PHÒNG GD - ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGUYỄN LƯƠNG BẰNG MÃ ĐỀ T-02-HSG9-NLB-PGDTM Câu 1: (2đ) 1/ Cho 16  x  x   x  x 1 Hãy tính: 2/ Rút gọn biểu thức: A    x2  ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm câu, trang) x  x  36  16  x  x (1  x)3  (1  x)3    x2 Câu 2: (2d) a/ Giải phương trình: x  x    x 11  xy  x  y 0  b/ Giải hệ phương trình:  yz  y  z   xz  x  z  0  Câu 3: (2đ): 1/ Chứng minh rằng:  số vơ tỉ 2/ Tìm tất số tự nhiên n k để: (n4 + 42k + 1) số nguyên tố Câu 4: (3đ): 1/ Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O Qua A kẻ tiếp tuyến với (O) tiếp xúc với (O) M N Lấy điểm B thuộc cung nhỏ MN, tiếp tuyến B cắt AM E cắt AN F OE, OF cắt MN P Q Chứng minh rằng: PQ không đổi B thay đổi cung nhỏ BC EF 2/ Cho tam giác ABC cạnh a M điểm nằm tam giác Gọi D, E, F hình chiếu M AB, AC BC Tìm vị trí M để : 1   nhỏ tính giá trị MD  ME MD  MF MF  ME Câu 5: (1đ): Cho x y hai số nguyên thoả mãn 2x2 + x = 3y2 + y Chứng minh rằng: x  y  số nguyên =========== Hết =========== PHÒNG GD – ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGUYỄN LƯƠNG BẰNG MÃ ĐỀ T-02-TS10-NQ-PGDTM Câu Đáp án a/ 0,75điểm a/(1đ) ( 16  = 2x  x  2( 16  x  x  (2đ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG9 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Điểm  x  x )( x  x  36  16  x  x )  x  x )( x  x  36  16  x  x ) =14 0,25đ Mà: 16  x  x   x  x 1 => x  x  36  16  x  x =14 b/ 1,25đ : ĐK:  x 1 A   x2    x2   (1  x)  (1  x)   x  0,25đ 0,5đ   x2  (1  x)  (1  x)  0,5đ A2 = 2x2 => A = x 2 (2đ) 0,5đ a/ 1đ x  x    x 11  11  x  x    x ( x   2)  (  x  1) 0 0,25đ  x   0    x 1 (thỏa mãn đk)   x  0 0,25đ ĐK:   x  0,5đ b/ 1đ  xy  x  y 0   yz  y  z    xz  x  z  0  ( x  2)( y  2) 4  ( y  2)( z  2) 1 ( z  2)( x  2) 9  0,25đ (x+2)2 (y+2)2 (z+2)2 = 36 => (x+2) (y+2)(z+2) = hoặc(x+2) (y+2)(z+2) = -6 0,25đ  4(2  z ) 6 1 4  (x+2) (y+2)(z+2) = => ( x  2) 6  z  , x 4, y  9( y  2) 6  0,25đ  4(2  z )  7 8  (x+2) (y+2)(z+2) = -6 => ( x  2)   z  , x  8, y  9( y  2)   a/ 1đ Đặt  = a => a3 = 6-6a => a3 + 6a - = => a nghiệm phương trình x3 + 6x - = Để chưng minh a số vô tỉ ta chưng minh phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ Thật vậy: G/s PT x3 + 6x - = có nghiệm hữu tỉ (2đ) m (m, n  Z , n 0;(m, n) 1) => n m3 m   0  m3  6mn  6n3 0 n n Từ : m3  6mn  6n3 0 => m chia hết cho => m = 2k (k  Z) => 8k 12kn  6n3 0  4k  6kn  3n3 0 => n chia hết cho mâu thuẫn với (m,n)=1 => đpcm b/ 1đ 2/ (1đ) A = n4 + 42k + = (n2 + 2.4k + 2n.2k)( n2 + 2.4k - 2n.2k) Vì n, k số tự nhiên => n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k - 2n.2k >  A nguyên tố n2 + 2.4k - 2n.2k = n2 + 2.4k + 2n.2k nguyên tố n + 2.4k - 2n.2k = => n = 1; k = Với n = 1, k = n2 + 2.4k + 2n.2k = nguyên tố 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ M E A P B F O Q N 1/ 1.5đ (3đ)    EOF EMQ  sd MN => tứ giác MOQE nội tiếp 0.5đ Tứ giác OMEB nội tiếp => 5điểm O,M,E,B,Q thuộc đường tròn 0.5đ    MQO MEO OEF => hai tam giác OPQ OFE đồng dạng=> OH PQ  OB EF Kẻ OH vng góc với PQ (O) điểm A cho trước AN, AM cố định => OB, OH không đổi => PQ không đổi B thay đổi EF 0.5đ 2/ 1.5đ Tính MD + MF + ME = a b 0.5đ a 0.25đ c CM: (a+b+c) (   ) 9 => (MD + MF + ME) ( 1   ) 9 MD  ME MD  MF MF  ME Dấu xảy M tâm tam giác => nhỏ biểu thức là: 0.5đ 0.25đ 1   = 3a MD  ME MD  MF MF  ME 2x2 + x = 3y2 + y 2 0.25đ  x  y  x  y  y  (2 x  y  1)( x  y )  y (1đ) Nếu x = 0; y = 2x+2y+1=1 số phương 0.5đ x  y Nếu x 0  y 0 Vì x, y số nguyên nên ta suy x-y số phương khác 2x+2y+1 số phương Ta chứng minh x - y số phương Giả sử (x,y) = d => x = dx1 y = dy1 (x1,y1) = Vì x  y => x1  y1 tồn m khác cho y1=x1+m 0.25đ (Với (x 1,m) = 2 ( x  m ) d  2( x1d )  x1d 3( x1d  md )  x1d  md  y=  x1 d  x1dm  3m d  m 0 (*) Từ (*) => m chia hết cho d d chia hết cho m  d = m d = -m Nếu d = m =>  x12  x1m  3m  0  x12 3 (vô lý) => d = -m  x-y = x1d-y1d = x1d-(x1 - d)d = d2 số phương  2x+2y+1 số phương