Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG I (Mệnh đề và vị từ) 1 a. Nếu biết mệnh đề PQ là sai, hãy cho biết chân trị của các mệnh đề sau: PQ P Q QP b. Cho các biểu thức mệnh đề sau: 1. (( PQ)R) (SM) . 2. ( P(QR)) (SM) Xác định chân trị của các biến mệnh đề P, Q, R, S, M nếu các biểu thức mệnh đề trên là sai. 2 Nếu Q có chân trị là T, hãy xác định chân trị của các biến mệnh đề P, R, S nếu biểu thức mệnh đề sau cũng là đúng (Q (( P R) S )) ( S ( R Q))
BÀI TẬP CHƯƠNG I (Mệnh đề vị từ) 1/ a Nếu biết mệnh đề PQ sai, cho biết chân trị mệnh đề sau: PQ P Q QP b Cho biểu thức mệnh đề sau: (( PQ)R) (SM) ( P(QR)) (SM) Xác định chân trị biến mệnh đề P, Q, R, S, M biểu thức mệnh đề sai 2/ Nếu Q có chân trị T, xác định chân trị biến mệnh đề P, R, S biểu thức mệnh đề sau (Q (( P R) S )) ( S ( R Q)) 3/ Cho đoạn chương trình sau a/ if (n>5) n=n+2 ; b/ if ((n+2 == 8) || (n-3==6)) n= 2*n + ; c/ if ((n-3==16) && (n / 5==1)) n= n + ; d/ if ((n21) && (n-7==15)) n= n - ; e/ if ((n / == 2) || (n+1==20)) n=n+1 ; Ban đầu biến nguyên n gán trị Hãy xác định giá trị n trường hợp sau: - Sau câu lệnh (nghĩa qua câu lệnh gán lại n = 7) - Sau tất lệnh (sử dụng kết câu lệnh trước để tính tốn cho câu sau) 4/ Cho đoạn chương trình C sau: a/ if (n-m == 5) n= n-2 ; b/ if ((2*m==n) && (n / ==1)) n=4*m - ; c/ if ((n0) && (t=3)))); Với cách gán giá trị biến sau, xác định trường hợp vịng lặp kết thúc a/ x= 7, y= 2, w= 5, t= 131 b/ x= 0, y= 2, w= -3, t= c/ x= 0, y= -1, w= 1, t= d/ x= 1, y= -1, w= 1, t= 6/ Trong phiên tòa xử án bị can có liên quan đến vấn đề tài chánh, trước tòa bị cáo tuyên thệ khai thật lời khai sau: Anh A: Chị B có tội anh C vơ tội Chị B: Nếu anh A có tội anh C có tội Anh C: Tơi vơ tội hai người có tội Hãy xét xem người có tội ? 7/ Cho mệnh đề phát biểu sau, tìm số lớn mệnh đề đồng thời a/ Quang người khôn khéo b/ Quang không gặp may mắn c/ Quang gặp may mắn không khôn khéo d/ Nếu Quang người khơn khéo Quang khơng gặp may mắn e/ Quang người khôn khéo Quang gặp may mắn f/ Hoặc Quang người khôn khéo, Quang gặp may mắn không đồng thời hai 8/ Cho a b hai số nguyên dương Biết rằng, mệnh đề sau có mệnh đề mệnh đề sai Hãy tìm cặp số (a, b) có 1/ a+1 chia hết cho b 2/ a = 2b + 3/ a+b chia hết cho 4/ a+7b số nguyên tố 9/ Không lập bảng chân trị, sử dụng công thức tương đương logic, chứng minh biểu thức mệnh đề sau a/ (PQ)P b/ P( P P) c/ P((Q (PQ))) d/ P Q P e/ ((PQ) (QR)) (PR) 10/ Không lập bảng chân trị, sử dụng công thức tương đương logic, xét xem biểu thức mệnh đề G có hệ F không ? a/ F = P(QR) G = (PQ)R b/ F = (PQ)(QR) G = P (Q R) c/ F = PQ G = ( P Q) (P Q ) 11/ Tương tự tập 10, chứng minh tương đương logic sau đây: a/ (PQ) P Q P b/ ( P Q ) R Q QR c/ ((PQ) (P Q )) Q PQ d/ P Q (( P Q) Q ) Q P 132 e/ (PQ) ( Q (R Q )) Q P f/ P (P (PQ) P g/ P Q ( P Q R) PQR h/ ( P Q ) (PQR ) PQ i/ P (( Q (RR)) Q ( R S ) ( R S ) ) P j/ (PQR) (P S Q ) (P S R) P (R (S Q ) 12/ Cho vị từ P(x) xác định sau: P(x) = {x 3} Q(X) = {x+ số lẻ} Nếu không gian tập số nguyên, xác định chân trị mệnh đề sau: a) P(1) b) Q(1) c) P (3) d) Q(6) e) P(7)Q(7) f) P(3)Q(4) g) P(4) h) P (4) Q ( 3) i) P (-4) Q (-3) 13/ Các vị từ P(x), Q(x) cho tập R(x) = {x > 0} Nếu không gian tập số nguyên a) Xác định chân trị biểu thức mệnh đề sau: P(3) [Q(3) R (3)] P (3) [Q(3) [Q(3) R(3)]] P(2) [Q(2) R(2)] [P(2) Q(2)] R(2) P(0) [ Q (1) R(1)] [P(-1) Q(-2)] R(-3) b) Xác định tất giá trị x cho [P(x) Q(x)] R(x) mệnh đề c) Tìm giá trị nguyên dương nhỏ x cho vị từ: P(x) [ Q (x) R(x)] biểu thức mệnh đề 14/ Cho vị từ P(x) xác định sau: P(x) = {x2 = 2x} không gian tập hợp số nguyên Xác định giá trị đúng, sai mệnh đề: a) P(0) b) P(1) c) P(2) d) P(-2) e) x P(x) f) x P(x) 15/ Cho vị từ biến P(x,y) Q(x,y) xác định sau: P(x,y) = {x2 y} Q(x,y) = {x+2 0) Q(x) = {x số chẵn} R(x) = {x số phương} S(x) = {x chia hết cho 4} T(x) = {x chia hết cho 5} a) Viết dạng ký hiệu mệnh đề sau: 133 Có số nguyên chẵn Tồn số nguyên dương số chẵn Nếu x chẵn, x khơng chia hết cho Khơng có số ngun chẵn chia hết cho 5 Tồn số nguyên chẵn chia hết cho Nếu x chẵn x số phương, x chia hết cho b) Xác định chân trị mệnh đề a) Với mệnh đề sai, cho dẫn chứng cụ thể c) Viết thành lời dạng ký hiệu sau: x [R(x) P(x)] x [S(x) Q(x)] x [S(x) T (x)] x [S(x) R (x)] x [ R (x) Q (x) S(x)] 17/ Cho vị từ không gian tập số thực sau: P(x) = {x 0) Q(x) = {x2 0} R(x) = {x2 - 3x -4 = 0} S(x) = {x2 - 0} Xác định giá trị đúng, sai biểu thức mệnh đề sau Cho dẫn chứng giải thích cụ thể: a) x [P(x) R(x)] b) x [P(x) Q(x)] c) x [Q(x) S(x)] d) x [R(x) S(x)] e) x [R(x) P(x)] 18/ Cho vị từ P(x), Q(x), R(x) xác định sau: P(x) = {x2 - 8x + 15 = 0) Q(x) = {x số lẻ} R(x) = {x 0} Trên tập không gian tất số nguyên, xác định giá trị đúng, sai biểu thức mệnh đề sau Cho dẫn chứng giải thích cụ thể: a) x [P(x) Q(x)] b) x [Q(x) P(x)] c) x [P(x) Q(x)] d) x [Q(x) P(x)] e) x [R(x) P(x)] f) x [P(x) R(x)] g) x [R(x) P(x)] h) x [ Q (x) P (x)] i) x [P(x) (Q(x) R(x))] j) x [(P(x) Q(x) R(x)] 19/ Cho vị từ P(x), Q(x), R(x) sau: P(x) = {x2 - 7x + 10 = 0) Q(x) = {x2 - 2x -3 = 0} R(x) = {x 0} a) Xác định giá trị đúng, sai biểu thức mệnh đề sau, cho dẫn chứng giải thích, khơng gian tập số nguyên x [P(x) R (x)] x [Q(x) R(x)] x [Q(x) R(x)] x [P(x) R(x)] + b) Câu hỏi phần a) không gian tập Z c) Câu hỏi phần a) không gian gồm số nguyên 2, 134 20/ Cho P(x) = {x học lớp ngày tuần} Không gian tập hợp sinh viên Hãy diễn đạt lượng từ sau thành câu thông thường a) x P(x) b) x P(x) c) x P (x) d) x P (x) 21/ Cho vị từ P(x,y) = {x học môn y} với không gian x tập hợp tất sinh viên lớp bạn không gian y tập hợp tất môn tin học học kỳ mà bạn học Hãy diễn đạt lượng từ sau thành câu thông thường: a) x y P(x,y) b) x y P(x,y) c) x y P(x,y) d) y x P(x,y) e) y x P(x,y) f) x y P(x,y) 22/ Cho vị từ: P(x) = {x nói tiếng anh} Q(x) = {x biết ngơn ngữ C++} Cho không gian tập hợp sinh viên lớp bạn Hãy diễn đạt câu sau cách dùng P(x), Q(x), lượng từ phép tốn logic a) Có sinh viên lớp bạn nói tiếng Anh biết C++ b) Có sinh viên lớp bạn nói tiếng Anh C ++ c) Mọi sinh viên lớp bạn nói tiếng Anh biết C ++ d) Khơng có sinh viên lớp bạn nói tiếng Anh biết C++ 23/ Cho vị từ: P(x) = {x sinh viên) Q(x) = {x kẻ ngu dốt} R(x) = {x kẻ vô tích sự} Bằng cách dùng lượng từ, phép toán logic với vị từ P(x), Q(x), R(x) Hãy diễn đạt câu sau với không gian tồn thể sinh viên: a) Khơng có sinh viên kẻ ngu dốt b) Mọi kẻ ngu dốt vơ tích c) Khơng có sinh viên vơ tích 135 CHƯƠNG II ( Suy luận chứng minh) 1/ Dùng quy tắc suy luận chứng minh rằng: p ( p q) ( s r ) (r q) s ( p q ) ( p (r q )) (r ( s t )) s t ( p (q r )) ( p s ) (t q ) s r t (( p q ) r ) (r ( s t )) ( s u ) (u t ) p 2/ Quy tắc suy luận dùng lập luận sau: a Những kanguroo sống Australia loài thú có túi Do đó, kanguroo lồi thú có túi b Hoặc hơm trời nóng 100 độ ô nhiễm nguy hại Hôm nhiệt độ ngồi trời thấp 100 độ Do đó, ô nhiễm nguy hại c Steve làm việc công ty tin học vào mùa hè Do đó, mùa hè làm việc công ty tin học kẻ lang thang ngồi bể bơi d Nếu tơi làm tập đêm tơi trả lời tất tập Nếu trả lời tất tập tơi hiểu tài liệu Do đó, tơi làm tập đêm tơi hiểu tài liệu 3/ Xác định xem suy luận sau có sở khơng Nếu suy luận có sở dùng qui tắc suy luận Nếu không ngụy biện sử dụng a Nếu n số thực lớn n2 > Giả sử n2 > Khi n > b Nếu n số thực n > 3, n2 > Giả sử n2 Khi đó, n c Một số nguyên dương số phương có số chẳn ước ngun dương Giả sử, n số nguyên dương có số lẻ ước nguyên dương Khi đó, n số phương 4/ Chứng minh bình phương số chẳn số chẳn bằng: a Chứng minh trực tiếp b Chứng minh gián tiếp c Chứng minh phản chứng 5/ Chứng minh tích số hữu tỷ số hữu tỷ 6/ Chứng minh số nguyên không chia hết cho bình phương chia cho dư 7/ Chứng minh n số nguyên dương n lẻ 5n + lẻ 8/ Có giả thiết - Mơn logic khó khơng có nhiều sinh viên thích mơn logic - Nếu mơn tốn dễ thi logic khơng khó Bằng cách chuyển giả thiết thành mệnh đề chứa biến toán tử logic Hãy xác định xem khẳng định sau kết luận có sở giả thiết cho khơng: 136 a/ Mơn tốn khơng dễ nhiều sinh viên thích mơn logic b/ Khơng có nhiều sinh viên thích mơn logic mơn tốn khơng dễ c/ Mơn tốn dễ mơn logic khó d/ Mơn logic khơng khó mơn tốn khơng dễ e/ Nếu khơng có nhiều sinh viên thích mơn logic mơn tốn khơng dễ logic khơng khó 9/ Một lớp học có 30 học sinh Các hoc sinh tham gia vào nhóm khiếu: nhóm Tốn có 17 em, nhóm Văn có 13 em Anh văn có 11 em, cịn 10 em khơng tham gia vào nhóm Chứng minh lớp có em tham gia đồng thời nhóm 10/ Mười điểm đường tròn đánh số phân biệt từ đến Chứng minh rằng, với cách đánh số, tìm điểm liên tiếp mà tổng số đánh cho chúng lớn 13 11/ Dùng nguyên lý qui nạp, chứng minh biểu thức tổng sau: n(n 1)(2n 1) i 1 n n(n 1)(n 2)(n 3) i(i 1)(i 2) i 1 n i a b n i(i)! (n 1)! - c i 1 n i (i 1)! (n 1)! d i 1 n n(n 3) i(i 1)(i 2) 4(n 1)(n 2) e i 1 n i.2 f i 1 n (n 1).2 n1 i 2.3 g i 1 n i 1 3n i(i 2) h i 1 n(n 1)(2n 7) 12/ Tìm cơng thức tính tổng sau sử dụng nguyên lý qui nạp để chứng minh cơng thức vừa tìm n a (2i 1) i 1 n b 2 i 1 i 1 n c i(3i 1) i 1 n d i(i 1) i 1 137 n e (2i 1) i 1 n f i(i 1) i 1 n g x i i 1 13/ Dùng nguyên lý qui nạp, chứng minh bất đẳng thức sau: a n > 3: 2n < n! b n > 4: n2 < n c n >= 6: 4n < n2 - d n > 10: n - < (n2 - n)/12 14/ n số nguyên lớn 1, x số thực khác Chứng minh x 1 số nguyên x n n số x x nguyên n 15/ n số nguyên lớn Tìm chữ số tận A 2 chứng minh kết luận 16/ Chứng minh tích số liên tiếp ln chia hết cho 17/ Chứng minh n số nguyên lớn 1, n viết dạng tích số nguyên tố 18/ Chứng minh bưu phí hay lớn 12 xu tạo tem xu hay xu Nguyên lý Dirichlet 19/ Chứng minh số nguyên tùy ý tìm số có tổng chia hết cho 20/ Chứng minh 11 số nguyên tùy ý tìm số mà hiệu bình phương chúng chia hết cho 20 21/ Chứng minh nhóm có n người tùy ý tìm người có số người quen nhóm 138 CHƯƠNG III (Đại số bool) 1/ Trên tập hợp số nguyên Z người ta định nghĩa quan hệ R sau: x R y x + y số chẵn R có phải quan hệ tương đương hay không ? Chứng minh 2/ Cho tập hợp A={1,2,3,4,5} Trên tích Descartes AxA người ta định nghĩa quan hệ R sau: (a,b) R (c,d) a+b = c+d a- Chứng minh R quan hệ tương đương b- Xác định lớp tương đương 3/ Chứng minh nhận xét giảng: “Hai lớp tương đương có chung phần tử nhau” 4/ Vẽ sơ đồ Hasse tập hợp thứ tự U 231 5/ N tập hợp số tự nhiên Trên tích Descartes NxN người ta định nghĩa quan hệ R sau: (a,b) R (c,d) khi: Hoặc a < c Hoặc a = c b d a- Chứng minh R quan hệ thứ tự b- Xác định phần tử tối đại phần tử tối tiểu 6/ (X,R) tập hợp thứ tự Trên X người ta định nghĩa thêm quan hệ S sau: xSyyRx Vậy S có phải quan hệ thứ tự hay khơng ? Chứng minh 7/ Chứng minh định lý giảng: (A,R) tập hợp thứ tự Chứng minh rằng: a- Nếu A có phần tử lớn phần tử b- Nếu A có phần tử nhỏ phần tử 8/ Cho (A,R) dàn, B tập hợp A B gọi dàn A (B,R) dàn Hãy tìm dàn U 30 9/ Chứng minh định lý giảng: Trong đại số bool phần tử có phần tử bù 10/ Chứng minh luật nuốt đại số bool 11/ Cho (A,R) đại số bool a , b, x A chứng minh rằng: a- aRb (a x ) R ( b x ) b- aRb (a x ) R ( b x ) c- aRb bR a 139 12/ Cho A l đại số bool X khác rỗng tập hợp A X gọi đại số A điều kiện sau thỏa: x, y X : 1) x y X 2) x y X 3) x X Chứng minh rằng: a)- Nếu X gọi đại số A X 1 X b)- Nếu X khác rỗng thỏa: x , y X : 1) x y X 2) x X X đại số A 13/ Cho (A,R) đại số bool, a phần tử thuộc A Xét tập hợp X {x A / xRa} Vậy (X, R ) có phải đại số bool khơng ? Chứng minh 140 BÀI TẬP MƠN TỐN RỜI RẠC Chương 1: Mệnh đề Vị từ Câu 1: Không lập bảng chân trị, sử dụng tương đương logic để chứng minh mệnh đề sau tương đương: a) p q p q True b) p q q True c) p q p r q r r True d) r q q p q p q r False e) p p q p r q r q r s r s p False f) p q p q q r q p q q r q Flase Câu 2: Không lập bảng chân trị, sử dụng tương đương logic để chứng minh mệnh đề sau tương đương: a) p r q r p q r b) p q p r p q r c) p q p q q p q q r q d) r q q p p q p q r e) p p q p r p q r q r s r s Câu 3: Dịch câu sau thành biểu thức logic cách sử dụng vị từ, lượng từ liên từ a) Khơng có hồn hảo b) Khơng phải người hoàn hảo c) Tất bạn bạn hoàn hảo d) Một số bạn bạn hoàn hảo e) Mọi người bạn bạn hồn hảo f) Khơng phải người bạn bạn có khơng hồn hảo Câu 4: Cho p q hai mệnh đề: p: Bạn lái xe với tốc độ 65km/h q: Bạn bị phạt vượt tốc độ cho phép Hãy viết mệnh đề sau cách dùng p, q liên từ logic a) Bạn không lái xe với tốc độ 65km/h b) Bạn lái xe với tốc độ trên 65km/h bạn khơng bị phạt vượt q tốc độ cho phép c) Bạn bị phạt vượt tốc độ cho phép bạn lái xe với tốc độ 65km/h d) Nếu bạn không lái xe với tốc độ 65km/h bạn khơng bị phạt vượt tốc độ cho phép e) Lái xe với tốc độ 65km/h đủ để bị phạt vượt tốc độ cho phép 150 f) Bạn bị phạt vượt tốc độ cho phép bạn không lái xe với tốc độ 65km/h g) Mỗi lần bạn bị phạt vượt tốc độ cho phép bạn lái xe với tốc độ 65km/h Câu 5: Giả sử p, q, r mệnh đề p: Gấu nhìn thấy vùng q: Đi theo đường mịn an tồn r: Quả mọng chín dọc theo đường mịn Dùng mệnh đề p, q, r liên từ logic để viết mệnh đề sau: a) Quả mọng chín dọc theo đường mịn đó, khơng thấy gấu vùng b) Khơng thấy gấu xuất vùng theo đường mịn an tồn, mọng chín chín dọc theo đường mịn c) Nếu mọng chín dọc theo đường mịn theo đường mịn an tồn khơng nhìn thấy gấu vùng d) Đi theo đường mịn khơng an tồn, khơng nhìn thấy gấu vùng mọng chín dọc theo đường mịn e) Để đường mịn an tồn, cần khơng đủ mọng chưa chín dọc theo đường mịn khơng nhìn thấy gấu vùng f) Đi đường mịn khơng an tồn nhìn thấy gấu vùng mọng chín dọc theo đường mịn Câu 6: Diễn đạt câu sau cách dùng vị từ lượng từ a) Một hành khách hãng hàng không coi hành khách cao cấp, người bay 25.000 dặm năm bay 25 chuyến năm b) Một vận động viên nam phép tham gia thi chạy maratong thành tích tốt trước giờ, cịn vận động viên nữ 3.5 c) Để nhận thạc sĩ, sinh viên phải lên lớp 60 tiết 45 tiết viết luận án thạc sĩ phải nhận điểm không điểm B tất mơn học d) Có sinh viên lấy 21 chứng học kì tất điểm A Câu 7: Cho vị từ sau đây: P(x): x đứa bé Q(x): x logic R(x): x có khả cai quản cá sấu S(x): x bị coi thường 151 Giả sử không gian tập hợp tất người Hãy dùng lượng từ, liên từ logic với P(x), Q(x), R(x) S(x) để diễn đạt câu sau: a) Những đứa bé phi logic b) Không bị coi thường cai quản cá sấu c) Những người phi logic bị coi thường d) Những đứa bé không cai quản cá sấu Câu 8: Cho L(x, y): “x yêu y”, với không gian x y tập hợp người giới Hãy dùng lượng từ để diễn đạt câu sau: a) Mọi người yêu Jerry b) Mọi người yêu c) Có người mà tất người yêu d) Khơng có u tất người e) Có người mà Lydia khơng u f) Có người mà khơng u g) Có người mà tất người yêu h) Có hai người mà Lynn yêu i) Mọi người yêu j) Có người khơng u ngồi Câu 9: Cho vị từ sau đây: S(x): “x sinh viên” F(x): “x thành viên khoa” A(x, y): “x hỏi y câu hỏi” Trong khơng gian x y gồm tất người có liên quan đến trường học Hãy dùng lượng từ để biểu diễn câu sau a) Lois hỏi giáo sư Micheals câu hỏi b) Mọi sinh viên hỏi giáo sư Gross câu hỏi c) Mọi thành viên khoa hỏi giáo sư Miller câu hỏi bị giáo sư Miller hỏi câu hỏi d) Có sinh viên khơng hỏi thành viên khoa câu hỏi e) Có thành viên khoa chưa sinh viên hỏi câu hỏi f) Có sinh viên hỏi tất thành viên khoa câu hỏi g) Có thành viên khoa hỏi thành viên khác khoa câu hỏi h) Có sinh viên chưa thành viên khoa hỏi câu hỏi 152 Chương 2: Suy luận toán học Câu 1: Dùng quy tắc suy luận chứng minh : a) t u p q r r s t s u p (Đề thi năm 2008) b) p q r s t r s u t u q t p (Đề thi năm 2014) c) p q r t r s p q p t s u u (Ôn tập 2015) d) p q r s t p p u q s r t u (Ôn tập 2015) Câu 2: Bằng cách dùng qui tắc suy luận xây dựng lập luận để chứng minh giả thiết “Randy làm việc chăm chỉ” “Nếu làm việc chăm chàng trai đần” “Nếu chàng trai đần không kiếm việc làm” Sẽ dẫn tới kết luận “Randy không kiếm việc làm” Câu 3: Bằng cách dùng qui tắc suy luận xây dựng lập luận để chứng minh giả thiết “Nếu trời khơng mưa khơng có sướng mù đua thuyền tổ chức trình diễn cứu hộ tiến hành” “Nếu đua thuyền tổ chức giải thưởng trao” “Giải thưởng không trao” Sẽ dẫn đến kết luận “Trời mưa” Câu 4: Dùng qui nạp toán học, chứng minh rằng: a) n 3.5i 3 3.5 3.52 3.5n i 0 b) n 2.(7) i 2 2.7 2.7 2. n i 0 c) n1 n (1) i1.i 12 2 32 1 n 1 (7) n1 n2 i 1 d) n i.2 n 12 i n 1 1n1 n.n 1 2 i 1 Câu 5: Máy trả tiền tự động ngân hàng có loại tiền $20 $50 Máy trả tài khoản tiền bao nhiêu, số lượng tờ giấy bạc hai loại không hạn chế? Hãy chứng minh câu trả lời bạn qui nạp toán học Câu 6: Chứng minh rằng, x số vơ tỉ số vô tỉ x Câu 7: Chứng minh rằng, n số nguyên n số nguyên lẻ n số chẵn cách dùng a) Chứng minh gián tiếp b) Chứng minh phản chứng 153 Câu 8: Chứng minh số vô tỉ Câu 9: Chứng minh log p q số vô tỉ 154 Chương 3: Quan hệ Câu 1: Liêt kê cặp quan hệ R từ A={0,1,2,3,4} đến B={0,1,2,3}, (a,b) thuộc R a) a = b b) a+b=4 c) a>b d) a|b (a ước b) e) UCLN(a,b)=1 f) BCNN(a,b)=2 Câu 2: Xác định xem quan hệ R tập tất số thực có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu hay không? với (x, y) thuộc R a) x y b) xy c) x= y +1 hay x= y-1 d) x y (mod 7) e) x bội số y f) x y dều âm không âm g) x y h) x y Câu 3: Trong quan hệ đây, cho biết quan hệ có tính phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu : a) Quan hệ R tập Z: xRy x+y chẵn b) Quan hệ R tập Z: xRy x-y lẻ c) Quan hệ R tập Z: xRy x2+y2 chẵn d) Quan hệ R tập R: xRy |x|=|y| Câu 4: Các quan hệ số quan hệ tập {0, 1, 2, 3} cho quan hệ tương đương? Xác định tính chất quan hệ tương đương mà quan hệ khác khơng có a) {(0,0), (1,1), (2,2),(3,3)} b) {(0,0),(0,2),(2,0),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} c) {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,2),(3,3)} Câu 5: Vẽ sơ đồ Hasse U12 Câu 6: Vẽ sơ đồ Hasse cho quan hệ chia hết tập a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b) {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13} c) {1, 2, 3, 6, 12, 24, 36, 48} d) {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} 155 Câu 7: Chứng minh quan hệ R chứa tất cặp (x, y), x y xâu bit có độ dài lớn có bít quan hệ tương đương tập tất xâu bit có độ dài lớn Câu 8: Vẽ sơ đồ Hasse cho quan hệ chia hết tập a) {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13} c) {1, 2, 3, 6, 12, 24, 36, 48} d) {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} Câu 9: Hãy trả lời câu hỏi tập xếp phận 3, 5, 9, 15, 24, 45, | a) Tìm phần tử cực đại b) Tìm phần tử cực tiểu c) Có phần tử lớn khơng? d) Có phần tử nhỏ khơng? e) Tìm tất cận tập {3, 5} f) Tìm cận nhỏ {3, 5}, tồn g) Tìm tất cận tập {15, 45} h) Tìm cận lớn tập {15, 45}, tồn 156 Chương 4: Đại số Bool & Chương 5: Đơn giản công thức Câu 1: E tập hợp số nguyên từ đến 15 Hãy tìm phủ tối tiểu E từ tập hợp xác định sau : A1 : tập hợp số nguyên tố thuộc E A2 : tập hợp phần tử thuộc E ước 140 A3 : tập hợp phần tử E bội A4 : tập hợp phần tửcủa E códạng bình phương lập phương A5 : tập hợp phần tử E từ đến 12 A6 : tập hợp phần tử E mà tổng chữ số phần tử từ4 đến Câu 2: Cho hàm bool f sau đây: a) f 1110.0101.1110.0001 b) f 0010.1101.0010.1101 c) f 0100.1101.1101.1111 d) f 1010.1101.0110.0111 Với hàm bool f thực công việc sau đây: Lập bảng chân trị cho hàm bool f Viết dạng tuyển chuẩn tắc dạng hội chuẩn tắc cho hàm bool f Tìm cơng thức tối tiểu hàm bool f phương pháp Karnaugh, Consensus, Quine Mc.Cluskey Dùng cổng NOT, AND, OR thiết kế mạch biểu diễn cho công thức tối tiểu f Câu 3: Cho sơ đồ Karnaugh sau đây: a) b) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 157 c) d) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Với sơ đồ Karnaugh thực công việc sau đây: Hãy tìm hàm bool sơ đồ Karnaugh Viết dạng tuyển chuẩn tắc dạng hội chuẩn tắc cho hàm bool f Tìm nguyên nhân nguyên tố hàm bool f Lập hệ phương trình bool để tìm phủ tối tiểu nguyên nhân nguyên tố cho nguyên nhân f giải hệ phương trình để tìm cơng thức tối tiểu Dùng cổng NAND thiết kế mạch biểu diễn cho công thức tối tiểu f Dùng cổng NOR thiết kế mạch biểu diễn cho công thức tối tiểu f Câu 3: Cho hai hàm bool biến f g có cơng thức sau: f a d b c g a c b d Hãy vẽ sơ đồ Karnaugh f g Suy sơ đồ Karnaugh h fg f g Tìm cơng thức tối tiểu h Câu 4: Tìm cơng thức tối tiểu phương pháp Consensus Quine Mc Cluskey hàm bool f sau đây: a) f abcd abcd abc d abcd abc d abc d abcd abcd b) f abc d abcd abc d abc d abcd abcd abc d abcd c) f abcd abc d abc d abcd abc d abcd abcd abcd d) f ab d abcd abc d abc d abcd abc d abc d abc 158 Chương 6: Lý thuyết chia đồng dư Câu 1: Tìm số dư biểu thức sau: A 4907 4567 17251213 chia cho 14 B 67451234 60581213 chia cho 777 333 C 333555 777 555 chia cho 10 15 D 1515 chia cho 49 11 E 1111 chia cho 30 F 29 2003 chia cho 1000 Câu 2: Tìm hai chữ số a b: a) a+b=66, (a, b)=6 hai số a b có số chia hết cho b) a.b 75 (a, b) c) a b 128 (a, b) 16 Câu 3: Cho a Z ; m, n N * Chứng minh (a n a m ) a Câu 4: Với số nguyên n , dùng phép chứng minh quy nạp chứng minh rằng: (Bài 11) a n 15n 19 b 32 4n 1 211 c 33n 3 26n 27169 d 2n 1 n 31 Câu 5: Chứng minh n N * ta có: a b 10 n 10 3n (mod 111) n 1 48n (mod 288) Câu 6: Cho a b hai số nguyên lẻ Chứng minh rằng: a b n a b2n Câu 7: Chứng minh với n ta có: a b 22 6n2 2137 32 4n 1 23 n 1 11 159 c 72 4n 1 n 3 43 n 1 65 100 40n 27 64 d e n 6n3 11n 6n 24 Câu 8: Giải hệ phương trình đồng dư sau: 3x (mod 7) a 2 x (mod 5) 5 x (mod 9) x a (mod 6) b x (mod 8) x 11 (mod 21) x 22 (mod 35) c 20 x 14 (mod 18) x 10 (mod 14) 160 Chương 7: Phép đếm Câu 1: Một chuỗi chữ số gồm ký tự: chữ theo sau chữ số Có cách viết chuỗi khác nếu: a Chữ chữ số không lặp lại? b Chữ chữ số lặp lại? c Cho phép lặp lại, chữ gồm nguyên âm ( A, E, I, O, U) số gồm số chẵn ? Câu 2: Có xâu nhị phân có độ dài 10 có bit bit cuối 1? Câu 3: Có xâu nhị phân có độ dài 10 bắt đầu bit kết thúc bit 0? Câu 4: Cho biết nhận xâu ký tự khác cách xếp lại chữ từ SUCCESS Câu 5: Có cách xếp khác cho chữ từ VISITTING? Có cách xếp cho chữ I đặt cạnh nhau? Câu 6: Tương tự tập với từ MASSASAUGA kí tự A Câu 7: Hỏi phải chọn số từ tập hợp A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} để đảm bảo nhận cặp số có tổng 7? Câu 8: Có xâu bit có độ dài 10 chứa a) Đúng bốn bit 1? b) Nhiều bốn bit 1? c) Ít bốn bit 1? d) Số bit số bit 1? Câu 9: Có người đứng xếp thành hàng ngang để chụp ảnh Hỏi bố trí kiểu Câu 10: Có cách chọn cầu thủ cầu thủ đội cờ vua để thi đấu quốc tế? Câu 11: Có n đội bóng thi đấu vòng tròn Hỏi phải tổ chức trận đấu? Câu 12: Trong lớp CNTT Khóa K46 có 45 SV học tiếng Anh, 30SV học tiếng Pháp 10 SV học tiếng Anh Pháp a) Tính số SV CNTT K46, biết lớp không hai thứ tiếng b) Cho biết sĩ số lớp 70 Hỏi có SV khơng biết ngoại ngữ Anh, Pháp Câu 13: Có cách tuyển số 10 cầu thủ đội quần vợt để thi đấu 161 Câu 14: Có khả xảy vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba đua có 12 ngựa, thứ tự tới đích xảy ra? Câu 15: Có 100 vé đánh số từ đến 100 bán cho 100 người khác Người ta trao giải thưởng kể giải độc đắc Hỏi b Có cách trao giải thưởng? c Có cách trao giải thưởng người giữ vé 47 trúng giải độc đắc? Câu 16: Một câu lạc có 25 thành viên a Có cách chọn thành viên vào ủy ban thường trực ? b Có cách chọn chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký thủ quỹ ? Câu 17: Giả sử tổ mơn có 10 nam 15 nữ Có cách chọn hội đồng gồm ủy viên, số ủy viên nam với số ủy viên nữ? Câu 18: Để chuẩn bị mở đại diện văn phịng nước ngồi, giám đốc Cơng ty X cần chọn luật sư công ty chọn cố vấn địa ốc cố vấn địa ốc công ty làm việc văn phịngđại diện nước ngồi Hỏi có cách chọn đại diện theo nguyên tắc trên? Câu 19: Trong trường đại học có 18SV xuất sắc Tốn 325SV xuất sắc CNTT a Có cách chọn đại diện cho sv Tốn, cịn người sv CNTT? b Có cách chọn đại diện sv Toán sv CNTT? Câu 20: Biết có 1232sv học tiếng Tây Ban Nha, 879sv học tiếng Pháp 114sv học tiếng Nga,103sv học TBN Pháp, 23sv học TBN Nga, 14sv học Pháp Nga Nếu tất 2092sv theo học ngoại ngữ có sv học thứ tiếng? Câu 21: GS Khoa CNTT có tổng số 2504sv Trong có 1876sv học Pascal; 999sv học Fortran; 345sv học C Ngồi có 876sv học Pascal Fortran; 232sv học Fortran C; 290sv học Pascal C Nếu có 189sv học mơn khoa có sv khơng học môn nào? Câu 22: Đếm số n gồm chữ số, nếu: a) n chẵn b) n lẻ gồm chữ số khác c) n chẵn gồm chữ số khác Câu 23: Có xâu nhị phân độ dài không chứa số liền? Câu 24: Đếm số byte a) Bất kỳ b) Có hai bit c) Có bit d) Bắt đầu 00 kết thúc 00 e) Bắt đầu 11 kết thúc Câu 25: Có cách chọn tờ giấy bạc từ két sắt đựng tiền gồm tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10000đ, 20000đ,50000đ, 100000đ Giả sử thứ tự tờ tiền 162 chọn không quan trọng, tờ tiền loại không phân biệt loại có tờ Câu 26: Có loại học bổng khác nhau, hỏi có sinh viên để chắn có người nhận học bổng Câu 27: Trong phòng họp có n người, tìm người có số người quen số người dự họp Câu 28: Số mã vùng cần thiết nhỏ phải để đảm bảo 25 triệu máy điện thoại nước có số điện thoại khác nhau, số có chữ số (giả sử số điện thoại có dạng 0XX - 8XXXXX với X nhận giá trị từ đến 9) Câu 29: Trong lớp co nam sinh nữ sinh ưu tú (trong có nam sinh Cường nữ sinh Hoa) Cần lập ban cán lớp gồm người với u cầu có nữ sinh, ngồi Cuờng Hoa khơng thể làm việc chung với ban cán Hỏi có cách lập ban cán sự? Câu 30: Tìm số hạng đâu tiên xác định hệ thức truy hồi điều kiện đầu sau đây: a) b) c) d) e) a n 6a n 1 , a 2; a n a n21 , a1 2; a n a n1 3a n 2 , a0 1, a1 2; a n na n 1 n a n , a 1, a1 1; a n a n 1 a n 3 , a0 1, a1 2, a 0; Câu 31: Chứng tỏ dãy {an} nghiệm hệ thức truy hồi a n a n 1 2a n 2 2n , a) b) c) d) a n n 2; a n 5(1) n n 2; a n 3(1) n n n 2; a n 7.2 n n 2; Câu 32: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi điều kiện đầu sau a) b) c) d) e) f) a n 3a n 1 , a0 2; a n a n 1 2, a0 3; an an an an a n1 n, a0 1; a n 1 2n 3, a 4; 2a n 1 1, a0 1; 3a n 1 1, a0 1; Câu 33: Một người gửi 1000 đô la vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 9% năm 163 a) Hãy thiết lập hệ thức truy hồi cho tổng số tiền có tài khoản vào cuối năm thứ n b) Tìm cơng thức tường minh cho tổng số tiền có tài khoản vào cuối năm thứ n c) Sau 100 năm tổng số tiền có tài khoản bao nhiêu? Câu 34: Một nhà máy sản xuất ô tô thể thao theo đơn đặt hàng với tốc độ ngày tăng Tháng đầu sản xuất chiếc, tháng thứ hai sản xuất hai tháng thứ n sản xuất n a) Hãy lập cơng thức truy hồi tính số tơ sản xuất n tháng nhà máy b) Bao nhiêu ô tô sản xuất năm năm đầu tiên? c) Hãy tìm cơng thức tường minh tính số ô tô sản xuất n tháng nhà máy Câu 35: a) Tìm hệ thức truy hồi cho số xâu nhị phân độ dài n, chứa bit liên tiếp b) Tìm điều kiện đầu c) Có xâu có độ dài 7? Câu 36: a) Tìm hệ thức truy hồi cho số xâu nhị phân độ dài n, chứa bit liên tiếp b) Tìm điều kiện đầu c) Có xâu có độ dài 7? 164