PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1: (2 điểm) 1) Cho biểu thức: P  a  3a   a  1 a   a  3a   a  1 a   a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P với a > 2) Tìm số tự nhiên a, b, c, d, e biết : 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số hữu tỷ a b cho x =  nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx + = (1) b) Gọi x1, x2, x3 nghiệm phương trình (1) ứng với a , b vừa tìm đặt Sn = x1n  x2n  x3n Chứng minh Sn  N với số tự nhiên n ? Câu 3: (2 điểm) a) Giải phương trình: x  3x  3x    x2  3x b) Cho điểm A(1; 4); B(3; 1) Xác định đường thẳng y = ax cho A B nằm phía đường thẳng cách đường thẳng Câu 4: (3 điểm): Cho (O; R) (O’; R’) cắt A B Trên tia đối của tia AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), D E tiếp điểm E nằm (O’) Đường thẳng AD, AE cắt (O’) M N ( M N khác A) Tia DE cắt MN I Chứng minh rằng: a Tứ giác BEIN nội tiếp b MIB đồng dạng với AEB c O’I  MN Câu 5: ( điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x ( y  z )  y z  x  z x  y     HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án Biểu điểm 0,25 đ Câu a) ĐK: a ≤ - 2; a ≥ b) với a > => P  a  3a   a  1 a   = a  3a   a  1 a   a  3a    a  1 a  a  3a    a  1 a  0,25 đ  a  1  a     a  1 a  1.1 =  a  1  a    a  a     a 1 a    a 1 a    a  1 =  a  1 a    a  1 a    a  1  a  1 a  =  a  1 a  0,25 đ a   a   0,25 đ a) 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) abcd  ab  ad  cd  cd  =a+ bcd  b  d bcd  b  d 1 a a  1 b b = a + bcd  b  d = cd  1 c cd  d d 15 1 1 1  1  1  1  1  11 1 11 11 2 2 2 Lại cú: 4 1 3 0,25 đ  a = 1; b = 2; c = 1; d = 0,25 đ Ta có 1.2 1đ 2đ a) Vì x =  nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx + =          a   b   0  ( 4a + b + 17) ) + ( 9a + 2b + 39 ) = 0a + 2b + 39a + 2b + 39 ) = ) = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ  a  b 3  b) Vì a = - 5, b =  (1)  x3 - 5x2 + 3x + =  (x - 1)(x2 - 4x - 1) =  x 1   x 2   n 0,25 đ n    =   5   5  Sn      Đặt Un n n 0,25 đ = Sn - với n  N 0,25 đ   Un + =   n 2   2  n 2 = 2 2  2   n 1   2 5 n 1 n n 0,25 đ   2 2  2  2            Un + = 4Un + + Un với n  N Vì với U0 = ; U1 =  S0 = 3; S1 =  Un  N+ n  N  Sn nhận giá trị nguyên n  N a) Từ (1) suy ra: x  3x  3x   x  x  0,25 đ 0,25 đ  20 x  12 x  12 x   x  36 x   12 x  x  12 x  x  x  22 x  24 x  9a + 2b + 39 ) = 0 (x 0) 24 9a + 2b + 39 ) =  x  x  22   0 x x2 Đặt x   y (*) ta có: x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ y2 - 8y + 16 = suy y = thay vào (*) ta x2 - 4x + =  x = 1; x = 0,25 đ b) Gọi đường thẳng cần tìm d y Gọi AH, BK khoảng cách từ A B đến đường thẳng d Đường thẳng qua A song song với Ox Cắt d điểm M  M( ; 4) a Đường thẳng qua B song song với Ox -2 Cắt d điểm N  N( ; 1) a B 0,25 đ x -1 -2 Vì AH = BK  AM = BN  H N O -1 0,25 đ M K d A 0,25 đ 5 - = -  =  a =  hàm số có dạng y = x a a a 4 0,25 đ C A D M 1 E O' O I B N Vẽ hình 0,25 đ   a Ta có tứ giác ABNM nội tiếp  BNM BAD    ) Mà BAD (Cùng chắn BD BED    BNM  Tứ giác BEIN nội tiếp BED   b Ta có A1 M (1) (Cùng chắn BN )    EIM          BIM BIE BNE  ENI  NEI BNI  NEI BED  DEA  AEB (2) Từ (1) (2)  AEB MIB c Chứng minh CDB CDA (g g)  Chứng minh tương tự có CE EB  (4) CA EA 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ BD CD  (3) DA CA 0,25 đ Mà CD = CE (tính chất tiếp tuyến)  EB BD  (5) EA DA 0,25 đ EB IB  (6) EA MI    Mà ABD IEN (Cựng = AED ) ; IEN IBN     ABD IBN , mà INB DAB BD IB   DBA IBN  (7) ) DA IN Ta lại có AEB MIB nên Từ (5), (6), (7) )  IM = IN  OI  MN 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1 1 Đặt a = ; b = ; c =  abc = 2 = y x y z x z  x2 + y2 = c(a + b); y2 + z2 = a( b + c); z2 + x2 = b( c + a) a2 b2 c2 E   b c c a a b a b c    chứng minh b c c a a b  0.25 đ 0.25 đ Nhân vế với a + b + c > 0, ta a  a  b  c b  a  b  c c  a  b  c      a  b  c bc ca a b 2 2 a b c a  b  c abc       b c c a a b 2 3  E ≥  E = a = b = c = 2 0.25 đ 0.25 đ