Ra đề thi HSG-LT10 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm)  Cho biểu thức P =  x     x1 x 1    :  x  x x  x  a) Tìm x để P xác định, rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2 c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức P x 6 x   x  Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình a) x  3x   x   x   x  2x  b) x  x   x  5 x  Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1    ba số a, b, c phải có số 2015 a b c 2015 2 b) Cho x y thỏa mãn x  x  2015 y  y  2015 2015 Tính x + y    Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O đường kính BC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD, G giao điểm CD AO Chứng minh: a) EG // AB c) SDAC + SBDO = b) OE  CD SABC Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A cắt AB AC M N Chứng minh: BM = CN HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Đáp án Ra đề thi HSG LT10 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần a) 0,75 điểm Đáp án   x1 x 1  P  x    , ĐKXĐ: x  0, x 1  :  x  x x  x     x  1  x  :  =  x  x    0,5 điểm  x  x   x 1 = : x x x 1 x 1   x  c) 0,75 điểm   x 1  =   x  1  ĐKXĐ, x =  =  Với x = 2 3  1 Nên P =   0,25 x1 x x x x x  = : = x x 1 x x x b) Điểm = 3   = 31  0,25  x 1  0,25 x 3   x  3 0,25 1  0,25 ĐK: x  P x =6   x 1   x x 1   x 2 x   3 x   x+2 Do x x =6 = +1=6  3  3 x   3 x x 0,25 x 0  x > 0; Nên để (*) xảy Kết luận x x x   x   x  0 (*)  0,25 x  0 ,  x   0 x  0  x = (TM ĐKXĐ) 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm a, x  3x   x   x   x  x  (1) x  3x  0   x 2 ĐK: x  0 x  2x  0  (1)  + = +  x  a 0  Đặt:  x  b 0  điểm  x  c 0  a.b + c = b + a.c (1)  a(b - c) - (b - c) =  a 1  (a - 1)(b - c) =    b c Với a =  x  1  x - =  x = (thoả mãn Với b = c  vô nghiệm x   x   x - = x +  0x = 0,25 0,25 0,25 đk) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) x  x   x  5 x  Đặt điểm 0,25 x2  y Khi đó, ta có: (với y 3 )  y 5 y  x  x  5 y   y  5 y  x  0    y x Từ tìm nghiệm phương trình là: x 4 0,25 0,5 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm 1 1 1 1     (  )(  ) 0 a b c a b c a b c a b c a b a b  0 ab c(a  b  c ) 1  ( a  b)(  ) 0 ab c (a  b  c )   ( a  b)( ab  ac  bc  c ) 0  ( a  b)(b  c)(c  a ) 0  a  b 0   b  c 0  c  a 0 +) Nếu a + b = suy c = 2015 +) Nếu b + c = suy a = 2015 +) Nếu a + c = suy b = 2015 Chứng tỏ số a, b, c phải có số b)   x2  2015 y  y  2015 2015 (hai nhân tử v.trái phải khaùc 0) x Nên x  x  2015    điểm 2015 y  y2  2015 Tương tự y  y  2015 =  y  2015  y 0,5 x  2015  x Cộng vế theo vế, ta có x + y + y  2015 + x  2015 =  2(x + y) = nên x + y = y  2015 + x  2015  x  y 0,5 Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A a) M E D điểm N G B C O Vẽ hình xác 0,25 Chứng minh EG //AB: Kẻ đường trung tuyến CM, DN  ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm  0,25 ABC Xét  MCD, ta có: CE CG   CM CD  EG // DM hay EG // AB 0,5 Chứng minh OE  CD : OD  AB (Đường kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG  OD (1) 0,5   ABC cân A OG  BC, mà BC // DN nên OG  DN (2) điểm Từ (1) (2) suy G trực tâm  ODE, OE  DG hay OE  CD 0,5 b) c) điểm Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: 1 1 1 S ODC  OC  OA   BC  OA  OA.BC 2 2 OA.BC S ABC 2 4 S ODC OA.BC Vậy SABC = SODC hay SODC = 0,5 SABC Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 0,5 Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A P N B M K D C Vẽ hình xác Chứng minh: BM = CN điểm Gọi K giao điểm MN đường phân giác góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC P  AMN tam giác cân A (AK vừa đường cao vừa đường phân giác)  AM = AN (1) BP//MN nên BP  AK.Tương tự  ABP cân A  AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong  BCP, D trung điểm BC, DN// BP  N trung điểm CP hay NP = NC (5) Từ (4),(5)  BM = CN Lưu ý: Các cách giải khác cho điểm tối đa 0,25 0,5 0,25