PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2018- 2019 Mơn thi:Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm)  x2 x x1     : Cho biểu thức: P   x x  x  x 1  x  a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị P x  11    c So sánh: P2 2P (Với x  0, x  1) Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x  4 x  3x  2 x  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d1): y = 3x – m – (d2) : y = 2x + m - Chứng minh m thay đổi, giao điểm (d 1) (d2) nằm đường thẳng cố định Bài 3: ( điểm) a) Tìm số nguyên a cho a  số nguyên tố b) Đặt a 3  3 2 Chứng minh M = 64  3a (a  3) số phương Bài 4: (… điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S AEF Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S cos A ABC 2 b Chứng minh : S DEF   cos A  cos B  cos C  S ABC c.Chứng minh rằng: HA HB HC    BC AC AB Bài 5: (… điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp Bài 1: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm ĐKXĐ Với x  0, x   x   x  x  x  x  1 x  P   : ( x  1)( x  x  1)   0.75 x  x 1 2   ( x  1)( x  x  1) x  x  x  2)  (  1) x  11    2  (3  3 b) 2)  (  1) =2(TM ĐKXĐ)   (3  Thay x =2 vào P ta có P  Vậy x = P  0.25 2 2(3  2)    1  2(3  2) 0.25 0.25 Vì x  x  >0 nên P >0 Với x  x  x 0 nên x  x   c) 1  P  2 x  x 1 x  x 1 Do < P 2 nên P.(P – 2) 0  P2  2P Vậy P2  2P suy ra: 0.25 0.25 Bài 2: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm x  x  4 x  x  2 x  ( ĐKXĐ x  )  x  x  4 x x   2 x  0.25    2x  0.25     x  x x   x    2 x   x  0 x 3  1 2x   0 2 x  x  4 x x     x 1 (tmđk)   x   2 x  Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25 0.25 Tìm (d1) cắt (d2) M(2m ; 5m-1) với m Suy quan hệ : ym = b) xm - với m 0.75 Vậy m thay đổi, giao điểm M (d 1) (d2) nằm đường thẳng cố định (d) : y = x - 0.25 Bài 3: ( điểm) Ý/ Phần a) Đáp án Điểm 4 2 2 Ta có : a  = (a  4a  4)  4a  a -2a+2   a +2a+2  0.25 Vì a  Z  a -2a+2  Z ;a +2a+2  Z Có a +2a+2=  a+1  1 a 0.25 0.25 Và a -2a+2=  a-1 1 1 a nên a  số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a +2a+2=1  a  thử lại thấy thoả mãn Nếu a -2a+2=1  a 1 thử lại thấy thoả mãn Vậy a  số nguyên tố a=1 a= -1 b) Từ 0.25 a (    )3 a3 = 3a +4 a3 - 3a = Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 - ) = a2 - = : a (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) a 3  3 2 Thay vào rút gọn ta có M = 64  3a (a  3) 0.25 0.25 = a3 - 3a = Vậy M số phương 0.5 Bài 4: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm A E F H C B D AE Tam giác ABE vuông E nên cosA = AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC Suy AE AF  AEF ABC (c.g c ) = AB AC S AEF  AE    cos A S ABC  AB  S cos B, CDE cos C S ABC 0.5 0.5 * Từ AEF ABC suy b) S BDF Tương tự câu a, S ABC 0.25 Từ suy S DEF S ABC  S AEF  S BDF  SCDE  1  cos A  cos B  cos C S ABC S ABC 2 Suy S DEF   cos A  cos B  cos C  S ABC c) HC CE HC.HB S HA.HC CE.HB 0.5 S HBC Từ AFC HEC  AC CF  AC AB  CF AB  S ABC HB.HA S HAC HAB Tương tự: AC.BC  S ; AB.BC  S Do đó: ABC ABC 0.25 HC.HB HB.HA HA.HC S HBC  S HCA  S HAB 1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC Ta chứng minh được: (x + y + z)2  3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có:  HA HB HC   HA.HB HB.HC HC.HA        3   3.1 3  BC AC AB   BC.BA CA.CB AB.AC  HA HB HC    Suy BC AC AB 0.5 Bài : (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Gọi a, b, c cạnh huyền cạnh góc vng  vng Khi đó: a, b, c  N a  5; b, c  0.5 Ta có hệ phương trình:  a b  c   bc 3( a  b  c) (1): (2): (1) ( 2) a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c)  a2 + 6a + = (b + c)2 – 6(b + c) +  (a + 3)2 = (b + c – 3)2  a+3=b+c–3  a=b+c–6 bc = 3(b + c – + b + c) = 3(2b + 2c – 6)  (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có trường hợp sau: b – = c – = 18 b = 7; c = 24 a = 25 b – = c – = b = 8; c = 15 a = 17 b – = c – = b = 9; c = 12 a = 15 0.5