Phần I: Các toán đa thức Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.DÉn: - LËp c«ng thøc P(x) - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = P(-5,1289) = ; P( ) = Bài 2: Tính giá trị biểu thøc sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 t¹i x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345 H.Dẫn: - áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta cã: 10 P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x  1)(1  x  x   x )  x  x x Tõ ®ã tÝnh P(0,53241) = T¬ng tù: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x x  x Tõ ®ã tÝnh Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + BËc H(x) nhá h¬n bËc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị đà biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghÜa lµ: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bíc 2: T×m a1, b1, c1, d1, e1 ®Ĩ Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tøc lµ:  a1  b1  c1  d1  e1  0 16a  8b  4c  2d  e  0 1 1   a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 81 a  27 b  c  d  e1  0  1 1  256a  64b  16c  4d  e  16 0 1 1  625 a  125 b  25 c  d  e1  25 0  1 1 VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2 V× x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = lµ nghiƯm cđa Q(x), mµ bËc cđa Q(x) b»ng cã hƯ sè cđa x5 b»ng nªn: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)  P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính đợc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.DÉn: - Giải tơng tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính đợc: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 TÝnh A  P (5)  P (6) ? P (7) H.Dẫn: - Giải tơng tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + îc: A  x( x  1) Tõ ®ã tÝnh ®2 P (5)  P (6)  P (7) Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k Z thoả m·n: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999a  b  2000 0     2000a  b  2001 0  a   g(x) = f(x) - x -  b  * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) vµ g(x) chia hÕt cho: (x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)  f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính đợc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mÃn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 TÝnh gi¸ trÞ A = f(-2) + 7f(6) = ? H.DÉn: - §Ỉt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c T×m a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = a, b, c lµ nghiƯm cđa hƯ phơng trình: a b c 0  9a  3b  c  11 0  25a  5b  c  27 0   a    b»ng MTBT ta gi¶i ®ỵc: b 0 c    g(x) = f(x) - x2 - - V× f(x) bËc nên g(x) có bậc g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0)  f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + Ta tính đợc: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho ®a thøc f(x) bËc BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =  d 10  a  b  c  d 12  nªn:  8a  4b  2c  d 4  27a  9b  3c  d 1 lấy phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu giải hệ gồm phơng trình ẩn a, 25 b, c trªn MTBT cho ta kÕt qu¶: a  ; b  ; c 12; d 10 2 25  f ( x)  x3  x  12 x  10  f (10) 2 Bài 9: Cho đa thức f(x) bËc biÕt r»ng chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đợc d lµ vµ f(-1) = -18 TÝnh f(2005) = ? H.DÉn: - Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: f(1) = f(2) = f(3) = vµ cã f(-1) = -18 - Giải tơng tự nh 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính đợc f(2005) = 13 82 32 x  x  x  x  x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị ®a thøc x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chøng minh r»ng P(x) nhËn giá trị nguyên với x nguyên Bài 10: Cho ®a thøc P ( x)  Gi¶i: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nªn P( x)  ( x  4)( x  3)( x  2)( x  1) x( x  1)( x  2)( x  3( x  4) 2.5.7.9 Vì só nguyên liên tiếp tìm đợc số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: ( x  4)( x  3)( x  2)( x  1) x( x  1)( x  2)( x  3( x  4) chia hÕt cho 2.5.7.9 (tÝch cña số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên x Bài 11: Cho hµm sè f ( x )  x4 H·y tÝnh c¸c tỉng sau: 2 a)      2001  S1  f   f     f   2002 2002      2002  b)   2     2 2001  S  f  sin   f  sin    f  sin  2002  2002  2002     H.Dẫn: * Với hàm số f(x) đà cho trớc hết ta chøng minh bỉ ®Ị sau: NÕu a + b = f(a) + f(b) = * áp dụng bổ đề trên, ta có: a)    1000   2001    1002    1001  S1  f   f       f   f    f    2002    2002    2002    2002    2002  1    1 1   f    f    1000  1000,  2  2   b) Ta cã sin  2001 1000 1002 Do ®ã: sin , , sin sin 2002 2002 2002 2002     2     2 1000   1001  S 2  f  sin   f  sin    f  sin    f  sin  2002 2002 2002 2002           2       f  sin  2002   1000  f  sin 2002           500   f  sin  2002   501     f  sin   2002       f  sin  2            2 500  500    2   f  sin   f  cos      f  sin   f  cos    f (1) 2002  2002   2002  2002          2     1  2 1000 1000 3 Tìm thơng d phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm d phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải: b b b - Ta ph©n tÝch: P(x) = (ax + b)Q(x) + r  P    0.Q     r  r = P    a a a Bài 12: Tìm d phÐp chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) Gi¶i:  5  5  5  5 - Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r  P   0.Q    r  r P    r = P    2  2  Tính máy ta đợc: r = P = Bài toán 2: Tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm thơng d phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lợc đồ Hoocner, ta có: -2 -3 0 -5 -5 23 -118 590 -2950 14751 * Tính máy tính giá trị nh sau: ( ) SHIFT STO  ANPHA M + =  ANPHA M +  ANPHA M  ANPHA -1 -73756 M (-5) : ghi giÊy (23) : ghi giÊy - = (-118) : ghi giÊy -118 M + = (590) : ghi giÊy  ANPHA M + = (-2950) :  ANPHA M + = (14751) : ghi giÊy 14751  ANPHA M - (-73756) : ghi giÊy -73756 - = = -5 23 590 ghi giÊy -2950 x7 - 2x5 - 3x4 + x - = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm d: ta giải nh toán - Để tìm hệ số đa thức thơng: dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng phép chia đa thức P(x) cho (x + b ) sau nhân vào thơng với ta đợc đa thức thơng cần tìm a a Bài 14: Tìm thơng d phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Gi¶i: 1  - Thùc hiƯn phÐp chia P(x) cho x , ta đợc: 1  7  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x    x  x    Tõ ®ã ta ph©n tÝch: 2  4  1  7  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x    x  x    2  4  7 1 = (2x - 1)  x  x    8 2 Bµi 15: Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x + 3x2 - 4x + + m chia hÕt cho Q(x) = 3x +2 H.DÉn: - Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi ®ã: P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + vµ chØ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)  2  2 Ta cã: P1     m 0  m  P1    ta đợc m = Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x - 4x + + m; Q(x) = x + 3x2 - 5x + + n T×m m, n Tính máy giá trị đa thức P1(x) x để hai đa thức có nghiệm chung x0  H.DÉn: x0  1 nghiệm P(x) m = P1  , víi P1(x) = 3x2 - 4x +  2 x0  1 lµ nghiƯm cđa Q(x) th× n =  Q1   , víi Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 1 Tính máy ta đợc: m =  P1   = ;n =  Q1   =  2  2 4 Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x + 5x - 4x + 3x + m; Q(x) = x + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) XÐt ®a thøc R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ r»ng ®a thøc R(x) chØ cã nhÊt mét nghiƯm H.Dẫn: a) Giải tơng tự 16, ta có: m = ;n = b) P(x)  (x - 2) vµ Q(x)  (x - 2)  R(x)  (x - 2) Ta l¹i cã: R(x) = x - x2 + x - = (x - 2)(x + x + 3), v× x + x + > víi mäi x nªn R(x) chØ cã mét nghiƯm x = Bµi 18: Chia x8 cho x + 0,5 đợc thơng q1(x) d r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 đợc thơng q2(x) d r2 Tìm r2 ? H.DÉn: - Ta ph©n tÝch: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lợc đồ Hoocner, ta tính đợc hệ số đa thức q1(x), q2(x) số d r1, r2: 0 0 0    16  32 64  128  -1  16  16 64  16 VËy: r2  16 256 Phần II: Các toán DÃy số Máy tính ®iƯn tư Casio fx - 570 MS cã nhiỊu ®Ỉc điểm u việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dÃy số ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán học mà từ kết tính toán ta dự đoán, ớc đoán tính chất dÃy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát dÃy số, tính hội tụ, giới hạn dÃy từ giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải toán cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính số hạng dÃy số hình thành cho học sinh kỹ năng, t thuật toán gần với lập trình tin học Sau số quy trình tính số hạng số dạng dÃy số thờng gặp chơng trình, ngoại khoá thi giải Toán MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng dÃy số: 1) DÃy số cho công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n N* f(n) biểu thức n cho trớc Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = vào ô nhớ A : SHIFT - Lập công thức tính f(A) gán giá trị ô nhí : - LỈp dÊu b»ng: A STO A = A + = = Gi¶i thÝch: SHIFT f(A) : STO A A = A : ghi giá trị n = vào ô nhớ A + : tính un = f(n) giá trị A (khi bấm dấu thứ lần nhất) thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thứ hai) * Công thức đợc lặp lại Ên dÊu = VÝ dơ 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cđa d·y sè (un) cho bëi: n n   1   1    un              ; n 1, 2,3 Giải: - Ta lập quy trình tính un nh sau: SHIFT STO A (  ) ( ( ( + ( ( - )  ) A ANPHA = ANPHA A  )  ) ANPHA A )  ANPHA ANPHA : A - ANPHA + 1= - Lặp lại phím: = = Ta đợc kết qu¶: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55 2) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:  u1 = a   u n+1 = f(u n ) ; n  N* ®ã f(un) biểu thức un cho trớc Cách lập quy trình: - Nhập giá trị số hạng u1: a = - NhËp biĨu thøc cđa un+1 = f(un) : ( biểu thức un+1 chỗ có un ta nhËp b»ng ANS ) - LỈp dÊu b»ng: = Giải thích: - Khi bấm: a = hình u1 = a lu kết - Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lần thứ máy thực tính u2 = f(u1) lại lu kết - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc số h¹ng cđa d·y sè u3, u4 VÝ dơ 1: Tìm 20 số hạng đầu dÃy số (un) cho bëi:  u1 1  un    un 1  u  , n  N * n Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dÃy số nh sau: = ( (u1) ANS + )  ( ANS + ) = (u2) = = - Ta đợc giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dÃy số đợc xác định bởi:   u1   3 u  u , n N *    n n Tìm số tự nhiên n nhỏ để un số nguyên Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dÃy số nh sau: SHIFT ANS = =  = (u1) SHIFT 3 = (u2) (u4 = 3) VËy n = số tự nhiên nhỏ để u4 = số nguyên 3) DÃy số cho bëi hƯ thøc truy håi d¹ng:  u = a, u b   u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n  N* Cách lập quy trình: * Cách 1: Bấm phím: b SHIFT Và lặp lại dÃy phím: A + STO A  A + B  a + C SHIFT ANPHA A  B + C SHIFT STO B STO A