PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu ( điểm) a) Rút gọn biểu thức: A= x+6 x-9  x-6 x-9  x  9 81 18  1 x2 x b) Phân tích đa thức x2 – 3y2 – 2xy – x + 3y thành nhân tử Câu ( điểm) a) Giải phương trình x  x3  x  1  3x 9 x  x  y  xy = b) Giải hệ phương trình  3  x  y x + 7y Câu ( điểm) a) Cho số nguyên dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn đồng thời x = a + yz; y = b + xz z = c + xy Chứng minh (ax + by + cz)2 chia hết cho (a + b + c)(x + y + z) b) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình  x y  17  288 Câu ( điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M điểm nửa đường tròn (M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB H Gọi P, Q, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAH, MBH AMB a) Chứng minh BI  MP b) Chứng minh M di động nửa đường tròn thi I di động cung trịn cố định c) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn để chu vi tam giác PHQ lớn Câu ( điểm) Cho số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = xyz [( x - y)  ( y - z)  (z - x) ] Chứng minh xy  yz  zx   Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án a ( điểm) điểm A     x - 3  9    1 x  Vì x > nên Khi x ≥ 18 x - 3  A  Khi < x < 18 x-9  x - 3   A  x-9 1 x x-9 x x A  Điểm 0,25 điểm x - 3  x-9 x x x - 3 x - 3 6x  x x x x - 3 x -  2x  x x-9 x b (1 điểm) x2 – 3y2 – 2xy – x + 3y = x2 + xy – x – 3xy – 3y2 + 3y = x(x + y – 1) – 3y(x + y – 1) = (x + y – 1)(x – 3y) a) điểm điểm x3 x   x  1  0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 3x 9 x Điều kiện x ≠ x x x2 x2  x + t = x +  ; xt =  x + t = xt Đặt t = x-1 x-1 x-1 x-1 0,25 điểm Phương trình trở thành x3 + t3 + 3(x + t) =  (x + t – 1)3 = x+t–1=2x+t=3 0,25 điểm x2 3 x2 – 3x + = Khi ta có x-1 0,25 điểm Phương trình vơ nghiệm 0,25 điểm  x  y  xy = (1) b) điểm  3  x  y x + 7y (2) 3x = (3) Nếu x = y hệ có dạng   2x  8x 0 (4) Phương trình (3) có nghiệm x =  0,25 điểm Phương trình (4) có nghiệm x = 0; x = ± Hệ phương trình vơ nghiệm  x - y3 = x - y (5) Nếu x ≠ y hệ phương trình tương đương với  3  x  y x + 7y (2) Trừ vế hai phương trình hệ 0,25 điểm y=  2y3 = 8y   y =  y = - - Với y = 0, thay vào (1), (2) x = ± - Với y = 2, thay vào (1) x2 + 2x + = (vô nghiệm) - Với y = -2, thay vào (1) x2 – 2x + = (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 0), (- 1; 0) a) điểm điểm Từ đẳng thức x = a + yz; y = b + xz z = c + xy x, y, z đồng thời khác ta ax = x3 – xyz; by = y3 – xyz; cz = z3 – xyz => ax + by + cz = x3 + y3 + z3 – 3xyz Chứng minh x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) => ax + by + cz = (a + b + c)(x + y + z) Do a, b, c, x, y, z số nguyên dương nên ax + by + cz chia hết cho a + b + c x + y + z => (ax + by + cz)2 chia hết cho (a + b + c)(x + y + z) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm b) điểm  x y  17  288   x + y   4xy -  x + y  xy 17  12 2   x + y   4xy - 17 4  x + y  xy  12 (1) Vế phải (1) số vô tỉ vế trái (1) số tự nhiên nên điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm nguyên hai vế (1)  x + y   4xy = 17  x + y   4xy - 17 0   Ta có hệ  4  x + y  xy  12 0  x + y  4xy 72 Giải hệ (x; y) = (1; 2), (2; 1) Đó hai nghiệm phương trình 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm M I E A F Q P K H B O a) điểm Chứng minh ba điểm A, P, I thẳng hàng ba điểm B, Q, I thẳng hàng Gọi giao điểm MP AB K, ta có      KMB KMH  HMB KMA  MAB    MKB KMA  MAB    KMB MKB Tam giác BMK cân B Mà BI phân giác góc B nên BI  MP b) 0,5 điểm   MAB  MBA  Tính AIB 1800  1800  450 1350 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm => I di động cung chứa góc 1350 vẽ đoạn AB (thuộc 0,25 điểm nửa mặt phẳng chứa điểm M) c) 1,5 điểm Gọi giao điểm đường thẳng PQ với MA, MB E F Chứng minh     AMH MBH  PMH QBH   PHM QHB 450 MPH  0,25 điểm BQH (g-g) PH MH PH MA    QH HB QH MB Từ chứng minh HPQ MAB (c-g-c)      HQP MBA  MBA  HQF 1800  Tứ giác BHQF nội tiếp    MFE QHB 450 => tam giác MEF cân M => ME = MF 0,25 điểm 0,25 điểm       MFE MHQ 450 ; HMQ QMF  MQH MQF  MQH = MQF (g-c-g) =>MH = MF QH = QF Chứng minh tương tự PH = PE 0,25 điểm Chu vi tam giác PQH PH + HQ + QP = EP + PQ + QF = EF = MF = MH ≤ MO = R Chu vi lớn  MH lớn  H trùng với O M điểm 0,25 điểm nửa đường trịn (O) Vậy M điểm nửa đường trịn (O) chu vi tam 0,25 điểm giác PQH lớn R điểm xyz  3 [( x - y)  ( y - z)  (z - x) ] (1) xy  yz  zx Do x2 + y2 + z2 = x, y, z dương => < x + y + z   VT =  x + y + z  x + y + z   x + y + z   xy + yz + zx   xy + yz + zx   x + y + z BĐT  0,25 điểm 2 2 3    x - y    y - z    z - x     xy + yz + zx  x + y + z    xy + yz + zx  2    x - y    y - z    z - x   0  xy + yz + zx 2  x + y + z  xy - yz - zx  2   x - y    y - z    z - x   0 xy + yz + zx  2x + 2y + 2z  2xy - 2yz - 2zx  2   x - y    y - z    z - x   0  xy + yz + zx   x - y  2 0,25 điểm   y - z   z - x 2    x - y    y - z    z - x   0   xy + yz + zx  2 1 2     x - y    y - z    z - x      0 (*)    xy + yz + zx    Ta có 2xy ≤ x2 + y2; 2yz ≤ y2 + z2; 2zx ≤ z2 + x2  2(xy + yz + zx) ≤ 2(x2 + y2 + z2) =  ≤ xy + yz + zx ≤  BĐT (*) nên BĐT (1) chứng minh Lưu ý: Mọi cách giải cho điểm tối đa 0,25 điểm 0,25 điểm