Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 1 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 1 GIÁO VIÊN: NGUYỄN QUỐC TIẾN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 9/2011 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 2 CCHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 Tập hợp, ánh xạ 1.1.1 Tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học dùng để chỉ một tập thể các đối tượng ta đang quan tâm, chẳng hạn tập hợp bảy ngày trong tuần, tập hợp các số tự nhiên…, mỗi đối tượng đó gọi là một phần tử của tập hợp. Ta thường kí hiệu các tập hợp bằng các chữ cái A, B, C, X, Y , các phần tử thường kí hiệu x, y, z, a, b, … Nếu x là một phần tử của tập hợp A ta viết x A  đọc là x thuộc A, ngược lại ta viết x A  , đọc là x không thuộc A. Có hai cách mô tả tập hợp Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc Ví dụ   2,4, A x  , tập hợp A có 3 phần tử Mô tả tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp Ví dụ B={ n   /n chia hết cho 3} là tập hợp các số tự nhiên bội của 3 Ngoài ra người ta còn dùng giản đồ Venn để minh họa cho tập hợp, hình 1.1 mô tả phần tử x thuộc tập A Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là  Ví dụ   2 , 3 x R x      Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều thuộc B . Khi đó ta kí hiệu A B  và đọc là A con của B hoặc A chứa trong B. Nếu tập A không phải là tập con của B ta kí hiệu A B  Nếu A B  và B A  thì ta nói A và B bằng nhau kí hiệu là A B  . 1.1.2 Các phép toán trên tập hợp 1) Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu là A B  bao gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (mỗi phần tử được tính một lần) 2) Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu là A B  bao gồm các phần tử thuộc A và thuộc B (phần tử chung của A và B) 3) Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp kí hiệu là \ A B bao gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B . Khi B A  tập \ A B được gọi là phần bù của B trong A và kí hiệu là ( ) A C B . Hình 1.1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 3 Từ các định nghĩa trên ta suy ra các tính chất: ( ) , , \ , \ ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i A A A A A A A A A A A A ii A B B A A B B A iii A B C A B C A B C A B C iv A B C A B A C A B C A B A C                                             4) Cho A và B là hai tập hợp, tích Đề-các của A và B là một tập hợp kí hiệu là A B  , được xác định như sau:   ( , )/ , A B a b a A b B     Ví dụ Cho     1,2,3 , , A B a b   , khi đó   (1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ) A B a b a b a b   Tích Đề-các của một số hữu hạn tập hợp 1 2 , , n A A A đựơc định nghĩa như sau:   1 2 1 2 ( , , , )/ , 1, n n i i A A A a a a a A i n       1.1.3 Ánh xạ Cho hai tập hợp A và B khác rỗng. Một ánh xạ f từ A vào B là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x A  một phần tử duy nhất y B  mà ta kí hiệu ( ) y f x  . Anh xạ f từ A đến B được viết như sau: : ( ) f A B x y f x   hay ( ) f A B x f x   Phần tử y tương ứng với x qua ánh xạ f được gọi là ảnh của x qua f. A được gọi là tập nguồn của f , B được gọi là tập đích của f. Ví dụ Tương ứng giữa con người và số tuổi của người đó là một ánh xạ vì mỗi người có một số tuổi duy nhất. Tương ứng giữa mỗi phần tử x của tập A với chính nó là một ánh xạ, ánh xạ này gọi là ánh xạ đồng nhất. Cho , M A N B   . Tập   ( )/ f x x M  được gọi là ảnh của tập M qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (M). Đặc biệt ( ) f A được gọi là ảnh của ánh xạ f và được kí hiệu là Im f .Ta thấy rằng ( ) f A B  . Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 4   / ( ) x A f x N   được gọi là ảnh ngược của tập N qua ánh xạ f, kí hiệu 1 ( ) f N  . 1.1.4 Các loại ánh xạ. 1) Đơn ánh Cho ánh xạ : f A B  , f là được gọi là đơn ánh nếu: 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) x x A x x f x f x      2) Toàn ánh Cho ánh xạ : f A B  , f là được gọi là toàn ánh nếu: , y B x A     sao cho ( ) y f x  , điều này tương đương với Im f B  . 3) Song ánh Cho ánh xạ : f A B  , f là được gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh. Từ đây suy ra f là song ánh nếu , ! y B x A     sao cho ( ) y f x  . 1.1.5 Ánh xạ ngược, ánh xạ hợp 1) Ánh xạ ngược Cho : f A B  là song ánh, suy ra f toàn ánh và đơn ánh nên , ! y B x A     sao cho ( ) y f x  . Như vậy ta xây dựng được một ánh xạ từ B đến A xác định như sau: : , g B A y x   với x A  sao cho ( ) f x y  . Ánh xạ g gọi là ánh xạ ngược của f , ký hiệu 1 f  . Vậy 1 , ( ) ( ) y B f y x y f x       2) Ánh xạ hợp (Tích ánh xạ) Cho 2 ánh xạ : f A B  và : g B C  . Tích hai ánh xạ f và g kí hiệu 0 g f là một ánh xạ đi từ A vào C được xác định: 0 , ( ) [ ( )] x A g f x g f x    Ví dụ Cho 2 ánh xạ : f Z Q  với 2 1 ( ) 1 x f x x    và : g Q R  với ( ) 2 1 g x x   . Khi đó tích của 2 ánh xạ f và g là ánh xạ 0 : g f Z R  với 2 0 2 2 1 2 3 ( ) [ ( )] 2 ( ) 1 2 1 1 1 x x x g f x g f x f x x x                      1.2 Hàm số 1.2.1 Định nghĩa Cho tập , D R D    , một ánh xạ : f D R  gọi là một hàm số xác định trên D . Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 5 Hàm số : f D R  thường được viết ngắn gọn ( ) y f x  , x gọi là biến độc lập, y là hàm của biến số x. Tập D được gọi là miền xác định của hàm số f , tập hợp   ( ) ( )/ Y f D f x x D    được gọi là miền giá trị của hàm số f (x) Ví dụ ) ( ) 2 4 i y f x x    2 2 , 1 ) ( ) 2, 1 x ii y f x x x               ) iii Hàm số T = f (n) thống kê tiền lãi của một doanh nghiệp trong một tuần cho bởi bảng sau: n (ngày) 2 3 4 5 6 7 T (tr. đồng) 12,5 20 10 15 30 17 Tập hợp các điểm M(x, y) với ( ) y f x  trong mặt phẳng Oxy gọi là đồ thị của hàm số ( ) y f x  . 1.2.2 Các tính chất có thể có của hàm số 1) Tính đơn điệu Hàm số ( ) y f x  được gọi là tăng (hoặc giảm) trên miền D nếu 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) x x D x x f x f x      (hoặc 1 2 ( ) ( ) f x f x  ) 2) Hàm số bị chặn Cho f là một hàm số xác định trên tập D. Hàm f được gọi là bị chặn trên D nếu 0 : ( ) , M f x M x D      Hàm f được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trên D nếu : ( ) , M R f x M x D      ( hoặc : ( ), M R M f x x D      ) Ví dụ sin , cos y x y x   là các hàm số bị chặn trên R vì sin 1, cos 1, x x x R     3) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số ( ) y f x  được gọi là hàm số chẵn (lẻ) trên D nếu: x D   ta có x D   và   ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x      Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com . THÁNG 9/2 011 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 2 CCHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1. 1 Tập hợp, ánh xạ 1. 1 .1 Tập. Q  với 2 1 ( ) 1 x f x x    và : g Q R  với ( ) 2 1 g x x   . Khi đó tích của 2 ánh xạ f và g là ánh xạ 0 : g f Z R  với 2 0 2 2 1 2 3 ( ) [ ( )] 2 ( ) 1 2 1 1 1 x x x g f x.     1, 2,3 , , A B a b   , khi đó   (1, ), (1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ) A B a b a b a b   Tích Đề-các của một số hữu hạn tập hợp 1 2 , , n A A A đựơc định nghĩa như sau:   1 2 1 2