PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1(2đ): a Rút gọn biểu thức sau b Tìm x để x+ A= x   x2  3x   x  với x >2 x -2 - số nguyên x Câu 2(2đ): a.Trong mặt phẳng Oxy tính khoảng cách từ điểm M(-3;2) đến đường thẳng y = 2x+4 ( đơn vị trục toạ độ xentimét) ( x  y ) y 2 b Giải hệ phương trình:  2 ( x  y )( x  xy  y ) 1 Câu 3(2đ): a Có tồn số nguyên n hay không cho n2 + 2014 số phương? b Cho a,b,c ba số thực dương thoả mãn Chứng minh 1   a b c a c b c  4 2a  c 2b  c Câu 4(3đ): Cho hai đường tròn tâm O O' cắt E F Đường thẳng nối tâm cắt (O) A C, cắt (O') B D ( xếp theo trật tự A, B, C D) Gọi H giao điểm EF BC a CMR HA.HC = HB.HD b Lấy điểm P tuỳ ý đoạn HE Gọi M giao điểm CP với (O); gọi N giao điểm BP với (O') Chứng minh MNCB tứ giác nội tiếp c Chứng minh ba đường thẳng AM,DN EF cắt điểm Câu 5(1đ): Có 20 người định bơi 10 thuyền đôi Biết hai người X Y mà không quen tổng số người quen X người quen Y không nhỏ 19 Chứng minh phân cơng vào thuyền đôi cho thuyền hai người quen HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP Câu Câu1 a đáp án A= x 23 x  3x   x  = điểm 2 ( x   x  4)(3x   x  4) (3x   x  4)(3 x   x  4) = 3( x  4)  ( x  2) x   9( x  2) x   3( x  4) 9( x  2)  ( x  4) = (9 x  18  x  2) x  x2   với x  ( x  2)(9 x  18  x  2) x 2 0,25 0,25 0,25 5 x2  A = , với x = giá trị 2 x 5 nên hai trường hợp x = x  có đáp án chung 2 Với x= 0,25 x2  x * Chú ý: Học sinh rút gọn A cách xét hai trường hợp: với x > A = x2 x2 với x -2 A = x x hai kết viết chung b x2  x  =b với a,b số nguyên x Vì x+ = a Nên x= a- thay vào  =b ta x  =b => - ( a- ) = b(a- ) a => – 4a + 48 = ab – 4b => 49 – ab = (a-b) (1) Vì a,b số nguyên nên 49 – ab số nguyên (a-b)  a  b 0 số vô tỉ Do để (1) ln thỡ  => a =b=  49  ab 0 Đặt x+ = a 0,25 0,25 0,25 Suy x = 7- Câu a 0,25 Vẽ đường thẳng y = 2x+4 (d) Cho x = => y = 4; A(0;4) Cho y =0 => x = -2; B(-2:0) 0,25 y A D M H -3 B O -1 C x -2 Đường thẳng x= -3 cắt (d) điểm C(-3;-2) Đường thẳng y = cắt (d) điểm D(-1;2) Suy đoạn MC = 4cm, MD = 2cm Kẻ MH vng góc với (d) H, theo hệ thức lượng tam 1 1    2 2 2 MH MC MD 2 4 nên MH2 = 2 => MH = = (cm) 5 2 b 0,25 0,25 giác vng, ta có: 0,25  y 2 Nếu x=0 ta có  khơng thoả mãn  y 1 Nếu x 0 , đặt y = tx, thay giá trị vào pt hệ ta ( x  tx) tx 2  2 2 ( x  tx)( x  tx  t x ) 1 0,25 => t2 -3t + = phương trình cho nghiệm t1 = 1; t2 = Với t1 = y =x => 4x3 = nên x1 = y1 = Với t2 =2 y = 2x => 18x =2 nên x2 = ; y2 = 9 0,25 0,25 0,25 Câu a b Gọi m2 = n2 +2014 với m số nguyên Nên (m-n)(m+n) = 2014 (*) Ta thấy, m lẻ n chẵn m chẵn n lẻ VT số lẻ mà VP số chẵn nên không thoả mãn Từ (*) suy m n chẵn lẻ dẫn đến m-n m+n chẵn Nên (m-n)(m+n) = 2014 = 2.1007 = (-2).(-1007) Mà 2014 tích số chẵn số lẻ Do khơng tồn số nguyên n thoả mãn toán Ta có 1 2ab   suy c  a b c a b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2ab 2ab a b a c a  b b  c a b  a  b b  3a   Nờn 2a  c 2a  2ab 2a 2b  c 2b  2ab 2b a b a b a c b  c a  3b b  3a 3b 3a        Do 2a  c 2b  c 2a 2b 2a 2b a b a b =  (  ) 1  1  4 b a b a a c b c  4 Vậy 2a  c 2b  c Câu 0,25 0,25 0,25 a 0,5 I M N E P A O O' B H C D F b c Câu Ta có tam giác AEC vuông E nên HA.HC = HE2 Tương tự HB.HD = HE2 nên HA.HC = HB.HD Chứng minh PB.PN = PE.PF PC.PM = PE.PF suy PB.PN = PC.PM , có góc MPB = góc NPC nên  BMP đồng dạng  CNP => góc BMC = góc BNC => tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp Gọi I giao điểm AM DN Ta có góc OMC = góc OCM = góc BNM( BMNC tứ giác nội tiếp) Mà góc AMO + góc OMC = 900; góc INM + góc BNM = 900 nên góc AMO = góc INM=> góc MAO = góc INM => tứ giác AMND nội tiếp Tứ giác AMPH nội tiếp nên góc MPE = góc MAO Tứ giác MPNI nội tiếp nên góc INM = góc IPM => góc MPI = góc MPE ba điểm P,E,I thẳng hàng Vậy ba đường thẳng qua điểm I Nếu 20 người khơng có cặp quen tổng số người quen hai người Điều mâu với giả thiết, tồn số cặp quen ta xếp cặp 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 vào thuyền đôi Gọi n số lượng thuyền lớn mà ta xếp cặp quen vào thuyền kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người Xi Yi quen ( i n ) 0,25 Giả sử n 9, kí hiệu tập A gồm người chưa xếp vào thuyền nào, tức người đôi không quen Chọn hai người X Y tập A Theo tổng số người quen X người quen Y không nhỏ 19 người quen X quen Y xếp vào thuyền 0,25 Như có 19 người quan hệ quen X quen Y xếp vào nhiều thuyền đơi( trừ thuyền X Y chưa xếp) mà 19 = 9.2 +1 nên theo Nguyên tắc Dirichlet tồn thuyền chở hai người quen X Y Nhưng ta xếp lại sau: n-1 thuyền giữ nguyên, thuyền thứ n xếp Xn Y, thuyền thứ n+1 xếp X xếp X Yn Điều mâu thuẫn với n 9 0,25 Theo cách xếp ta tiếp tũcếp đến hết 10 thuyền cho thuyền người quen Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm