PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1(2đ): a) Tính giá trị biểu thức: M ( x  y )3  3( x  y )( xy 1) , biết x 3  2  3  2 , y  17  12  17  12 b)Tìm số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời điều kiện : a  bc  a  b  c 1   1 a b c Câu 2(2đ) 2  x  y  4 x a) Giải hệ phương trình:  3  x  12 x  y 6 x +9 b) Giải phương trình: ( x   x  2)(1  x  x  10) 3 Câu 3: (2đ) a/ Cho x, y hai số nguyên dương cho: x  xy  y số nguyên Gọi a ước xy chung x y Chứng minh rằng: a  x  y b) Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n  3n 7 Câu 4: (3đ): Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm (O) Qua A kẻ tiếp tuyến với(O) tiếp xúc với (O) M N Cát tuyến qua A cắt (O) B C(B nằm A C) Từ B kẻ đường thẳng song song với AM cắt MN H Kẻ OD vng góc với BC D a Chứng minh tứ giác BHDN nội tiếp b Chứng minh rằng: MB.NC = BN.MC c CH cắt AM E Chứng minh E trung điểm AM Câu 5: (1đ): Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F x4 y4 z4   ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x) Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG9 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a/ 1điểm  x3  3  2  3 2    32  0,5đ 3  2   2  3  2  2 (1) Tương tự: y  y 24 (2) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta x 4  x  x3  x 4 0,5đ x  y  3( x  y ) ( x  y )3  3( x  y )( xy  1)  20 Vậy M =  20 b/ 1đ Có a  b  c  a  b  c  (2đ) 0,25đ a  b  c  b  a  c  a  b  c  b (a  b  c )  b a  c  ac  a b  b(a  b  c) ac  (a  b)(b  c ) 0    b c Nếu a = b a , c dương Ta có 0,5đ 1   1   1  2c  a ac  (a  2)(c  1) 2 a b c a c Vì a,b,c ngun dương nên ta có trường hợp sau :  a  2 1)   c  1  a 4 b  c 2 a  1 2)   a c 3 b c  2 Nếu b = c b,c dương Ta có 0,25đ 1 1   1   1  2a  b ab  (b  2)(a  1) 2 a b c a b Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau : b  2 1)   a b 3 c a  1 2 (2đ) b  2 b 4 c 2)    a  1 a 2 Vậy cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả mãn (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2) a/ 1đ Từ phương trình (1) ta suy ra: 12 x  x  y vào phương trình (2) thu gọn ta được: 0,25đ 0,25đ  x  y 0 x  y 3( x  y )  ( x  y )( x  xy  y  3x  y ) 0   2  x  xy  y  3x  y 0 * Nếu x  y 0  y  x  y  x vào phương trình (1) ta 0,25đ x  4 x  2( x  1)  0 phương trình vô nghiệm * Nếu x  xy  y  3x  y 0 , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta được: 0,25đ 2 3  x 3  xy  3x  y   x  xy  x  y  0  ( x  3)( y  1) 0    y 1 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = suy y = => (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2) + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = => x = => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0), (2; 1) 0,25đ b/ ( x   x  2)(1  x  x  10) 3 ĐK: x  -2 Ta có: 0,25đ x   x  0 => nhân hai vế với ( x 5  x 5  x 2 x  2)( x   x  2)(1  x  x  10) 3( x   x  2)   x  x 10  x   x  0,25đ 0,25đ 0,25đ Đặt x  a; x  b   ab a  b => (a-1)(b-1) = =+ a = b = +/ a = => x = -4(loại) , b = => x = -1 (t/m) a/ 1đ x  xy  y xy x y = xy  số nguyên => xy số nguyên xy 0,5đ x, y hai số nguyên dương => (2đ) x y xy số nguyên dương => x+y  xy Gọi a ước chung x y => xy  a2 => a  x  y b/ 1đ Với n chẵn n = 2k 0,5đ 0,25đ 7t  7t  A 2k 42 k  32 k (2k  1).42 k  (16 k  k ) 7  2k 17  k   n 7t  7m   m  N  0,25đ Với n lẻ n = 2k+1 0,25đ A 2k 42 k  32 k (2k  1).42 k  (16 k  k ) 7  2k  17  k  A (2k  1).42 k 1  32 k 1 2k k 1  (4 k 1  32 k 1 ) 7  2k 7  k 7t  n 14m  1 m  N  Vậy n 7 m  n 14m  ( với n  N ) A chia hết cho M K E A H B O D N C 0,25đ (3đ) a/ 1đ AM, AN tiếp tuyến (O)  OM  AM , ON  AN => AMO  ANO  ADO 900 => điểm : A, O, D, M, N thuộc đường tròn   => MND MAD   BH // AM => HBC MAD   Suy ra: HND => tứ giác BHDN nội tiếp HBD b/1đ Tam giác ABM đồng dạng với tam giác AMC (g.g)  ( góc A chung, AMB  ACM  sd MB ) AM MB AN NB   => C/m tương tự: AC CM AC CN MB NB  mà AM = AN => => MB.CN=CM.NB CM CN C/ 1đ BH cắt CM K   Tứ giác BHDN nội tiếp => HNB BDH 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ    BCM  sd MB Ta có: HNB   => BCM => HD // CM BDH HD // CM mà OD  BC => DB = DC Suy H trung điểm BK 0.25đ 0.25đ HK CH  ME CE HB CH HB KH   HB // AE => Suy ra: AE CE AE ME HK // ME => mà BH = HK => E M = EA => (đpcm) (1đ) Ta có (a  b) 0  a2  b2  a  b  (dấu “=” xảy a = b) x4 y4  x  y ; Ta có: 2 ( x  y )( x  y ) ( x  y )( x  y ) y4 z4  y  z ( y  z )( y  z ) ( y  z )( y  z ) z4 x4  z  x ( z  x )( z  x) ( z  x )( z  x) 0.25đ F x4 y4 z4    ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x) y4 z4 x4   ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x) Do F  x4 y4 z4   ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x) 0.5đ  1 x4  y y4  z4 z  x4      2 2 2  ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x )  2 2   y2  z2  z  x2    1 x  y       ( x  y )( x  y ) ( y  z )( y  z ) ( z  x )( z  x )    2 2 2 1x  y   y z  z x         ( x  y) ( y  z) ( z  x)    2  y  z    z  x    x  y  z  1   x  y       ( x  y ) ( y  z) ( z  x )  4 1 Do F đạt giá trị nhỏ x = y = z = 0.25đ