PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM THƯ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN ( Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Giáo viên đề : Lê Hùng Tú Câu 1: (5 đ) a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b/ Tìm số nguyên tố mà tích chúng lần tổng chúng Câu 2: ( đ): Giải phương trình: 3x  x  10 2 14 x  Câu 3: ( đ) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y =  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x      y   y2   x  1 b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn x  y  y  z  z  x 6 1 Chứng minh rằng: 3x  y  z  x  y  z  x  y  z  Câu 4: ( đ) Cho điểm A di chuyển đường trịn O đường kính BC = 2R ( A không trùng với B C) Trên tia AB lấy điểm M cho B trung điểm AM Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC I trung điểm HC a/ CMR: M chuyển động đường tròn cố định b/ CMR:  AHM đồng dạng với  CIA Câu 5: ( đ) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm GTLN tích KH.KM./ Hết Lưu ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP Năm học: 2013-2014 Thời gian làm bài: 150 phút Câu Ý a Nội dung Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Ta có: 2x2 + 4x = 19 - 3y2  4x2 + 8x = 38 – 6y2 Điểm 5đ 3đ  4x2 + 8x + = 42 – 6y2   2x  2 42  y   2x  2 6  y   (1) Vì  x   0   y 0  y 7 , mà y  Z nên: y = 0; 1; 2  x  6 0,5  x 2  + Với y = , từ (1)   x   36    x    x  Trường hợp phương trình có nghiệm ngun là: (2;1) (-4;1) + Với y = -1  x  6  x 2  Thì từ (1)   x   36    x    x  Trường hợp pt có nghiệm nguyên là: (2;-1) (-4;-1) + Với y 2   x   18  x  x  14 0  x  x 7  pt khơng có nghiêm ngun VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2 x   42  x  x  38 0  + Với y = 0, từ(1)   x  x 19 PT khơng có nghiệm ngun VT chia hết cho 2; VP không chia hết cho Vậy PT cho có nghiệm nguyên là: (-4;1); (2;1);(-4;-1); (2;-1) b Tìm số ngun tố mà tích chúng lần tổng chúng Gọi a, b, c số ngun tố cần tìm Ta có: abc = 5(a+b+c)  abc 5 mà nguyên tố, nên số a, b, c có số Khơng tính tổng qt, giả sử a= 5, ta có: 5bc = 5(5+b+c)  bc 5  b  c  bc  b  c  6  b(c  1)  (c  1) 6  (c  1)(b  1) 6 b,c số ngun dương có vai trị nên ta có hệ:  b  1 b 2  i)  c  6 c 7 0,5 0,5 0,5 2,0đ 0,5 0,5 0,5 b  2 b 3  ii)  trường hợp loại hợp số  c  3 c 4 Vậy số nguyên tố cần tìm là: 2; 5; Giải pt sau: 3x  x  10 2 14 x  (1)  x  2 2 ĐKXĐ: 14 x  0  x  0  x      x   26 Vì 3x  x  10 3( x  )2  0 3  0,5 2đ 0,5  Ta có: (1)  x  x  10  x  0    x  x   x   2 x   0   x  2   2x    0  x  x  0       x 2  x  (TMĐK)  x   0   x   Vậy PT có nghiệm là: x = -2 a   0,5 0,5 6,0 đ 3đ Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1 Tìm GTNN biểu thức: M =  x  0,5    y   y2   x     x4 y  x2 y 1 2 x  y  x y     M=   = y2   x2  x2 y x2 y  x  y  1 2  x2 y 1       xy   2 x y xy   xy     15 Ta có: xy   xy   xy  16 xy  16 xy 1 1 2 xy 2  (1) * 16 xy 16 xy x y 1 1 15 15 xy    xy   4      (2) 2 xy 16 xy 16 16 xy * Ta có: xy   Từ (1) (2)   xy      15 15 17      xy   xy   16 xy  16 xy 4 0,5 0, 0,5 0,5 2    17  289 Vậy M =  xy      xy    16     xy   xy  16 xy    x  y  (Vì x, y > 0) Dấu “=” xảy    x y  x  y  289 Vậy M = x = y = 16 b 1   6 x y yz zx 1    Chứng minh rằng: 3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z Cho x, y số dương thỏa mãn: Áp dụng BĐT  1   a b a b (với a, b > 0) 0,5 0,5 3đ 1 1 1     a b  a b  Ta có:  1 1 1      3x  y  z  x  y  z    x  y  z   x  y  z x  y  z   11 1 1 1              x  y    x  z   x  y    y  z     x  y x  z x  y y  z   1 1       16  x  y x  z y  z  Tương tự: 1 1       x  y  z 16  x  z x  y y  z  1 1       x  y  3z 16  y  z x  y x  z  cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4         x  y  z x  y  z x  y  z 16  x  y x  z y  z  4 1         16  x  y x  z y  z  0,5 0,5 0,5 0,5 4,0 A B O' H O I C M a Lấy O’ đối xứng với O qua B, O’ cố định Ta có AOB MOB ( c.g.c)  O ' M OA R , M chuyển động đường tròn (O’; R) cố định 2đ b Ta có  ABC vng A (Vì có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác)  nên: MAH (1) (2 góc có cạnh tương ứng vng góc)  ACI mà  AHB   CHA (g.g) 2đ 0,5  AC AB AC AB AC AB AM       HC AH 2CI AH CI AH AH AC AM  Vậy CI AH 0,5 0,5 (2) Từ (1) & (2)   AHM   CIA (c.g.c) Ta có: BKM   HKA (g.g) 0,5 3đ M H A K B BK KM   BK KA KM KH HK KA AB  BK  KA  Mặt khác: BK.KA  Dấu “=” xảy BK = KA     AB  KM KH  AB Vậy max (KM.KH) = BK = KA, tức K trung điểm AB  0,5 0,5 0,5 0,5