PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHÂU THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ Năm học 2011-2012 - Mơn thi: TỐN Thời gian : 150 phút (không kể phát đề) Đề thức Câu (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có chữ số xy , biết hai chữ số đơn vị 2 xxyy xx  yy b) Biết a – b = Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1) Câu (4 điểm) a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab+bc+ca+ ( a  b ) (b  c ) ( c  a )   12 2011 b) Với x >0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= 4x2 – 3x + + 2011 4x Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: x 1 –  x  my 3m b) Cho hệ phương trình:  x 3 3x  =  mx  y m  Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 – 3x + y > Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O có cạnh BC cố định điểm A thay đổi (O) Các đường cao BD, CE tam giác cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H nằm đường tròn b) Tia AO kéo dài cắt (O) F Chứng minh A thay đổi (O) đường thẳng HF ln qua điểm cố định c) Giả sử AB>AC Chứng minh AB2 + CE2 > AC2 + BD2 d) Đường phân giác góc A cắt BC K (O) L Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn AK với AO Chứng minh (I, IA) tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với BC K Câu (2 điểm) Cần dùng bìa hình trịn có bán kính để phủ kín tam giác có cạnh 3, với giả thiết không cắt bìa? - HẾT - PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHÂU THÀNH HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp THCS Năm học 2011-2012 Đề thức Câu (4 đ) Nội dung 2 a) Điều kiện x, y 9 x, y nguyên Ta có xxyy xx  yy   1100x+11y=(11x)2+(11y)2  11(100x + y) = 112(x2 +y2)  99x+(x+y) = 11(x2+y2)  (x+y) 11  x+y=11 (vì x+y 18) Kết hợp với giả thiết x–y=5 y–x=5 Từ (x;y) (3; 8), (8; 3) Thử lại có (x;y) = (8; 3) thỏa mãn Vậy số cần tìm 83 b) a2(a+1)–b2(b–1)+ab–3ab(a–b+1)= a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 2 2 Điểm 2.0 2.0 = (a –3a b +3ab – b ) + (a –2ab +b ) = (a–b) +(a–b) = +(a–b) (a–b+1) = 72(7+1) = 392 (4 đ) (4 đ) ( a  b ) (b  c ) ( c  a )    12 2011 ( a  b ) (b  c ) ( c  a )  a2+b2+c2–ab–bc–ca    12 2011 (b  c) 2(c  a )  2(a2+b2+c2–ab–bc–ca)  ( a  b)   2011 (b  c) 2(c  a )  (a–b)2+(b–c)2+(c–a)2  ( a  b)   2011 2 5(b  c) 2009(c  a )  0, với a, b, c (đpcm)  2011 1 b) M= 4( x  )  x   2010  x  2010 = 2011 4x 4x Khi x= , ta có M= 2011 Vậy giá trị nhỏ M 2011 a) a2+b2+c2 ab+bc+ca+ a) ĐKXĐ 4x+  0, 3x –  Suy x  Từ x+3> Nhận xét thấy (4x+1)–(x– 2)= x+ nên nhân hai vế phương trình (1) với biểu thức liên hợp với vế trái (biểu thức ln dương) xuất nhân tử chung x+ Ta có : x 3 ( x  + 3x  )  (x+ 3)( x 1 + x  –5) = (2) x  + x  = (do x+ > 0) (1)  x+3 =  Giải cách bình phương hai vế ta được: 4x+1+3x–2+2 (4 x  1)(3 x  2) =25  7x–1+2 (4 x  1)(3 x  2) =25  (4 x  1)(3 x  2) = 26–7x  x2–344x+684 =  x2– 4– 344x+688 =  (x–2)(x–342)=  x= x= 342 23  1=1 (đúng, nhận x=2) Thử lại:- Với x= 2, ta 3– 2= 345  5=69 (sai, loại x=342) - Với x= 342, ta 37– 32= Vậy phương trình (1) có nghiệm x= 2.0 2.0 2.0 b) Dùng phương pháp ta tính x=m; y=2 2.0 m  Do đó: m2 – 3m + >0    m 1 (6 đ) a) Vì AEH ADH 900 nên điểm A, E, H nằm đường trịn đường kính AH điểm A, D, H nằm đường trịn đường kính AH bốn điểm A, E, D, H nằm đường trịn đường kính AH b) Vì AF đường kính (O) nên ABF 900 Hay BF  BA Mà CH  BA nên BF//CH Tương tự CF//BH Suy tứ giác BHCF hình bình hành Vậy HF qua trung điểm BC (là điểm cố định), ta có đpcm c) Ta có AB2 + CE2 > AC2 + BD2  AB2 – BD2 >AC2– CE2  AD2 > AE2 (định lý Pytago)  AD > AE (đúng, ABD ACE (g-g) nên AD AB  >1), ta có đpcm AE AC d) Vì A, I, O thẳng hàng nên (I, IA) tiếp xúc với (O) A    Ta có OIK (góc ngồi tổng hai góc không kề) 2OAK FOL  AL phân giác góc Suy IK//OL Mà OL  AB (L trung điểm BC A) nên IK  BC Vậy (I, IA) tiếp xúc với BC K (2 đ) Giả sử  ABC tam giác có cạnh Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng song song với cạnh Tam giác ABC chia thành tam giác có cạnh Gọi I, J, K điểm cạnh BC, CA, AB cho BI=CJ=AK=1 Ba đường trịn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K phủ kín tam giác ABC (mỗi hình trịn phủ kín ba tam giác nhỏ) Như dùng ba bìa phủ kín tam giác ABC Số bìa phải dùng 3, ngược lại có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình trịn bán kính Điều khơng thể xảy cạnh tam giác ABC bẳng - HẾT - 1,5 1,5 1,5 1,5 2.0