KÌ THI CHỌN HSG TỐN LỚP VỊNG Năm học: 2011-2012 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu 1: (2,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A x  y  3( x  y )  2011 Biết rằng: x 3  2  3  2 ; y 3 17  12  17  12 b) Rút gọn biểu thức: 1 1   + + 2 2 3 2012 2011  2011 2012 Câu 2: (2 điểm) S a) Giải phương trình: x  x  3 x  b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  3x   y Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c số hữu tỉ khác thoả mãn: 1 1    a b c abc Chứng minh rằng: P  (1  a )(1  b )(1  c ) số hữu tỉ b) Cho a, b, c > thoả mãn: a  b  c  abc 1 Chứng minh biểu thức: B  a (1  b)(1  c )  b(1  c)(1  a )  c(1  a)(1  b)  abc  2011 số Câu 4: (2,5 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Đường tròn tâm O’ bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC P phần kéo dài cạnh AB, AC tương ứng điểm M, N BC  CA  AB BP = CD b) Trên đường thẳng MN ta lấy điểm I K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh rằng: BICE hình bình hành c) Gọi (S) đường trịn qua điểm I, K, P Chứng minh rằng: (S) tiếp xúc với đường thẳng BC, BI, CK Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c số thực không âm abc = Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng: BP  1 1    2 a  2b  b  2c  c  2a  2 HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TỐN KÌ THI CHỌN HSG LỚP VỊNG Năm học: 2011-2012 UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày a) Ta có (1,5đ) x3  3  2  3  2 Điểm   3  2   2  3  2 3  2  32  3 2  0,5 6  3x  y  17  12  17  12  0,5 17  12  17  12  3 17  12 17  12  17  12  17  12  0,5 34  y b) (1đ) Khi A = + 3x + 34 + 3y – 3(x + y) + 2011 = 2051 b) Ta có: 1  (n  1) n  n n  n(n  1) n  n    n(n  1)  n 1  n n  n 1  n 1   n 1  n    n(n  1) n n  n 1 0,5 Do đó: 1 1 1       +  2 3 2011 S 1  2012 Câu 2: (2 điểm) Câu Nội dung trình bày a)(1đ) §iỊu kiƯn: x Phơng trình tơng đơng với S x  x   x   x     x  1   x  1 x 3    x    x    x 1  x    x  3  x  x  0  x   x     Ta cã  1   3  x 0      x    x  0,25 2012 0,25 Điểm 0,25 x 3   0,25  1  2  x   x 1 (tho¶ m·n)  x  x     x 3   x 1 (tho¶ m·n)  x  x 0,25 0,25 Vậy phơng trình ®· cho cã mét nghiÖm x = b)(1đ) - Nếu x = y = 1, -1 - Nếu x ≠ 0, ta có 0,25 x  2x   x  3x   y  x  4x  Hay (x  1)2  x  3x  ( y )  (x  2) (loại) Vậy PT có nghiệm nguyên (x, y) (0; 1), (0; -1) Câu 3: (2 điểm) Câu Nội dung trình bày a)(1đ) Từ đề suy ab + bc + ca = Ta có + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b) + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(b + c) Do P   (a  b)(b  c)(c  a)  (a  b)(b  c )(c  a) Vì a, b, c số hữu tỉ nên P số hữu tỉ b)(1đ) Theo ta có a  b  c  abc 1  a  abc 1  b  a Do 0,5 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a(1  b)(1  c)  a (1  b  c  bc)  a (a  abc  bc )  (a  abc ) a  abc Tương tự b(1  c )(1  a ) b  abc 0,5 0,25 c(1  a )(1  b) c  abc Khi B a  b  c  abc  Câu 4: (2,5 điểm) Câu a)(1đ) abc  2011 a  b  c  abc  2011 2012 Nội dung trình bày Điểm A F O D B E C P M I O’ K N Ta có 2BP = 2BM = 2AM – 2AB = AM + AN – 2AB = AB + BM +AC + CN – 2AB = AB + BP + CP + AC – 2AB = BC + CA – AB Tương tự 2CD = CD + CE = CB – DB + CA – EA = CB + CA – FB – FA = CB + CA – AB 0,5 b)(0,75đ) c)(0,75đ) Vậy BP = CD  Vì BI // AN (gt)  BIM  ANM  AMN   BIM cân B  BM = BI = BP Mà BP = CE ( = CD)  BI = CE mà BI // CE Vậy BICE hình bình hành Theo chứng minh ta có BI = BP; CP = CK;  BIP; CPK cân đỉnh B; C Gọi BI  CK =  Q , phân giác góc IBP cắt phân giác góc PCK S  S tâm đường tròn nội tiếp  BCQ Vì BIP cân B  BS trung trực PI CPK cân C  CS trung trực PK  S tâm đường tròn ngoại tiếp PIK  Đường tròn (S) ngoại tiếp PIK tiếp xúc với BC, BI, CK Câu 5: (1 điểm) Câu Nội dung trình bày 2 Ta có a  b 2ab; b  2b  a  2b  2(ab  b  1) 1   a  2b  2(ab  b  1) 1 1   Tương tự ; 2 b  2c  2(bc  c  1) c  2a  2(ac  a  1) Khi đó: 1 1 1         2 2 a  2b  b  2c  c  2a   ab  b  bc  c  ac  a   1 ab b    =  ( abc = 1)  =  ab  b  b   ab  ab  b  0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: - HDC cách giải HS giải theo cách khác, giám khảo vào làm cụ thể HS điểm - Điểm phần, câu khơng làm trịn Điểm tồn làm trịn đến 0,25 - Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm