3 BÀI GIẢNG TÓM TẮT MÔN TOÁN C2 (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) CHƯƠNG 5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ §1. MÔ HÌNH CÂN BẰNG TUYẾN TÍNH 1.1. Bài toán: Xét mô hình kinh tế thò trường với n loại hàng hóa với các đơn giá lần lượt là P 1 , P 2 , , P n có các hàm cung và hàm cầu là: Q Si = a i1 P 1 + a i2 P 2 + + a in P n + a i Q Di = b i1 P 1 + b i2 P 2 + + b in P n + b i (1≤ i ≤ n). Nhận xét rằng các hệ số a ij , a i , b ij , b i thỏa các điều kiện sau: • a ii > 0 và a ij ≤ 0 với mọi 1≤ i ≠ j ≤ n (vì Q Si là hàm tăng theo P i , không tăng theo P j với mọi i ≠ j). • b ii < 0 và b ij ≥ 0 với mọi 1≤ i ≠ j ≤ n (vì Q Di là hàm giảm theo P i , không giảm theo P j với mọi i ≠ j). Hãy xác đònh các đơn giá P 1 , P 2 , , P n tại điểm cân bằng thò trường. 1.2. Lời giải: Tại điểm cân bằng thò trường ta có: Q Si = Q Di với mọi 1≤ i ≠ j ≤ n Do đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau: 11 11 1 12 12 2 1n 1n n 1 1 21 21 1 22 22 2 2n 2n n 2 2 n1 n1 1 n2 n2 (a b )P (a b )P (a b )P b a (a b )P (a b )P (a b )P b a (a b )P (a b )P −+−++− =− −+−++− =− −+− 2nnnnnnn (1) (a b )P b a ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ++ − = − ⎩ Giải hệ (1) với điều kiện P i ≥ 0, Q Si ≥ 0 (1≤ i ≤ n) ta tìm được các đơn giá tại điểm cân bằng thò trường. 4 1.3. Ví dụ: Thò trường có 3 loại hàng hoá với hàm cung và hàm cầu lần lượt là: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+−−= −−+−= −−−= .1510 ;1013 ;4518 3213 3212 3211 PPPQ PPPQ PPPQ S S S và ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−= ++−= ++−= .21553 ;22072 ;13026 323 3212 211 PPQ PPPQ PPQ D D D Tìm các đơn giá tại điểm cân bằng thò trường. Giải tóm tắt: Áp dụng phương pháp trên, ta tìm được các đơn giá tại điểm cân bằng thò trường là (P 1 ,P 2 ,P 3 ) = (10, 15, 20). §2. MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT MỞ LETIONTIEF 2.1. Bài toán: Xét mô hình kinh tế gồm n ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là: 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a aa a A aa a ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ trong đó • n ij ij i1 a0;a1 = ≥≤ ∑ (*) • Với mỗi j, các hệ số a 1j, a 2j , , a nj lần lượt là trò giá của các lượng hàng hóa của các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n- nguyên liệu đầu vào - để sản xuất một lượng hàng hóa của ngành kinh tế thứ j trò giá 1 đv tiền tệ. Bên cạnh n kinh tế trên, tồn tại một ngành kinh tế mở mà lượng nhu cầu hàng hóa ứng với các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n lần lượt là d 1 , d 2 , , d n . Hỏi các ngành kinh tế trên cần sản xuất bao nhiêu lượng hành hóa để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở? 2.2. Lời giải: Gọi x 1 , x 2 , , x n lần lượt là trò giá các lượng hàng hóa của các ngành kinh tế thứ 1, 2, , n cần sản xuất. Điều kiện: x j ≥ 0 với mọi 1≤ j ≤ n Khi đó: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 5 • Lượng hàng hóa chi phí của ngành kinh tế thứ i phục vụ cho sản xuất là a ij x 1 + a i2 x 2 + +a in x n . • Lượng hàng hóa mà ngành kinh tế thứ i sản xuất được (sau khi đã trừ chi phí sản xuất) là x i – (a ij x 1 + a i2 x 2 + +a in x n ). Như vậy, để đảm bảo sản xuất và đáp ứng được nhu cầu của ngành kinh tế mở ta phải có hệ sau: 1111122 1nn 1 2211222 2nn 2 nn11n22 nnn n x(axax ax)d x(axax ax)d (1) x (a x a x a x ) d −+++ = ⎧ ⎪ −+++ = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ −+++ = ⎩ Ta có: 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 n1 1 n2 2 nn n n 11 12 1n 21 22 2n (1 a )x a x a x d ax (1 a)x ax d (1) ax ax (1a )x d 1a a a a1a a −−−−= ⎧ ⎪ −+− −− = ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ −− −+− = ⎩ −− − −− − ⇔ 11 22 n n1 n2 nn n n xd xd (I A)X D (2) aa 1axd ⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟ =⇔−= ⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟ −− − ⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠ trong đó • 1 2 n x x X x ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ : Ma trận sản lượng của n ngành kinh tế. • 1 2 n d d D d ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ : Ma trận nhu cầu của ngành kinh tế mở. Chú ý rằng với điều kiện (*), ma trận I n – A khả nghòch, nên từ (2) ta suy ra nghiệm của bài tóan là: 1 n X (I A) D − =− 2.3.Ví dụ: Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là 6 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1,03,02,0 3,02,04,0 2,03,01,0 A . a) Nêu ý nghóa kinh tế của hệ số a 13 = 0,2. b) Tìm nhu cầu của ngành kinh tế mở, biết sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (280, 450, 390). c) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu một lượng sản phẩm trò giá (118, 52, 96). Giải tóm tắt: Bằng phương pháp trên ta tìm được: a) a 13 = 0,2 là trò giá lượng hàng hoá của ngành 1 -một trong những nguyên liệu đầu vào - để sản xuất một lượng hàng hoá của ngành 3 trò giá 1 (đơn vò tiền tệ). b) Nhu cầu của ngành kinh tế mở là (39, 131, 160). c) Sản lượng của 3 ngành kinh tế trên là (300, 320, 280). Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com . và hàm cầu lần lượt là: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+−−= −−+−= −−−= . 151 0 ;1013 ; 451 8 3213 3212 3211 PPPQ PPPQ PPPQ S S S và ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−= ++−= ++−= .2 155 3 ;22072 ;13026 323 3212 211 PPQ PPPQ PPQ D D D Tìm. 3 BÀI GIẢNG TÓM TẮT MÔN TOÁN C2 (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) CHƯƠNG 5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ §1. MÔ HÌNH CÂN BẰNG TUYẾN TÍNH 1.1 của 3 ngành kinh tế trên là (280, 450 , 390). c) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu một lượng sản phẩm trò giá (118, 52 , 96). Giải tóm tắt: Bằng phương