PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức A  x  x2  x2  x  x  2x   x    x 2 : x 1 2x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức A 368  3 27 b) Tính giá trị A x = 3  368 27 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1   x x x     x  y     5 xy    b) Giải hệ phương trình:   x  y    9    x2 y2      Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p cho 2p + lập phương số tự nhiên b) Chứng minh với a + b > c a  b  c với a,b,c > phương trình 2 2 2 bậc hai a x   a  b  c  x  b 0 vô nghiệm Câu (3,0 điểm) 1)Cho tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm BC Gọi D điểm cạnh BC Trung trực AD cắt trung trực AB AC theo thứ tự E F Chứng minh : a) điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn b) Tam giác AEF tam giác ABC đồng dạng 2)Trong tam giác ABC, đường phân giác AA’, BB’, CC’ đồng quy I (A’BC, B’AC,C’ AB) Chứng minh Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn AI.BI.CI  AA '.BB '.CC ' 27 a  b  b  c2  c2  a 2 2012 a2 b2 c2   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  b c a c b a HƯỚNG DẪN CHẦM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Câu Nội dung Điểm a.( điểm) Đkxđ:   x  x  -1 x  x   x    x   x  3 x   x A : x 2 x  x     x  3  x   x  x  x  x   x    x   x   x x    x    x  0,25 0,25  x 1  x  :    x    0,25 2 x x 2   x  x 1  x  x 1 (2,0 điểm) b.( điểm)  368 , b 3  27 Ta có x a  b, x  a  Đặt a  3  0,25 368  a  b 6,ab  27 3 x3  a  b  a  b  3ab  a  b  6  5x  x  5x  0   x  1  x  x    Mà với x > x  x    x  0  x 1 (thoả mãn) 1 Thay x = vào A được: A  1 a.( điểm) (2,0 điểm) Tìm điều kiện: x 1 (*) 1 Đặt x  a 0;  b 0 x x x 1 1  Ta có: a + b = x a  b x  Suy a  b  x x 1 x   a   a  2a  0  a 1 (tm) x x 1 x  1  x  1  x  x  0 x x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do 2a x   Ta có 1 Giải phương trình tìm x  1 1 ( thoả mãn), x  p số nguyên tố nên suy =1 p= n  n  , suy n = p = 13 Với p = 13 2p + = 33 Vậy số nguyên tố phải tìm 13 b ( điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ a + b > c a  b  c với a,b,c > a + b - c > 0; a - b - c 0, a+b+ c= (*) 0,25 Ta có   a  b  c2   4a b 0,25  a  b  c2  2ab   a  b  c2  2ab   a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c  (3 điểm) Từ (*) suy   , suy phương trình vơ nghiệm Hình vẽ: 0,5 F A M N E B I D C 1a.( 1,25 điểm) Lập luận chứng minh   EBD  AEI BEI  c.c.c   EAI EBI (1) Do tính chất điểm thuộc trung trực đoạn thẳng ta có: BE = ED ( EA) suy BED cân E   (2)  EBD EDI    tứ giác AEID nội tiếp (*) Từ (1) (2)  EAI EDI    Tứ giác AEID nội tiếp  ADC (3) AEI BEI  ACD  Do EI//AC( vng góc với AB)  BIE (đv) (4) Từ (3) (4)  BEI ∽ ADC  g.g     CAD   (5)  CAD IBE IAE   ( góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (6) Mà CAD IFE   Từ (5) (6)  IFE IAE  tứ giác AEIF nội tiếp (**) Từ (*) (**) suy điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn 1b.( 0,75 điểm) Gọi IE cắt AB M, IF cắt AC N, lập luận chứng minh tứ  90 giác AMIN hình chữ nhật  FIE   EAF   Mà tứ giác AEIF nội tiếp  FIE 180  EAF 90  EAF vuông A Do điểm A,E,I,D, F nằm đường tròn    AFE AIE   Mà AIE BIE(do AEI BEI)     Có BIE ( theo (4))  AFE ACD ACD Từ lập luận  ABC ∽ AEF  g.g  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2.( điểm) A C’ B’ I B C A’ Ta có gọi s,s1 ,s2 ,s3 diện tích tam giác ABC, IBC, IAC, IAB AI S S S  S ACI s s  ABI  ACI  ABI  Ta có: AA ' S ABA' S ACA' S ABA'  S ACA' s BI s3  s1 CI s2  s1  ;  Chứng minh tương tự BB ' s CC ' s Từ ta có  s s   s s  s s   s s s s s s  AI.BI.CI  3  3   AA '.BB '.CC ' s   s 0,25 0,25   s1  s2  s3    2s           s   s 27 Dấu xảy khi s1 s2 s3 hay tam giác ABC 0,5 Ta có:  a  b   a  b   a  b   a  b  Tương tự b  c   b  c  ;a  c   a  c2  Từ suy P  a2 2 b  c 2   b2 2 a  c 2   0,25 c2  a2  b2  Đặt x  b  c2 , y  c  a , z  b  a y2  z  x2 z2  x2  y2 x2  y2  z   Suy P  2x 2y 2z (1 điểm)   y2  z2 z2  x2 x2  y   x  y  z  y z 2 x  2    z  x    x  y    y  z     x   y   z    2y   2z  2   2x      2    z  x    x  y     y  z    2x  3x     2y  3y     2z  3z     2y   2z  2   2x         y  z   3x     z  x   3y     x  y   3z     2 1  x  y  z   2 2012  1006 = 2 2 0,25 0,25 Dấu xảy a b c  a = b = c = 1006  2 2 2  a  b  b  c  c  a 2 2012 1006 Vậy minP = 1006 a = b = c = 0,25