ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN LỚP 12 (Từ câu 26 đến câu 50) Câu 26 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  tích V Gọi G trọng tâm tam giác ABC  , M tâm mặt bên ABBA Tính thể tích khối tứ diện GMBC theo V 1 V V V V A B C D Lời giải  Ta có: VC BKA VC BMG  VC MGA  VC BGK 1 1 VC BKA VABC ABC   VABCA  VC .CKA  VB.BKA V  V  V  V  V 6  Khi đó: 1 VC MGA  d  C ;  AMG   S AMG  d  C ;  AMG   S ABK 3  Khi đó: 1 1 1  d  C ;  AMG   S ABK  VCABK  V  V 3 3 1 VC BGK  d  C ;  BGK   S BGK  d  C ;  BGK   S ABK 3 1 1 1  d  C ;  ABK   S ABK  VCABK  V  V 3 3 1 1 VC BMG VC BKA  VC MGA  VC BGK  V  V  V  V 9  Vậy ta có Câu 27 Cho hình trụ có hay đáy hai hình trịn (O) (O’), chiều cao 2a Gọi   mặt phẳng  qua trung điểm OO’ tạo với OO’ góc 30 Biết   cắt đường trịn đáy theo dây cung có độ 2a dài Tính theo a thể tích khối trụ cho A  a 2 a B 3 C 2 a D  2a Lời giải  Giả sử   cắt mặt phẳng chứa đường tròn (O’) theo giao tuyến đường thẳng MN hình vẽ,   IMN  ta có    Gọi H trung điểm MN ta có OH  MN (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Trong  OHI  kẻ OK  IH  K  IH  ta có:  MN  OH  MN   OHI   MN  OK   MN  OI OK  MN  OK   IMN   OK  IH  KI hình chiếu vng góc O’I lên (IMN)    OO;       OI ; IMN    OI ; KI  OKI 300 Theo ta có MN  2a a  HN  3 , OO 2a  OI a Xét tam giác vng O’HI có: OH OI tan 300  a 3 Áp dụng định lí Pytago tam giác vng O’HN có: 2 a 3 a 6 ON  OH  HN       a R     2 2 Vạy thể tích khối trụ V  R h  a 2a 2 a 2m x log  x  1 log   x  1    có hai m Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số để phương trình nghiệm phân biệt m    1;0  m    1;0  m    2;  m    1;    A B C D Lời giải Điều kiện: x   2m x log  x  1 log   x  1    (1) Ta có: Nhận thấy x 0 khơng nghiệm phương trình   x  m  log3  x  1 1  x  Pt (1) f  x  x  Đặt: 1  f '  x  1   0, x    1;    log  x  1  x 1 ln  log3  x 1  f  x  x  Suy m log  x  1 log  x  1 hàm số đồng biến f  x  x  Ta có BBT hàm số log  x  1 x    1;    x log  x  1 log   x  1  Dựa, vào BBT hình vẽ trên, để phương trình m    1;    2m   có nghiệm 15 x  2 f  3x   f    y  f  x ¡ \  0 ,  x Câu 29 Cho hàm số liên tục thỏa mãn f  x  dx k 3 Tính A 1 I f   dx  x I  45  k theo k B I 45  k C I Lời giải 45  k D I 45  2k x   t 1 x   t 3 dx  dt 2 Đổi cận Đặt t 2 x  I Khi f 2  2   dt= f 21 t  2   dx  x 15 x 5x  2  2 f  3x   f    f     f  3x  x x      Mà 3 3  5x 1  I     f  x   dx  x dx  f  x  dx   f  x  dx 21 41 31 31  Nên (*) x 1  u 3 dx  dx Đổi cận x 3  t 9 Đặt u 3x  I   Khi k 45  k f  t  dt     93 9 C : y x  x    m  x  m C Câu 30 Cho đồ thị  m  Khi m m0  m  cắt trục hoành ba điểm phân 2 biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  x2  x3 4 Khẳng định sau đúng? A m0    2;0  B m0   0;  C m0   1;  D m0   2;5  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm:  x 1 x  x    m  x  m 0   x  1  x  x  m  0    x  x  m 0  1 Giả sử x3 1 u cầu tốn tương đương với tìm m để   có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 2 thỏa mãn: x1  x2 3 Điều tương đương với     1   m 0   x1  x2   x2 x2 3 1  4m    m 1  m 0 12  2m 3  Vậy giá trị cần tìm m m 1 Câu 31 Cho hàm số bậc ba f  x  ax  bx  cx  d  a , b , c , d    có đồ thị hình vẽ sau đây: g  x  Đồ thị hàm số A x ( x  2) f  x   f  x  có đường tiệm cận đứng? B C D Lời giải  x 0 f  x   f  x  0   f  x   f  x  0 Điều kiện:  Xét phương trình:  x  f  x  0    x 2 Từ đồ thị  phương trình  f  x  0   f  x  2 x  không tiệm cận đứng đk x 0 x 2 nghiệm kép tử số có nghiệm x 2  x 2 đường tiệm cận đứng  x a  f  x  2   x 1  x b (b  2) Từ đồ thị  phương trình x a khơng tiệm cận đứng (vì x 0 ) x 1, x b hai đường tiệm cận đứng Vậy tổng số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Câu 32 g  x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho đồ thị hàm số y  x  3x  cắt đường thẳng d : y m  x  1 ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn: x13  x2  x33 2057 A 19 Số phần tử tập S B 36 C 18 D 37 Lời giải x  x  m2  x  1   x  1  x  x   m  0 Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d điểm phân biệt phương trình x  x   m 0 phải có        m 1 ( Luôn với m ) nghiệm phân biệt khác 2 Giả sử nghiệm x3 1 x1 , x2 nghiệm phương trình x  x   m 0  x1  x2 2  x x   m Theo định lí Vi – ét:  Ta có: x13  x23  x1  x2   x1 x2  x1  x2  8    m  1018 1018 1018 x13  x23  x33 2057     m   2057  m2   m  3 Nên:  18 m 18  m   Do m nguyên nên: Vậy có 37 giá trị nguyên 1 y  x  mx  mx  3m  Câu 33 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số nghịch biến đoạn có độ dài 3? A m  1; m 9 B m  C m 9 D m 1; m  Lời giải Tập xác định: D R Ta có y  x  mx  2m Ta không xét trường hợp y 0, x   a 1  Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài  y 0 có nghiệm x1 , x2 thỏa     m  8m  x1  x2 3    2 x  x   S  P      m  hay m    m  8m 9   m   m 9  Câu 34 Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB 136  24 A 144  24 B 128  24 C 48  7 D Lời giải Khi xoay quanh trục AB : Phần hình vng phía trở thành lăng trụ có bán kính R = , chiều cao h =  V1  16 Phần trở thành hình nón cụt với h HK  AK  AH 2  2  A  ; R 2 3 H R' R ' AH R     R'   R AK 3 3 Áp dụng  24  V   h R  R '2  RR '      h K C R 8     24  136  V V1  V2      Vậy g ( x)  f  f ( x)  Câu 35 Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Đặt , gọi T tập hợp tất nghiệm thực phương trình g ( x) 0 Số phần tử T A 10 B 14 C 12 Lời giải D Ta có: g ( x)  f  f ( x )  f ( x)  g ( x) 0     x a    3;     x 0  x b  (1; 2)  f ( x) 0 x 3   f  f ( x)  0 f ( x) a   f ( x) 0  f ( x) b   f ( x) 3 Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) ta có: + Phương trình f ( x ) a có nghiệm (khơng trùng với nghiệm x a; x 0; x b; x 3 ) + Phương trình f ( x ) 0 có nghiệm x  3; x 0; x 3 + Phương trình f ( x ) b có nghiệm không trùng với nghiệm + Phương trình f ( x ) 3 có nghiệm khơng trùng với nghiệm Vậy phương trình có 12 nghiệm Câu 36 Gọi M , N hai điểm thuộc đồ thị MN ? A 2 Tập xác định: B D  \   1 C : y  x x  biết xM    xN Tìm giá trị nhỏ đoạn C Lời giải D lim  y  lim  Vì x    1 x  x    1 x x   lim  y  lim    C  có tiệm cận đứng x    1 x    1 x  x 1 nên đồ thị  C Do xM    xN nên M , N hai điểm nằm hai nhánh đồ thị     x M  xM ;1    N  xN ;1  1  xM   xN   x 1 x   Ta có: ,  2 2   M   b  1;1   N  a  1;1   b,  a  Đặt a xN  , b   xM a  , b  y MN   a  b 2     4  2        a     2ab     b   a   ab   b   a b  Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho cặp số dương:   a  a  a  a  a 4  a  2 a 4 a  a  a a Dấu “=” xảy    b  b  b  b  b 4  b  2 b 4 b  b  b b Dấu “=” xảy    2ab  ab  ab 2 8  2ab  2 2ab 8  a, b  ab ab Dấu “=” xảy  Vậy MN    4 Tức Min MN 4 a b  P SCD  , Câu 37 Cho hình chóp S.ABCD Mặt phẳng   chứa đường thẳng AC vng góc với  cắt SD E Gọi V V1 thể tích khối chóp S.ABCD D.ACE , biết V 5V1 Tính cơsin góc tạo mặt bên mặt đáy hình chóp S.ABCD A B C 2 Lời giải D S E H A O B C M D OH  SM  OH   SCD    P   HAC  Lấy M trung điểm CD; O tâm đáy Hạ  E CH I SD VE ACD ED ED ED ED   VE ACD  VS ACD  VS ABCD   V SD SD 2SD 2SD S ACD Ta có: Đặt CD 2a; ED 2x  SD 5x  SD  AC Ta có :   SD   ACE   SD  CE  SD  OH 25x  a 2a  4a  4x 5x a  4a  25x  a   4a  4x  25x  x   SM 2a;OM a OM  cos   SCD  , ABCD   cos·SMO   SM  SM CD CE.SD  Câu 38 Cho hàm số trùng phương y  f ( x ) ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y x  x3  x  x  f  x    f  x   có tổng cộng tiệm cận đứng? A B C D Lời giải  f  x  1  f  x    f  x   0   f x     Ta có Phương trình Do f  x  1 có nghiệm x 0, x m, x n x 0 nghiệm kép m n f  x   ax  x  m   x  n  Phương trình f  x   có nghiệm kép x 2, x  2 Do f  x   a  x    x    f  x    f  x   a x  x  m   x  n   x   Vì  y Khi ta hàm số x  x  2  x  2 2 a x  x  2 2  x  m  x  n   x  2  x  2  a x  x  m   x  n   x  2 Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng Câu 39 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn A 33 B 15 x  f ( x) dx  x3  f ( x) f (1)   Giá trị f (3) C 21 D 39 Lời giải Đặt a  f ( x ) dx  f ( x)  x3  ax, F ( x )  x ax  C f (1) 1  a     a   a a  f ( x) dx   f ( x ) dx  0 a a   f ( x)dx    f ( x) dx f ( x)dx F (0)  F (2)  2F ( a ) 4  2a  a a2  3a  0   a 4(l )  a 2  f ( x)  x  x  Vậy f (3) 21 Câu 40 Cho phương trình khoảng  0;2022  a2 sin 2020 x  cos 2020 x 2  sin 2022 x  cos 2022 x  Tổng nghiệm phương trình 2  1287       A 643 B   1287       C  644  D   Lời giải Ta có sin 2020 x  cos 2020 x 2  sin 2022 x  cos 2022 x   sin 2020 x   2sin x   cos 2020 x   2cos x  0    x   k   cos x 0  cos x  sin 2020 x  cos 2020 x  0   2020    tan x 1  x   k  x   k  , k    4 x   0;2022  k   0;1;2; ;1286 Để    1287  1287      1286     2   Khi tổng nghiệm Câu 41 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , 6a SAB SCB 90o , biết khoảng cách từ A đến  MBC  21 Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) 10a A 5a B 8a C Lời giải 7a D S M H J I E A N C O D B o Vì SAB SCB 90  S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC   SH   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB BC   JND   JND    MBC  Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, nên NE   MBC  d N ;  MBC   NE Kẻ NE  JD , ta có Do  d  A,  MBC   Ta có d  N ,  MBC   AD AD    AD AD   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 Suy ra, 10a 5a 1 NE  , ND  AD    9 21 ND NJ , Xét JND có NE 10a 5a 10a NJ   OI  NJ   SH  3 nên Câu 42 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , AB a , AD a , tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm SA , G trọng tâm tam giác SCD , thể tích khối tứ diện DOGM 3a A 12 B 3a C Lời giải 3a 3a D 24  Gọi H trung điểm AD Do tam giác SAD nên SH  AD Do   SAD    ABCD   SH   ABCD  Gọi N trung điểm SC ; I MN  SO Ta thấy I trung điểm MN I trung điểm SO d  O;  DMN   d  S ;  DMN    VO DMG VS DMG Khi VS MID SM SI 1 VS NID SN SI 1    ;    V SA SO 2 V SC SO 2 S AOD S COD  Ta có 1 1 1 VS AOD VS COD  VS ADC  VS MND VS MID  VS NID    VS ADC  VS ABCD  4 Mà  Lại có S S ABCD  AB AD a 3; SH a Khi ta VS MND 3a a3   VS ABCD  SH S ABCD  2 a3  16 S MDG DG 2 a3 a3    VS MDG  VS MDN  VO.DMG  24 Vậy 24  Mặt khác S MDN DN Câu 43 Có cặp số nguyên A  x, y  thỏa mãn log B x y   x  y  Điều kiện x  y  xy  x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2 C Lời giải D log x y  x  x    y  y    xy x  y  xy  2  log  x  y   log  x  y  xy    x  y  xy  3x  y  log3  x  y    2log  x  y  xy    x  y  xy   x  y  log  x  y    x  y  2 log  x  y  xy    x  y  xy  Xét hàm đặc trưng Suy hàm f t Phương trình f  t  2log t  t , t   0;   , đồng biến khoảng ta có f  t     0, t   0;   t.ln  0;   f  x  y   f  x  y  xy    x  y  xy  3x  y  x   y  3 x  y  y  0 y  3   y  y   0  y Điều kiện để phương trình có nghiệm   y  y  0  3 32 y  3 y   ;1; 2 Do y   nên  x 1 x  x  0    x 2 + Với y 0 , ta  x 0 x  x 0    x 2 + Với y 1 , ta  x 0 x  x 0    x 1 + Với y 2 , ta Vậy có cặp số thỏa mãn đề y  f  x liên tục ¡ , có đồ thị hình vẽ cho hàm số x 1 y g  x   y g  x  f  x   f  x   x  3x  x  Biết tập xác định hàm số có dạng D ¡ \  a; b; c với a, b, c số thực Giá trị T a  b  c thuộc khoảng sau đây? Câu 44 Cho hàm số A   ;   B   2;  1 C   1;2  D  2;6  Lời giải Điều kiện f  x   f  x   x  x  x  0 f  x   f  x   x  3x  x  0  f  x   f  x   x  1   x  1 Ta có: Xét hàm số y h  t  t  3t ,  1 Ta có h t  3t   0, t Do  1  h  f  x   h  x  1  f  x   x  Suy hàm số y h  t  đồng biến ¡ y  f  x Đường thằng y  x  cắt đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x  3; x 1; x 3  x  f  x  x    x 1  x 3 Suy phương trình Do hàm số y g  x  có tập xác định D ¡ \   3;1;3 Vậy T a  b  c 1 Câu 45 Hai bạn A B bạn viết ngẫu nhiên số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác Xác suất để chữ số có mặt hai số bạn A B viết giống 31 A 2916 B 648 C 108 Lời giải 25 D 2916   2 n     A92 Mỗi bạn có 9.A9 cách viết nên số phần tử khơng gian mẫu Ta tìm cách viết mà chữ số chữ số có mặt hai số mà bạn A B viết giống Bạn A có tất 9.A9 cách viết, A9 cách viết mà số khơng gồm chữ số có  9.A  A93  cách viết mà số có chữ số 3 TH1: Nếu A viết số không gồm chữ số có A9 cách, lúc B có 3! cách viết   9.A92  A93 TH2: Nếu A viết số có chữ số có cách, lúc B có cách viết Vậy có A93 3!  A92  A93  cách viết thỏa mãn A 3!  A92  A93  2  9.A  Xác suất cần tính Câu 46 Có số nguyên log  x  3 log  ax  ? A 2020  25 2916 a    2021; 2021 B 2021 cho tồn số thực x thỏa mãn C 2022 D 2023 Lời giải x     ax   Điều kiện x    ax  x2  6x  log  x  3 log3  ax   log  x  3 log ax   x   ax  a  x g ( x)  Xét hàm số x2  6x  x2   g '( x )  x x  x 3 g '( x ) 0   x 0  x  Ta có bảng biến thiên sau: a 0  a 12  a  2021, ,  1,12 Từ bảng biến thiên ta suy  Vậy có 2022 giá trị a thỏa mãn Câu 47 Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A r 10 cm  B r 3 500 cm  C r 10 cm  D r 500 cm  Lời giải Gọi r  r  0 Khi bán kính đáy lon sữa V  r h  h  V  r2 Diện tích tồn phần lon sữa là: S  r  2 rh  2 r 2 r V 2V  2 r   2 r 2 r r Bài toán quy tìm GTNN hàm số: S '  r   S  r  2V  2 r  r   r 2V  4 r r2 S '  r  0  4 r  2V V 1000 500  r 3  r 3  r 2 2  Bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên suy S  r  S  r 2V  2 r  r   r đạt giá trị nhỏ r 3 500 cm  Câu 48 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x, y 0; z  T giá trị nhỏ biểu thức A log x  y 1 2 x  y 4x  y  Khi ( x  z  1) ( y  2)  3x  y x  z  tương ứng bằng: B C Lời giải Từ giả thiết ta có:  log log x  y 1 x  y 1 2 x  y   log 2 x  y 1 4x  y  4x  y  2x  y  2x  y  2 x  y   log (4 x  y  3)  (2 x  y  2) 4x  y  4x  y  D  log (2 x  y  2)  (2 x  y  2) log (4 x  y  3)  (4 x  y  3)  f (2 x  y  2)  f (4 x  y  3)  x  y  4 x  y   y 2 x   0;  ) ( Do hàm f (t ) log t  t đồng biến Thay vào biểu thức T ta được: T ( x  z  1) ( y  2) ( x  z  1) (2 x  3)    3x  y x  2z  x 1 x  2z  Áp dụng bất đẳng thức: T Đặt ( x  z  1) (2 x  3) ( x  z   x  3) (3 x  z  4) (3x  z  4)      x 1 x  z  x 1  x  z  x  z  3x  z   (t  2)  4   t 3x  z   T     t       t    4 t 2 t t      y 2 x    x  z 0 t 2 3 x  z      y 1  x  z 1 2x    x  x  2z   Dấu "=" xảy khi: T 4 Suy giá trị nhỏ biểu thức T  O   O Xét hình chữ nhật ABCD có hai điểm có hai đáy hai hình trịn A, B thuộc đường tròn  O  hai điểm C , D thuộc đường tròn  O cho AB a 3, BC 2a đồng thời mặt phẳng  ABCD  tạo với mặt đáy hình trụ góc 600 Thể tích  T  khối trụ Câu 49 Cho khối trụ  a3 3 A T  B  a  a3 C Lời giải D 2 a  O Dễ thấy ABBA hình chữ nhật Gọi A, B hình chiếu vng góc A, B lên đường trịn AB  AB, AB  AB Vì ABCD hình chữ nhật nên AB CD, AB CD  O nên hình chữ nhật Suy DCBA hình bình hành, nội tiếp đường trịn  ABCD  nên ta có: Mặt khác BC  hình chiếu vng góc BC CD  BC   CD  BC   ABCD  ,  ABCD    BC; BC  BCB 60  BB 2a sin 600 a h; BC 2a cos 60 a  DB  DC  CB2 2a  r a Vậy V  hr  a Câu 50 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 ( SBC ) phẳng , khoảng cách SA BC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải Dựng hình bình hành ABCD Gọi O hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) Dựng đường thẳng d qua O , vng góc với BC cắt BC , AD H , M Khi AD, BC ^ ( SHM ) Trong D SHM , dựng HK ^ SM ( K Ỵ SM ) MN ^ SH ( N Ỵ SH ) Ta có MN ^ SH MN ^ BC nên MN ^ ( SBC )