Phòng GD-ĐT Nghĩa đàn Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2011-2012 Môn : Toán Đề thức (Thời gian làm bài: 150 phút không kể giao đề ) Bµi 1: Cho P  x x  x  12  2( x  3)  x  x x x 2 3 x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị nhá nhÊt cña P Chøng tá r»ng x0     nghiệm phơng trình: x3 3x  17  Bµi : ( ý cđa thí sinh bảng B làm ) Giải phơng trình sau: a) Giải phơng trình : x    x 3x 12 x 14 b) Giải phơng tr×nh : x2 + 2x + 15 = x  Cho a > 0, b > a + b 1 Tìm GTNN biểu thức A = a  b  2011  0 1  a2 b2 Tìm số tự nhiên n để n + 21 n 18 hai số phơng Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x xy  y x y Bµi 3: Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - ( m tham số) a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định với giá trị m b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị bng Bài : Cho đờng tròn ( O,R) đờng kính AB Qua điểm C thuộc đờng tròn kẻ tiếp tuyến d đờng tròn Gọi I, K lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ A B đến đờng thẳng d Gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh: a) CI = CK b) CH2 = AI BK c) AB tiếp tuyến đờng tròn đờng kính IK Bài 5: (Bài thí sinh bảng B lµm ) Cho (O,R) hai điểm A,B cố định nằm ngồi đường trịn cho OA = R Tìm điểm M đường trịn cho tổng MA+ MB t GTNN? Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn Kú thi chän häc sinh giái Hun líp THCS Năm học 2011 - 2012 hớng dẫn biểu điểm Chấm BảNG A (Hớng dẫn biểu điểm chấm gồm 05 trang) Môn: toán Lớp Câu -Néi dung Bài 1 a- ĐKXĐ: x 0, x Víi x 0, x 9 ta cã: P  x  x 3 x x x 2  x x  x  12  x  12 x  18  x  x   x 2  x  x x  x  12 x  36  x         x 2 x  12   x  3   x  3   x    x  3 x 2 x x 5  x x  x  12   x 2  x  x   12  x 2   x  2    x x   x   x  12  x  x  12 x 2 Víi x 0, x 9 ta cã: x  12 16 16 P  x  2  x 2 4 x 2 x x B áp dụng bất dẳng thức Cosy cho số không âm x 16 x 16 Dấu đẳng thức xảy x = x Vậy Giá trÞ nhá nhÊt cđa P 4  x 4 cã: x   16 2 x 2  x 2   x 2  42  x 4 (TM) 2) Ta cã:  x03  94  9  18  3 (9  5)(9  5) x0  x03  x0  18 0  x03  x0  17 1 2011 Suy ra:  x03  3x0  17   12011  Do x= x0 nghiệm phơng trình Bài 1a a- x   x 3 x  12 x  14 (1) 16 ta x 2 x 2 ĐKXĐ: áp dụng bất đẳng thøc Bunhiacopxki, ta cã: VT= x    x  2(2 x    x) 2 DÊu “=” x¶y x  =  2x  x= Ta l¹i cã: VP = 3x  12 x  14 3( x  2)2  2 Dấu = xảy x = Do VT = VP  x = ( TM§KX§) vËy S  2 1b ĐK: x  Ta có : x2+2x+15 = x   (x2-2x+1) +(4x+5 -2.3 x   ) =0  (x-1)2 +   x   0  x  1 0  x=1 (TM)   x   0   Vậy phương trình có nghiệm x=1    15  1   b      Ta có A =  a   16a   16b  16  a b   1 1 1  , b2   ,    Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a  2 2 a ab 2ab 16a 16b b 1 Mặt khác ta có:   2 a b a b 1  1  16   16  4 Từ suy ra:    4 2  2ab  b   a b a  b  2ab  a  b  a 1 suy ra:  8 a b 2 Vậy: A    15 17  2 Dấu “=” xảy khi: Do MinP = a b  a b   a  b 1 17  a b 2 Để n + 21 n 18 hai số phơng n 21  p vµ n  18 q ( p, q  N ) p  q (n  21)  (n  18) 39  ( p  q )( p  q) 39 V× 39 = 39 = 13 vµ p – q < p + q ; p +q >0 nªn  p  q 1  p  q 3  p 20  p 8  Hc  Hc    p  q 39  p  q 13 q 19  q 5  p 20  p 8  n = 379 (TM) ; Víi   n = 43(TM) Víi   q 19  q 5 VËy víi n = 379 hc n = 43 n +21 n 18 hai sè chÝnh ph¬ng Ta cã: x  xy  y  x y  x  xy  y  x y 0   x  y   (2 xy  1)    x  y  xy  1  x  y  xy  1    x 0    x  y  xy     y 0    x 1  x  y  xy  1      x  y  xy  1   y      x  y  xy     x y phơng trình có nghiƯm lµ (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) Bµi a Giả sử đường thẳng (d) qua điểm cố định M(x0 ;y0) với m : y0  m   x0  2m  m  x0 m  x0  2m   y0 0m  ( x0  2)m  (2 x0  y0  1) 0m  x0  0   2 x0  y0  0  x0    y0 3 Vậyđường thẳng d qua điểm cố định M(-2 ;3) B y B H O x A d * Nếu m = (d) : y = khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến (d) * Nếu m 2 : Gọi A B thứ tự giao điểm đường thẳng (d) với trục hồnh trục tung Ta tính OA  2m  ; OB  2m  m Gọi OH khoảng cách từ O đến AB, ta có : 1 (m  2) ( m  2) 1      OH OA2 OB  2m  1  2m  1  2m  1  OH   2m  1 2 (m  2)    2m  1 4( m  2)  (do OH 2) 19  m 12 Vậy OH =2 m = 19 12 Bµi VÏ hình xác (0,5đ) `` K d C I A a H O B Nèi OC V× d tiếp tuyến (O) C nên OC vuông gãc víi d Ta cã: AI// BK ( v× cïng vuông góc với d) => ABKI hình thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( v× cïng vu«ng gãc víi d) => CI = CK ( T/c ®êng trung b×nh cđa h×nh thang)   v× CAI (OAC c©n)  ACO ( So le trong, AI//CO), ACO CAO    CAI CAO  IAC HAC ( Cạnh huyền - góc nhọn) => AI = AH Tơng tự: BK = BH Do ABC nội tiếp đờng tròn đờng kính AB nên ABC vuông C => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hƯ thøc lỵng tam giác vuông) Ta có: IAC HAC CI CH CK b IK ) Mà CH AB H IK => AB lµ tiÕp tun cđa (C , )  H  (C , Bµi 5 B M N O C A Gọi C giao điểm đoạn thẳng OA với (O,R) Trên đoạn OC lấy điểm N cho Suy  OC  ON OC OM OA    suy MOA ~ NOM (c.g.c) ON ON OM MA   MA  MN MN  MA  MB  MN  MB   MN  MB   NB (không đổi) Dấu “=” xảy M thuộc đoạn NB Vậy M giao điểm đoạn NB với đường tròn(O,R) Lu ý : - Tổng điểm tối đa 20 điểm - Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa - Câu hình không vẽ hình vẽ sai hình không chấm điểm