HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ OXYZ …………………………………….* * * ……………………………………… KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1- Hệ trục tọa độ : z - Nếu : kzjyixOM ++= ; thì tọa độ điểm M là : M ( x;y;z) O x y - Trục ox là trục hoành ; trên đó có véc tơ )0;0;1(=i - Trục oy là trục tung ; trên đó có véc tơ )0;01;0(=j - Trục oz là trục cao ; trên đó có véc tơ )1;0;0(=k -Điểm O là gốc tọa độ ; O ( 0;0;0) 2- Các công thức tọa độ điểm và vécto a)Tọa độ điểm : * Điểm nằm trên các trục tọa độ -Nếu điểm M nằm trên trục hoành ox ; thì tọa độ M(x; 0;0) -Nếu điểm M nằm trên trục tung oy ; thì tọa độ M(0; y;0) -Nếu điểm M nằm trên trục cao oz ; thì tọa độ M(0; 0;z) * Điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ -Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxy) ; thì tọa độ M(x; y;0) -Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oyz) ; thì tọa độ M(0; y;z) -Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxz) ; thì tọa độ M(x; 0;z) b)Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng ; trong tâm của tam giác ; của tứ diện *Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB ; với );;( 111 zyxA và );;( 222 zyxB Thì tọa độ trung điểm M là :       +++ 2 ; 2 ; 2 212121 zzyyxx M * T ọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ; với );;( 111 zyxA ; );;( 222 zyxB ; );;( 333 zyxC . Thì tọa độ trọng tâm G       ++++++ 3 ; 3 ; 3 321321321 zzzyyyxxx G * T ọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD ; với );;( 111 zyxA ; );;( 222 zyxB ; );;( 333 zyxC ; );;( 444 zyxD Thì tọa độ trung điểm G là :       +++++++++ 4 ; 4 ; 4 432143214321 zzzzyyyyxxxx G c) Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng Cho hai điểm : );;( 111 zyxA và );;( 222 zyxB thì ta có : ( ) ( ) ( ) 2 12 2 12 2 12 zzyyxxAB −+−+−= Chú ý : dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính chu vi của một tam giác ; tứ giác ; khoảng cách từ một điểm đến một điểm b) Tọa độ vécto * Cho hai điểm );;( 111 zyxA và );;( 222 zyxB ; khi đó ta có công thức tính tọa độ của vecto AB là : ( ) 121212 ;; zzyyxxAB −−−= * Cho hai vecto: ( ) 321 ;; aaaa = và ( ) 321 ;; bbbb = ; khi dó ta có các công thức tính như sau : Ct1: (Tọa độ vecto tổng và vecto hiệu của các vecto ) ( ) 332211 ;; babababa +++=+ và ( ) 332211 ;; babababa −−−=− Ct2: (Tọa độ vecto tích một số thực với một vecto ) ( ) 321 ;; kakakaka = (với k là một số thực bất kỳ ) Ct3 : ( Tích vô hướng hai vecto) 332211 babababa ++= Ct4 : ( Hai vecto cùng phương ) 3 3 2 2 1 1 // b a b a b a bkaba ==⇔=⇔ Chú ý : Vận dụng hai vecto cùng phương để chứng minh : -Ba điểm thẳng hàng ( hay không thẳng hàng ; khi hai vecto không cùng phương ) -Hai đường thẳng song song Ct5 : ( Hai vecto vuông góc ) 0 0 332211 =++⇔=⇔⊥ bababababa Chú ý : Vận dụng hai vecto vuông góc để chứng minh : -Tam giác vuông -Hai đường thẳng vuông góc Ct6 : ( Hai vecto bằng nhau )      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba ( Hai vecto bằng nhau ) Chú ý : Vận dụng hai vecto bằng nhau để : -Tìm tọa độ điểm ; khi biết tứ giác đó là một hình bình hành Ct7: ( Tính góc của hai vecto) ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 . ;cos bbbaaa bababa ba ba ba ++++ ++ == 3) Tích có hướng hai vecto và áp dụng của nó : a) Khái niệm : Tích có hướng hai vecto là một vecto ; mà vuông góc với hai vecto đó . ký hiệu là : [ ] ba; b ) Công thức tọa độ của tích có hướng hai vecto : *Cho hai vecto: ( ) 321 ;; aaaa = và ( ) 321 ;; bbbb = ; khi dó ta có các công thức tính như sau : [ ] ba; ( ) 212113133232 21 21 13 13 32 32 ; ; ;; abbaabbaabba bb aa bb aa bb aa −−−=         = c) Áp dụng của tích có hướng hai vecto -Ad1: ( Tính diện tích của tam giác ABC ) [ ] ACABS ABC ; 2 1 = ∆ -Ad2 : ( Tính thể tích của tứ diện ABCD) [ ] ADACABV ABCD .; 6 1 = ∆ -Ad3: ( Chúng minh bốn điểm A; B ; C ; D đồng phẳng ) Chúng minh bốn điểm A; B ; C ; D đồng phẳng ⇔ [ ] 0.; =ADACAB *Chú ý : 1) Vận dụng công thức tính diện tích tam giác ta có thể tính độ dài đường cao của tam giác kẽ từ một đỉnh 2) Vận dụng công thức tính thể tích tứ diện ta có thể tính độ dài đường cao của tứ diện kẽ từ một đỉnh 3) Vận dụng chứng minh 4 điểm đồng phẳng ; ta chứng minh 4 điểm đó lập thành một tứ diện ( Nếu không đồng phẳng thì nó lập thành một tứ giác ) 3) Phương trình mặt cầu: a) Nếu mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) và bán kính R thì phương trình mặt cầu là : ( ) ( ) ( ) 2 222 Rczbyax =−+−+− ( 1) Chú ý : Để lập được phương trình mặt cầu ta phải tìm tọa độ tâm và tính bán kính sau đó thay vào phương trình ( 1) Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; trong các trường hợp sau : 1)Khi biết mặt cầu có tâm I và đi qua một điểm M thì bán kính là : R = IM 2)Khi mặt cầu nhận MN làm đường kính thì tọa độ tâm I là trung điểm của MN ; và bán kính R = MN 2 1 3) Khi biết mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ; thì bán kính là : R = khoảng cách từ tâm I đển mặt phẳng đó . Ta có : 222 CBA DCzByAx R III ++ +++ = b) Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) : 0222 222 =+−−−++ dczbyaxzyx ( 2 ) Trong đó : -Tọa độ tâm I ( a; b ; c ) -Bán kính R = dcba −++ 222 ( với : 0 222 >−++ dcba ) Chú ý : -Để lập được phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A; B ; C ; D cho trước ; ta thay tọa độ bốn điểm đó vào phương trình ( 2) ; rồi giải hệ phương trình tìm : a; b ; c; d . Từ đó ta viết được phương trình mặt cầu ( S ) -Từ phương trình ( 2) ta tìm được tọa độ tâm và tính bán kính Ví dụ : 1)Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; biết mặt cầu đi qua bốn điểm A ( 1; 0; 0 ) ; B ( 0; 1; 0 ) ; C ( 0;0;1) và O ( 0;0; 0 ) 2) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ( S ) : a) 0128 222 =++−++ yxzyx b) 0212816444 222 =−−+−++ zyxzyx 4) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Kiến thức 1 > Phương trình mặt phẳng : Dạng của phương trình mặt phẳng : -Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( trong đó : A; B ; C không đồng thời bằng 0) -Phương trình các mặt phẳng tọa độ : a) Phương trình mặt phẳng (Oxy ) là : z = 0 b) Phương trình mặt phẳng (Oyz ) là : x = 0 c) Phương trình mặt phẳng (Oz x) là : y= 0 Kiến thức 2 > Phương pháp viết phương trình mặt phẳng : *Phương pháp chung :Muốn viết phương trình của mặt phẳng ta phải tìm vecto pháp tuyến ( ) CBAn ;;= và một điểm ( ) 000 ;; zyxM mà mặt phẳng đi qua Khi đó phương trình mặt phẳng được viết : ( ) ( ) ( ) 0 000 =−+−+− zzCyyBxxA . Từ đó khai triển và rút gọn đưa về phương trình dạng trên -Cách tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng : Cách 1: Nếu thấy mặt phẳng đã có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì Vecto pháp tuyến chính là vecto chứa đoạn thẳng đó Cách này ở các bài tập : Bài 1:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB HDG: Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là AB Bước 2: Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được Bài 2: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng AB HDG: Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là AB Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được Bài 3: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình      += += += tazz tayy taxx 30 20 10 HDG: Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là vecto chỉ phương của Phương của đường thẳng ta có : ( ) 321 ;; aaan = Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua một điểm M và song song với mặt phẳng (Q ) : Ax + By + Cz + D = 0 HDG: Bước 1: Theo đề bài mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ); nên vécto Pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là : ( ) CBAn ;;;= Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M . Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được Cách 2 : Nếu mặt phẳng đi qua các điểm ( ) 0;0; 0 xA ; ( ) 0;;0 0 yB ; ( ) 0 ;0;0 zC ( Ba điểm này lần lượt nằm trên các trục tọa độ Ox ; Oy ; Oz) thì phương trình mặt phẳng có dạng : 1 000 =++ z z y y x x Cách 3: Ngoài các dạng bài tập đã nêu trên ; thì còn lại ta giải như Sau : Bước 1: Gọi n là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ; theo đề bài ta có : [ ] ban ;= ( vecto tích có hướng của hai vecto) Bước 2: Chọn một điểm mặt phẳng đi qua . Khi đó phương trình mặt phẳng thành Lập được Kiến thức 3 > Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’x+ B’ y + C’z + D’= 0 Bước 1 : Viết ra các Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng Bước 2: (lập luận ) -Để hai mặt phẳng cắt nhau ' ' ' C C B B A A ≠≠⇔ -Để hai mặt phẳng song song ' ' ' ' D D C C B B A A ≠==⇔ -Để hai mặt phẳng trùng nhau ' ' ' ' D D C C B B A A ===⇔ Chú ý : Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau 0'.'.'.0. )()()()( =++⇔=⇔⊥⇔ CCBBAAnnnn QPQP Kiến thức 4 > Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : Cho một điểm ( ) 0;00 ;; zyxM và một mặt phẳng (P): Ax +B y +Cz +D = 0 thì khoảng cách từ điểm ( ) 0;00 ;; zyxM đến mặt phẳng ( P) được tính bằng công thức : ( ) 222 000 )/( CBA DCzByAx PMd ++ +++ = CÁC DẠNG TOÁN ÁP DỤNG CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH DẠNG 1 Tính khoảng cách từ giữa hai mặt phẳng( P ) và ( Q ) song song : Ax +By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0 HDG Thực hiện theo các bước sau : Bước 1 ) Lấy một điểm M nằm trong mặt phẳng ( P ) Bước 2 ) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Q) DẠNG 2 Tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng ( P ) :Ax +By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’ x + B’ y +C’z + D’ = 0 HDG Thực hiện theo các bước sau : Bước 1 ) Gọi điểm cần tìm là M (x ; y ; z ) Bước 2 ) Theo đề bài ta có : ( ) ( ) 222222 ''' '''' )/()/( CBA DzCyBxA CBA DCzByAx QMdPMd ++ +++ = ++ +++ ⇔= B ướ c 3 ) Kh ử d ấ u giá tr ị tuy ệ t đố i ( theo công th ứ c :    −= = ⇔= BA BA BA )t ừ đ ó K ế t lu ậ n các đ i ể m M DẠNG 3 Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) Ax+By+Cz+D= 0 HDG: Th ự c hi ệ n theo các b ướ c : B ướ c 1) Theo đề bài m ặ t c ầ u tâm I và ti ế p xúc v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( P) ; nên bán kính c ủ a m ặ t c ầ u là : ( ) RPId = )/( B ướ c 2 ) V ậ y ph ươ ng trình m ặ t c ầ u là : ……… DẠNG 4 Viết phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng Ax+By+Cz+D= 0 và tiếp xúc với một mặt cầu ( S ) 0222 222 =+−−−++ dczbyaxzyx HDG: [...]... u; k = 1 6) Tìm tọa độ vecto c ; để sao cho : c + 2u = 3v + r BÀI 2 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm M ( 1;2 ;3) 1) Tìm tọa độ các hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ 2) Tìm tọa độ các điểm đối xứng của điểm M qua các trục tọa độ 3) Tính các khoảng cách từ điểm M đến các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ BÀI 3 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm... tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành đó 2) Tính góc giữa hai vecto: AC và BD 3) Tính diện tích của hình bình ABCD BÀI 4 > Trong không gian tọa độ Oxyz Tìm 1) Tọa độ điểm M thuộc trục Ox; sao cho M cách đều hai điểm A ( 1;2;-3) và B ( 0;2;-1) 2) Tọa độ điểm N thuộc trục Oy; sao cho tam giác NOC vuông tại O; với C(1;2;-3) BÀI 5 > Trong không gian tọa độ. .. diện và độ dài đường cao của tứ diện kẽ từ đỉnh A BÀI 7 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 5;3;-1) ; B (2;3;-4) ; C (1;2;0) ; D ( 3;1;-2) 1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ;D không đồng phẳng 2) Chúng minh các cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau 3) Chứng minh hình chóp D.ABC là hình chóp đều 4) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của hình chóp D.ABC 5) Tính thể tích hình chóp... thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm d M H N d’ PHẦN BÀI TẬP : I ) CÁC BÀI TẬP VỀ TỌA ĐỘ BÀI 1 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho : u = i − 2 j + 3k ; v = 2 j + 3k ; r = i − 2 j 1) Tìm tọa độ các vecto đó 2) Tính các tích vô hướng : u.v ; u.r ; r.v ( ) ( ) ( ) 3) Tính coossin của các góc : u; v ; u; r ; r; v 4) Tính tọa độ các vecto: a = 2u − 3v + r ; b = u − v + 2r ( ) ( ) ( ) 5) Chứng... tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 1;0;0) ; B ( 0;0;1) ; C (2;1;1) 1) Chứng minh rằng ba điểm A; B ; C là ba đỉnh của một tam giác 2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC 3) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẽ từ đỉnh A 4) Tính các góc của tam giác ABC 5) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và tính các khoảng cách từ G đến các đỉnh A; B ; C của tam giác ABC BÀI 6 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho... song song ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau: d d’ M H a) Ta tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ) Đườn b) Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đó chính là đường thẳng cần tìm -TH2:Nếu a.n = a1 A + a 2 B + a3 C ≠ 0 ; thi ( d ) cắt ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau : a)Tìm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ; b)Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông... của hệ phương trình (1) và phương trình của đường thẳng 8) BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐIỂM QUA ; MẶT PHẲNG ;ĐƯỜNG THẲNG • Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua mặt phẳng (P) Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P) Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( P) Ta có H là trung Điểm MN ; tử đó tìm tọa. .. phẳng ( P) Ta có H là trung Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N • Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua đường thẳng (d) Ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng (d) Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (d) Ta có H là trung Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N 9)CÁC CÔNG THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH: Ct 1: Khoảng cách giữa hai... thẳng trùng nhau -Hệ có vô nghiệm và hai vecto chỉ phương cùng phương ⇔ hai đường thẳng Song song -Hệ có vô nghiệm và hai vecto chỉ phương không cùng phương ⇔ hai đường thẳng chéo nhau Các hình vẽ tương ứng : b b a a a b a b (h - 1) (h - 2) (h - 3) (h - 4) 7) CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM a) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M ( x0 ; y0 ; z 0 ) trên các trục tọa độ -Trên trục hoành...  z = z + Ct 0  - Ta có H = (d ) ∩ ( P) Do đó tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình  x = x0 + At (1)  y = y + Bt (2)  0  ( giải hệ bằng phép thế)  z = z 0 + Ct (3)  Ax + By + Cz + D = 0(4)  d) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên đường thẳng  x = x0 + a1t   y = y0 + a2 t z = z + a t ) 3  HDG: -Gọi H (x; y ;z) là hình chiếu của M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên đường thẳng . HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ OXYZ …………………………………….* * * ……………………………………… KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1- Hệ trục tọa độ : z - Nếu : kzjyixOM ++= ; thì tọa độ. -Điểm O là gốc tọa độ ; O ( 0;0;0) 2- Các công thức tọa độ điểm và vécto a )Tọa độ điểm : * Điểm nằm trên các trục tọa độ -Nếu điểm M nằm trên trục hoành ox ; thì tọa độ M(x; 0;0) -Nếu. M H N d’ PHẦN BÀI TẬP : I ) CÁC BÀI TẬP VỀ TỌA ĐỘ BÀI 1 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho : kjiu 32 +−= ; kjv 32 += ; jir 2−= 1) Tìm tọa độ các vecto đó 2) Tính