SỞ GD&ĐT TỈNH HẢI DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NINH GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN Năm học 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút Ninh Giang, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Câu 1: (3.0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 4 A  9 94 B x2 x  x24 x (với x >2) 4   x2 x Câu (2.0điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2x + 5y + 3xy = a2 b2 c2 a b c 2) Cho a, b, c > Chứng minh rằng:    0 bc ca a b Câu (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) (4 x  1) x  2 x  x   x2  y   b)  y z   z x   Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm D đoạn OB Đường trung trực đoạn AD cắt (O) C cắt AD H Đường trịn đường kính BD cắt BC E.Chứng minh rằng: a) AC song song với DE b) HE tiếp tuyến đường trịn đường kính BD Câu (1,0 điểm)  Cho tam giác ABC có BAC=105 Đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt K cho KB = KC Kẻ đường cao AH (H  BC) Chứng minh HA = HB -Hết Cán coi thi khơng cần giải thích thêm Họ tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký giám thị : Chữ ký giám thị : HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG MƠN TỐN * Học sinh làm cách khác phải cho điểm tối đa * Điểm toàn làm tròn đến 0,25 điểm CÂU NỘI DUNG A  5    2  B      0,25đ 0,5đ  x 2 x 4  x 24 x 4 x2  4x  x2 x 2     x  2    x  x 2   x 2  0,25đ 0.25đ x 2 x x x 2   x 2 x x Nếu x 6 A 0.5đ 2x x  2x  x x Nếu x < A ĐIỂM 0,25đ  1  2   5 2 2  5  2 2  2 2.4 8 2    2   THANG 2 x  x 2 4x  x x x 0.5đ 0.5đ 1) Ta có : 2x + 5y + 3xy = => 6x + 15y + 9xy = 24 => (3x+5)(3y+2) = 34 Xét trường hợp kết luận pt cho vô nghiệm nguyên dương a2 b2 c2 2) Do a,b,c >   0; 0 ; 0 bc ca a b áp dụng BĐT cô-si cho hai số dương ta có 0,5đ 0.5đ a2 bc a2 b  c  2 a (1) bc b c Tương tự b2 ca b2 c  a  2 b ca ca (2) c2 a b c2 a  b  2 c (3) a b a b Cộng vế (1),(2) (3 ) ta a2 b2 c2 a bca a b    a  b  c bc ca a b a2 b2 c2 a bc    bc ca a b Dấu "=" xảy a = b = c 0,25 0.25đ 0.25đ 0.25đ 1) (4 x  1) x  2 x  x  (*) Đặt x  a  a 1 (*) => (4x-1).a = 2a2 + 2x - 0,25đ  (2a  1)(a  x  1) 0  a 0,5 ( Loai )    a 2 x  1(1) (1)=> 0,25đ  x 0 ( Loai )  x 0,5   x  2 x  =>  2  x 4 x   x  x    Thử lại (*) có x = nghiệm 0.25đ 0.25đ 2)  x2  y    y z   z x   Do vai trị x, y, z nên khơng tính tổng quát, ta giả sử: x  y z  x   y  z  Kết hợp với hệ cho suy ra: y z x => x = y = z 0.5đ => x = y = z = -1 x = y = z =2 Thử lại 0.25đ Vậy hệ có hai nghiệm (x,y,z) = {(-1; -1; -1);(2; 2; 2)} Vẽ hình theo yêu cầu chung đề C 0.25đ K E 0,25đ A H O D I B 0,75đ  a) Ta có ACB = DEB =900 nên AC// DE b) Gọi K trung điểm CE, I trung điểm BD Có HK đường trung bình hình thang ACED => HK vng góc với CE =>  CHE cân H  Có E  =B  B  C  900 => E =C 1    => E1 +E 90 => HEI 90 Vậy HE tiếp tuyến đường trịn đường kính BD 0,5đ 0,25đ 0.25đ A D M K B H    Ta có MA = MH = MC => MHC MCH 2BCK C     Mà BK = CK => BCK KBC  MHC 2 KBC    Lại có MHC KBC  KMH =>  BHM cân H => HM = HB 0.25đ Giả sử HA > HB (1) Ta có: ABH  BAH     BAH  450  HAC  600  AMH  600  AH  HM  AH  HB (Mâu thuẫn với (1)) Tương tự chứng minh AH