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất. Giải: Cách 1: (hình vẽ 1) Xét ∆EBC cân tại E và ∆ABC bất kỳ có cùng diện tích (E và A nằm cùng một phía đối với BC, A khác E), ta có AE // BC. Ta sẽ chứng minh rằng BE + EC < BA + AC Gọi D là điểm đối xứng với C qua E Ta có: BE + EC = DC (1) ∆BDC có DE = EC; AE // BC nên AE đi qua trung điểm của BD. Ta lại có: BD BC⊥ (vì tam giác BDC có đường trung tuyến BE bằng nửa CD) nên: AE BD⊥ => AE là đường trung trực của BD nên AB = AD. Do đó BA + AC = DA + AC (2) ∆ADC có DC < DA + AC (3) Từ (1) (2) (3) => BE + EC < BA + AC Vậy trong các ∆ABC có cùng diện tích, có cùng cạnh BC thì tam giác cân đáy BC có chu vi nhỏ nhất. Cách 2: (hình vẽ 2) Xét các ∆ABC có cạnh đáy BC không đổi và có cùng diện tích. Do chiều Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 5 cao ứng với BC không đổi nên A chuyển động trên đường thẳng d // BC Gọi D là điểm đối xứng với B qua d, ta có AB = AD Chu vi ∆ABC nhỏ nhất => AB + AC nhỏ nhất. Ta có: AB + AC = DA + AC ≥ DC (không đổi) AB + AC = DC ≥ D; A ; C thẳng hàng. Khi đó A ở vị trí giao điểm E của DC và d; ∆EBC cân tại E. Vậy trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích, tam giác cân với đáy BC có chu vi nhỏ nhất. Bài toán 4: Cho đường tròn (O;R) cố định. AC là một đường kính cố định. Đường kính BD thay đổi không trùng với AC. Xác định vị trí của BD để cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Tìm diện tích lớn nhất theo R. Chứng minh rằng lúc ABCD có diện tích lớn nhất thì chu vi của tứ giác ABCD cũng lớn nhất. Giải: Xét tứ giác ABCD có 0 90C ˆ B ˆ A ˆ === => tứ giác ABCD là hình chữ nhật 2 222 2 22 AB . RS ACBC BCABS ABCD ABCD ≤= + ≤ = Vậy Max S ABCD = 2R khi AB = BC <=> AC BD khi đó ABCD là hình vuông. Ta có chu vi (ABCD) = 2(AB + BC) 2R4AC22)BCAB(22 222 ==+≤ Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 6 Vậy Max chu vi (ABCD) = 2R4 Khi AB = BC tức là ABCD là hình vuông. Bài toán 5: Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đường thẳng đi qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất ? Cách 1: Qua M dựng đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại D. Dựng B đối xứng với O qua D; BM cắt Ox tại A. Ta sẽ chứng minh rằng ∆OAB có diện tích nhỏ nhất. Qua M vẽ đường thẳng bất kỳ (không trùng với AB) cắt Ox; Oy theo thứ tự ở A’; B’. Ta sẽ chứng minh rằng S OAB < S OA'B' Thật vậy có duy nhất một đường thẳng qua M cắt Ox; Oy ở A; B sao cho M là trung điểm của AB nên MA’ và MB’ không bằng nhau. Giả sử MA’ > MB’, trên tia MA’ ta lấy điểm E sao cho ME = MB’ => S MBB' = S MAE < S MAA' => S OAB < S OA'B' Cách 2: Vẽ MH // OA ; MK // OB thì S OHMK không đổi. Đặt S OHMK = S 3 ; S AKM =a; MB = b Ta có: S 3 = S - (S 1 + S 2 ) nên các tam giác AKM; MHB; AOB đồng dạng nên: 3 12 S SS 1 SS + =− Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 7 Các tam giác AKM; MHB; AOB đồng dạng nên: 2 1 Sa Sab ⎛⎞ = ⎜⎟ + ⎝⎠ và 2 2 Sb Sab ⎛⎞ = ⎜⎟ + ⎝⎠ ()() () 2 22 3 22 3 ab S ab 2ab S 12 SS2ab ab ab + + ⇒ =− = ⇒ =≥ ++ (áp dụng bất đẳng thức () 2 ab 4ab+≥; xảy ra đẳng thức và chỉ khi a = b) Vậy S ≥ S 3 , do đó diện tích AOB nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b; khi đó M là trung điểm của AB. Trên đây là vài ví dụ về giải bài toán cực trị trong hình học, qua các bài toán trên bắt đầu hình thành cho các em học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi khái niệm về toán cực trị hình học với phương pháp giải của nó. Đối với học sinh THCS có thể phân loại các dạng toán cực trị kình học thường gặp như sau: Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu. Đối với dạng này học sinh cần nhớ các kiến thức: Ta có AH d;A d;B d;C d;H d⊥∈∈∈∈. a) AB AH≥ Dấu “ = ” xảy ra ⇔ B ≡ H b) AB AC BH HC≤ ⇒ ≤ Bài toán 6: Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB; M là điểm trên nửa đường tròn. Xác định vị trí của M để: Diện tích tam giác MAB lớn nhất. Chu vi tam giác MAB lớn nhất. Giải: Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 8 Vẽ MAB MH AB;H AB MH.AB a) S MH R 2 ⊥∈ ==⋅ Ta có MH AB;O AB⊥∈, do đó: MH ≤ OM = R; nên S MAB ≤ R 2 (không đổi) Dấu “ = ” xảy ra <=> H ≡ O <=> M là trung điểm của cung AB. 0 AMB 90 (AMB= là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ∆MAB vuông tại M có MH AB MH AB MA MB⊥ ⇒ ⋅= ⋅ ∆MAB vuông tại M theo định lý Pitago ta có: MA 2 + MB 2 = AB 2 = 4R 2 Gọi P là chu vi của ∆MAB ta có : P MAB = MA + MB + AB trong đó AB không đổi (MA + MB) 2 = MA 2 + MB 2 + 2MA.MB Do đó P MAB lớn nhất <=> MA + MB lớn nhất <=> S MAB lớn nhất <=> M là điểm chính giữa của cung AB. * Qua bài toán trên có thể giúp ta giải được bài toán : Trong các tam giác vuông có chung cạnh huyền, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất và có chu vi lớn nhất. Bài toán 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến ã; By của nửa đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ batiếp xúc với (O) tại M cắt Ax tại D và cắt By tại E. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho: AD + BE đạt giá trị nhỏ nhất. OD.OE đạt giá trị lớn nhất. Giải: Vẽ DH By; H By⊥∈ Tứ giác ADHB có 0 ABH90=== => ADHB là hình chữ nhật Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 9 => DH = AB = 2R Ta có AD = MD; BE = ME (tính chất hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại một điểm) Do đó: AD + BE = MD + ME = DE mà DE ≥ DH (do DE By; E By⊥∈) Vậy AD + BE ≥ 2R (không đổi) Dấu “ = ” xảy ra <=> E ≡ H <=> DE//AB OM AB⇔⊥⇔ M là điểm chính giữa của cung AB. DA và DM là tiếp tuyến của (O) => OD là phân giác của AOM , tương tự OE là phân giác của MOB; MOA và MOB kề bù. Do đó EOD = 90 o ∆ODE vuông tại O; OM DE⊥ nên OD·OE = OM·DE OD·OE = R·DE OD·OE nhỏ nhất <=> DE nhỏ nhất <=> M là điểm chính giữa cung AB. Có rất nhiều bài toán cực trị hình học mà việc vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc các điểm rất quan trọng. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy việc học và hiểu kiến thức về bất đẳng thức trong tam giác, quy tắc các điểm đối với học sinh không gặp khó khăn nhiều, nhưng ở đ ây việc vận dụng kiến thức đó vào việc giải các bài toán, nhất là các bài toán về cực trị hình học thì rất khó khăn với học sinh. Để giúp các em làm tốt hơn vấn đề này, tôi đã giúp các em nhớ lại, củng cố lại các kiến thức lý thuyết ở phần này. Dạng 2: Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc về khoảng cách các điểm. Để có thể giải được dạng bài tập này các em học sinh cần phải nhớ được [...]... A * Trên đây là một số bài toán cực trị thường gặp Sau khi đã cho học sinh Nguyễn Thị Hương 14 Đề tài sang kiến kinh nghiệm làm quen hình thành được kiến thức về giải toán cực trị trong hình học, tôi tiếp tục cho học sinh rèn luyện những bài toán có yêu cầu cao hơn, nhất là các bài toán có kiến thức trọng tâm của lớp 8, lớp 9 Bài toán 15: Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác ABC... MC = MA + BD = 2MA… 2AI = 4R (do MA là dây cung (O)) => Max (MA + MB + MC) = 4R khi M ≡ I Nguyễn Thị Hương 12 Đề tài sang kiến kinh nghiệm Dạng 3 : Trong quá trình giải các bài toán về cực trị hình học ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bài toán 12: Cho hình vuông ABCD cố định E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D), đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K Tìm vị trí của điểm... SMDN = a 2 3 − 2 2 D CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định M là một điểm di động trên đường chéo AC Kẻ ME ⊥ AB; MF ⊥ BC Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD (đáy AD//BC), A = 90o M la một điểm di động trên cạnh AB Xác định vị trí của M để tam giác MCD có chu vi đạt giá trị bé nhất Bài 3 : Cho (O;R) và điểm... A2A3 + + An-1An Dấu “ = ” xảy ra A1; A2; ; An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó C CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài toán 8: Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, hai điểm M; N thuộc d và độ dài MN không đổi Xác định vị trí của hai điểm M; N để đường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ nhất Giải: Dựng hình bình hành MNBB’ ta có BB’ = MN = a (không đổi) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường... chung ngoài của (O’;R’) và ⎜ O; R'⎞ ⎟ 2 ⎠ Bài toán 19: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định Điểm A di động trên nửa đường tròn Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB Xác định vị trí của A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo R Giải: Dễ thấy tứ giác ADHE là hình chữ nhật (D = E = A = 900 ) SADHE... OB AB ⊥ OI tại M ( ) Vậy diện tích ∆OAB đạt giá trị nhỏ nhất là 3 + 2 2 r 2 khi A ∈ Ox; B ∈ Oy ; AB ⊥ OI tại M ∈ (I) Bài toán 23: Cho đoạn thẳng AB cố định, C là điểm chuyển động trên đoạn AB Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính AB, AC, CB Xác định vị trí của điểm C để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn nhất Giải: Đặt AB = 2a (không đổi) và AC =... kính AB => I là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB, vậy I cố định Khi M trùng với D thì HN dài nhất Bài toán 25: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC ( M, N ∈ BC;P ∈ AC;Q ∈ AB ) Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn nhất khi PQ đi qua trung điểm của đường cao AH Giải: Xét ∆ABC có PQ // BC ⇒ AQ QP (1) = AB BC Xét ∆BAH... luận: Khi BD là đường kính của (O) thì diện tích của tứ giác ABCD là lớn nhất * Ta đã biết: - Trong đường tròn (O), nếu AB và CD là hai dây cung ; H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB và CD thì ta có: OH ≥ OK AB ≤ CD AB ≤ CD ⇔ AOB ≤ COD Bài toán 14: Cho đường tròn (O;R) A là một điểm cố định trong đường tròn (A không trùng với O) Xác định vị trí điểm B trên đường tròng (O) sao cho... Dấu “ = ” xảy ra x = a C là trung điểm của AB 2 Bài toán 24: Cho ∆ABC vuông cân tại A có AB = AC = a Trung tuyến AD M di động trên đoạn AD N, P là hình chiếu của M trên AB, AC H là hình chiếu của N trên PD, biết NHB = 45o Xác định vị trí điểm M để ∆AHB có diện tích lớn nhất Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng HN luôn luôn đi qua một điểm cố định Suy ra vị trí của M để HN dài nhất Giải:... AC ⊥ OI và AC AB ⋅ BC + DA ⋅ CD qua O Bài toán 22: Cho góc xOy vuông góc ở O và đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (I;r) cắt các tia Ox và Oy ở A và B Xác định vị trí của đường thẳng d để: Độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất Diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất Chu vi tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất Giải: a) Đường tròn (I) tiếp . SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 1 I. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1 bài tập nhằm giúp các em tìm thấy sự bổ ích và đạt kết quả khi học chuyên đề này. Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 2 A B C D F E I 3. Nội dung chủ yếu của đề tài: A. KHÁI NIỆM:. CEF lớn nhất. Tìm giá trị đó. Giải: Kẻ aCBCI CBECIEEFCI ==⇒ Δ=Δ⇒⊥ Ta lại có: Đề tài sang kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Hương 3 22 ABCD CEF CDF CBE AEF CEF AEF CEF a1 a SSSSS2SSS EA.AF 22