Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG Câu 1: Bài tập tiệm cận đồ thị hàm số nâng cao Cho hàm số y = x −3 Có giá trị nguyên thuộc đoạn x − 3mx + (2m2 + 1) x − m  −2020; 2020 tham số m A 4039 để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? B 4040 C 4038 20 + x − x Câu 2: Cho hàm số y = Câu 3: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số có hai x − x + 2m đường tiệm cận đứng A m   6;8 ) B m  ( 6;8 ) C m  12;16 ) D m  ( 0;16 ) Số đường tiệm cận đồ thị hàm số A Câu 4: D 4037 B (x y= − ) ( x − 3) ( x + 1) f ( f ( x ) − 1) C D Cho đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d hình vẽ đây: 3x − x − Đồ thị hàm số g ( x ) = có đường tiện cận đứng f ( x) − f ( x) A B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C D Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số Câu 5: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có bảng biến thiên hình bên Đồ thị hàm số g ( x ) = 2x + − 4x + có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận f ( x ) −1 ngang A Câu 6: x − 3x + x − có đường tiệm cận? x  f ( x ) − f ( x )  A C B D Cho hàm trùng phương y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y= (x )( − x2 + x Biết đồ thị hàm số y = A )  f ( x )  + f ( x ) − A Câu 8: D Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = Câu 7: C B −4841 152 có tổng cộng tiệm cận đứng? C B x + + ax + b ( x − 5) B −4814 152 D khơng có tiệm cận đứng Tính a + b C 4841 152 D 4814 152 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 9: −c d   x− a c Biết tích phân I =   + x +  e x dx = 3.e − e , phân số ; tối giản b d x  1 a b Hãy xác định phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = 25 B y = 25 53 C y = 25 ax + b cx + d D y = Câu 10: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tổng giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) = tiệm cận A 15 ( Câu 12: A B Câu 13: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị sau | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh x − + mx − 2m − có 3x − 14 x + 20 x − D Vô số C ) − x − ln ( x + 1) x3 − x C có đường D 11 Câu 11: Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x) = hai đường tiệm cận? A B ) f f ( x) + − m C 13 B ( Số đường tiệm cận đồ thị hàm số: f ( x ) = 2020 là: D Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số Gọi M , m số tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số (x y= ) − x − x − x x − 17 x + 16 ( f ( x ) − x − 3x A M = 3m Câu 14: Đồ thị hàm số y = ) Khi mệnh đề đúng? B M = 3m ( ( 2x − 3) )( x + −1 ngang A C M = m x2 + 2x − 4x2 + x + + 2x B ) D M = m có tổng số đường tiệm cận đứng, tiệm cận C D  x2 − x + x   Câu 15: Đồ thị hàm số y = f ( x ) =  x ( x − ) có tất đường tiệm cận?   x + x + + x x  A B C D Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 20 x + ( m + 24 ) x − m 20 x + 14 x + − ( 14 x + 11) x + có đồ thị ( C ) Gọi S tập hợp giá trị m để ( C ) có tiệm cận đứng Tổng giá trị S B −3 A −1 C −5 Câu 17: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục D −7 có hai đường tiệm cận ngang y = −5, y = Tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có đường tiệm cận ngang A m = B m = −2 Câu 18: Cho hàm số f ( x ) = x cận ngang y = A ( −5; −3 ) ( C m = D m = ) ax + bx − − x − x + Biết đồ thị hàm số có đường tiệm Giá trị a + b thuộc khoảng khoảng sau? B ( −3; ) C ( 0; ) Câu 19: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b , c , d  D ( 3; ) ) có đồ thị hình vẽ sau đây: Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Đồ thị hàm số g ( x ) = A x ( x − 2) f ( x) − f ( x) có đường tiệm cận đứng? B C D Câu 20: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x −1 có đường x − 2mx + tiệm cận A m  B −2  m  m    m  −2 C    m  Câu 21: Gọi S tập giá trị m cho đồ thị hàm số y = đường tiệm cận Số phần tử S là: A B m  D   m  −2 x −1 có hai x − 2mx + m2 − 2m − C D Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a  ) có đồ thị hình Gọi S tập giá trị nguyên m thuộc khoảng ( −2019; 2020 ) để đồ thị hàm số g ( x) = ( x + 1) ( f ( x ) − 2) ( x f ( x) − 2mx + m + ) Số phần tử tập S A 2016 B 4034 có đường tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang) C 4036 D 2017 Câu 23: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = (x − 2x) 1− x ( x − 3)  f ( x ) + f ( x )  A B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh có đường tiệm cận đứng? C D Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C 13.C 14.A 15.C 16.C 17.C 18.D 19 20 21 22 23 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B Ta có lim y = lim y = 0, suy y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →+ x →− Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đồ thị hàm số có đường tiệm cận 2 đứng, hay x − 3mx + (2m + 1) x − m = (1) có nghiệm phân biệt khác Ta có x3 − 3mx + (2m + 1) x − m =  ( x − m ) ( x − 2mx + 1) = x = m   f ( x ) = x − 2mx + = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác phương trình ( ) có nghiệm phân m     m  −1    m2 −      m  −1  biệt khác m  f ( 3)   32 − 6m +   m   m     m − 2m +     f ( m)  m  1    Vì m số nguyên thuộc đoạn  −2020; 2020 nên có 4038 giá trị tham số m Câu 2: Chọn B Ta có tập xác định hàm số phải thỏa mãn x − x    x  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng phương trình x − x + 2m = có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2  2 Ta có: x − x = −2m Đặt f ( x ) = x − x Ta có bảng biến thiên hàm f ( x ) đoạn  0;6 Yêu cầu toán  −16  −2m  −12   m  Câu 3: Chọn A Hàm số bậc bốn có dạng y = ax + bx + cx + dx + e ( a  ) Ta có: y = 4ax3 + 3bx + 2cx + d Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Từ đồ thị hình vẽ cho ta thấy: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ( −1;0 ) , ( x0 ; y0 ) , ( 2;0 ) với  x0  1; y0  Ngoài đồ thị hàm số qua điểm ( −2;3) , ( 3;3)  y ( −1) = −4a + 3b − 2c + d =  a = 32a + 12b + 4c + d =  y ( ) = b = −2   y −1 =  ( ) a −b+c −d +e =     c = −3 Từ ta có:   y ( 2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = d =  y −2 = 16a − 8b + 4c − 2d + e =   ( )  e = 81a + 27b + 9c + 3d + e =  y ( 3) =  Suy bậc bốn y = f ( x ) = x − x − 3x + x + Ta có: f ( x ) = x − x3 − 3x + x + = ( x + 1) ( x − ) Từ ta có hàm − ) ( x − 3) ( x + 1) f ( f ( x ) − 1) (( x + 1) ( x − 2) ) (( x + 1) ( x − 2) − 3) 2 2 f − ) ( x − 3) ( x + 1) (( x + 1) ( x − 2) −1) 2 2 ( x − ) ( x + ) ( x − 3)( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − ) ( ( x + 1) ( x − ) 4  y = g ( x) = −3 ) ( x + 1) ( x − ) 4 (x ( − x−2− Xét ( x + 1) ( x − ) x − x − − ( x − ) ( x + ) ( x − 3)( x + 1) ( x − x + 1) 4 ) (x Ta có: lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = x →−1 x →2 2 ) (x 2 − x−2+ − x−2+ ) Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 9+4 = x1 9+4 = x2 9−4 = x3 9−4 = x4 −256 ; lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = + ; lim g ( x ) = − ; x → x1 x → x2 x → x3 81 x → Chọn C )  x = −1 x =   x = 1+   =  x = 1−    1+ x =   1− x =  lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = x → x4 Câu 4: (x  y= 4  y= số ( x − ) ( x + ) ( x − 3)( x + 1) ( x − x + 1)  y= (x y= Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số  f ( x) = Xét phương trình f ( x ) − f ( x ) =    f ( x ) = Dựa vào đồ thị ta suy ra:  x = −2 Phương trình f ( x ) =   , với x = −2 nghiệm đơn x = nghiệm kép x = Suy ra: f ( x ) = a ( x + )( x − 1) , ( a  ) x =  Phương trình f ( x ) =   x = m ( −2  m  −1) , nghiệm nghiệm đơn x = n n  ( )  Suy f ( x ) − = ax ( x − m )( x − n ) , ( a  ) ( x − 1)( 3x + ) = ( x − 1)( 3x + ) f ( x )  f ( x ) − 2 3a ( x + )( x − 1)2 x ( x − m )( x − n ) ( 3x + ) = , ( a  0) 3a x ( x + )( x − 1)( x − m )( x − n ) Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng Cách 2: Chọn hàm số f ( x ) Ta có f ( x ) = ax + bx + cx + d Đồ thị hàm số qua điểm A ( −2;0 ) , B ( −1; ) , C ( 0; ) , D (1;0 ) Khi đó: g ( x ) = a = b =  suy  hay f ( x ) = x − 3x +  c = −3  d =  Khi đó: 3x − x − 3x − x − 3x2 − x − g ( x) = = = f ( x ) − f ( x ) f ( x ) ( f ( x ) − ) ( x3 − x + )( x − x ) = ( x − 1)( 3x + ) ( x + )( x − 1) x ( x − 3) Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng Câu 5: Chọn B  x  − Hàm số g ( x ) xác định   f ( x )  1  Ta có y = f ( x ) hàm bậc ba dựa vảo bảng biến thiên ta có y = a ( x − 1) y= a x − ax + b Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  a − +a+b =3 a =  y ( −1) =     y = x3 − 3x +  y = − a b =   ( )  − a + b = −1  + −3 + 2x + − 4x + x x x =0 lim g ( x ) = lim = lim x x →+ x →+ x →+ 1 x − 3x + − 1− + − x x x  y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số ( )( ) x2 − 8x + f ( x ) + 2x + − 4x + g ( x) = = f ( x) −1 f ( x) −1 2x + + 4x + ( = = = ( x − 1) ( f ( x ) + 1) ( f ( x ) − 1) ( f ( x ) + 1) ( x + + ( )( )( ( x − 1) ) 4x + ) ( f ( x ) + 1) ( x x + x − ( x + )( x − 1) x + + x + ( )( ( ) f ( x) +1 ) ( ) x x + x − ( x + 2) 2x + + 4x + ) )  x=0 (vì x  − x x + x − ( x + 2) 2x + + 4x +   x = ( )( ) ( )  lim+ g ( x ) = −  x →0  x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số  g ( x ) = +  xlim − →0  lim+ g ( x ) = +  x→  x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số  g x = − ( )  xlim  → 3− Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang y = tiệm cận đứng y = Câu 6: Chọn C Điều kiện xác định hàm số g ( x ) x  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số x =  Xét phương trình x  f ( x ) − f ( x )  =  x f ( x )  f ( x ) − 1 =   f ( x ) =  f x =1  ( ) Xét phương trình f ( x ) = có nghiệm kép x = nghiệm đơn x =  x = a,  a  Xét phương trình f ( x ) = có ba nghiệm đơn  x = b,  b  2, b  a Ta thấy  x = c, c  Nên khơng tính tổng quát, ta có + f ( x) =  + f ( x) =   lim f ( x ) = +  x→+  f ( x ) = −  xlim →− ( x − 1)( x − ) = ( x − a )( x − b )( x − c ) = Do đó: g ( x) = x − 3x + x − x − 3x + x − = x  f ( x ) − f ( x )  x ( x − 1)( x − ) ( x − a )( x − b )( x − c ) Khi  lim+ g ( x )  x →0 +  không tồn giới hạn  x = không tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) lim g x ( )   x → 0− + lim+ g ( x ) = lim+ x →1 x →1 x − 3x + x − x ( x − 1)( x − ) ( x − a )( x − b )( x − c ) = +  x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x )  x − 3x + x − lim g x = lim = −  x → 2+ ( ) x → 2+ x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim  x →2− ( ) x →2− x x − x − 2 x − a x − b x − c = + ( )( )( )( )( )   x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x )  x − 3x + x − lim g x = lim = −  x→a+ ( ) x →a+ x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim  x →a− ( ) x →a − x x − x − 2 x − a x − b x − c = + ( )( )( )( )( )   x = a tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x )  x − 3x + x − lim g x = lim = +  x →b + ( ) x →b + x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim  x →b− ( ) x →b− x x − x − 2 x − a x − b x − c = − ( )( )( )( )( )   x = b tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  x − 3x + x − g x = lim = + ( )  xlim →c + x →c + x x − x − ( )( ) ( x − a )( x − b )( x − c )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim = − ( )  x →c − x →c − x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )   x = c tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) + lim g ( x ) = lim x → x → x − 3x + x − x ( x − 1)( x − ) ( x − a )( x − b )( x − c ) =0  y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số g ( x ) Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận Câu 7: Chọn D Ta có: (x )( ) ( x − )( x + ) x ( x + ) = ( x − )( x + ) x y= = 2  f ( x )  + f ( x ) −  f ( x )  + f ( x ) −  f ( x )  + f ( x ) − − x2 + 2x  x = m, m  −2  x=0   f ( x) =   x = n, n  Xét  f ( x )  + f ( x ) − =   f x = − ( )   x=2   x = −2 Dựa vào đồ thị ta thấy nghiệm x = 0; x = 2 nghiệm kép (nghiệm bội 2) Do đa thức  f ( x )  + f ( x ) − có bậc ( x − )( x + ) x y= 2 2 a x ( x + ) ( x − ) ( x − m )( x − n ) Suy = a x ( x − )( x − m )( x − n ) Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 0, x = 2, x = m, x = n Câu 8: Chọn A Xét hàm số f ( x ) = 3x + + ax + b có f  ( x ) = 3x + +a Để hàm số khơng có tiệm cận đứng: f ( x ) = ( x − ) g ( x )   3.5 + + a.5 + b = 5a + b = −4  f ( ) = b =         −3 +a=0  f  ( ) =  a = a =   3.5 +  −17 −3  −1   −3  −4814 Nên a + b =   +   = 152     Câu 9: Chọn B Ta có I =  e x− x2  dx +   x + x 1 3 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 2 x−  x − x2  x e d x I = e dx ; I =   x + = I + I , với  1  x  1 3 3  x − x2 .e dx  Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số    x − x2  x− x du =  +  e dx  Tính I1 =  e x dx Đặt u = e  x   dv = dx v = x  x− Ta có I1 = x.e x− x  −  x + x 1 25 −353  x − x2 .e dx = 3e − e − I  −353 Do I = I1 + I = 3e − e 25 Ta có a = 25; b = ; c = 53; d = Suy hàm số y = Khi đồ thị hàm số y = 25x + 53x + 25x + 25 có phương trình đường tiệm cận ngang y = 53x + 53 Câu 10: Chọn D Ta thấy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận ngang y = Để đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận phương trình f ( f ( x ) + 1) − m = có nghiệm phân biệt Đặt h ( x ) = f ( f ( x ) + 1) Khi đó, h ( x ) = f  ( x ) f  ( f ( x ) + 1)  f ( x) =  f ( x) =  x  1,2  f ( x) =    h ( x ) =     f ( x ) + =   f ( x ) =   x  x1 ; x2 ; x3   f  f ( x ) + =     f ( x ) + =  f ( x ) =  x  x4 ; x5 ; x6  ( (x )  x4   x5  x2   x3  x6 ) Ta có h ( x1 ) = h ( x2 ) = h ( x3 ) = f ( f ( x1 ) + 1) = ; ( ) ( ) ( ) h ( x4 ) = h ( x5 ) = h ( x6 ) = f f ( x4 ) + = −1 ; h ( 1) = f f ( 1) + = 14 ; h ( ) = f f ( ) + = −13 Bảng biến thiên: Căn vào bảng biến thiên để phương trình f ( f ( x ) + 1) − m = có ba nghiệm phân biệt thì:   m  14  − 13  m  −  Câu 11: Chọn B  x   x − + mx − 2m − lim x   Điều kiện xác định: Ta có x→+ 3x3 − 14 x2 + 20 x − = với m   x   Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Ta có y = f ( x) = x − + mx − m − ( x − ) ( 3x − ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Yêu cầu tốn trở thành, tìm m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 2 x = 3 Nếu x − + mx − m − nhận x = nghiệm m = − Khi 3 6x − − x −3 lim = lim = 2   32 x→ ( x − ) ( 3x − ) x→ 3 4( x − 2)  6x − + x    6x − − x −3 lim+ = lim+ = − x→2 ( x − ) ( 3x − ) x→2 ( x − )  x − + x    Suy x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Nếu   6 x − + mx − 2m − = ( x − )  + m  nhận x = nghiệm kép m = −1  6x − +  Khi lim 2 x →   3 lim x→2 6x − − x − + ( x − ) ( 3x − ) 6x − − x − ( x − ) ( 3x − ) Suy x = 2 = lim x→2 = lim + 2 x →   3 ( 3x − ) ( ( 3x − ) ( −1 6x − + x + −1 6x − + x + ) =− ) = − 24 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số  3 Vậy có hai giá trị m  −1; −  thỏa mãn toán 2  Câu 12: Chọn C Tập xác định: D = ( −1; + ) \0;1 Ta có : 3   − x −  ln ( x + 1)   = lim x→+ x −x 3  3  2  − x −  ln ( x + 1)  − x −  ln ( x + 1)    = lim  = 2−39 lim x x −x x −1 x→0+ x→0+ 3  3  2  − x −  ln ( x + 1)  − x −  ln ( x + 1)    = lim  = 2−39 lim x x −x x −1 x→0− x→0− 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số 3  − x2 ln ( x + 1)  − x −  ln ( x + 1)   = lim lim −x   + + x x→ −1 x→ −1 x2 − x  − x + 23 − x +      ( ) ( ( = ) ) − ln ( x + 1) = − lim   + x→ −1 x  − x2 + 23 − x2 +      ) ( 3   − x −  ln ( x + 1)   = lim lim x −x x→1+ x→1+ (1 − x2 ) ln ( x + 1)   2 − x  − x2 + 23 − x2 +  x ( )( )    − ln ( x + 1) = lim = ln  12 x→1+  3 x − x2 + − x2 +      ) ( 3   − x −  ln ( x + 1)  = ln Tương tự lim  12 − x − x x→1 Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận y = x = −1 Câu 13: ChọnC Từ giả thiết, ta có f ( x ) = x − 3x + Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = g ( x ) (x = ) − x − x − x x − 17 x + 16 ( x − 3x + x − 3x ) x2 − x   x  −4   Điều kiện xác định:  x − 17 x + 16    −1  x  −   x  2  x − 3x + x − x   ( )    17 16   − x −  − x − + x  x x  lim g ( x ) = lim  = x →+  x→+   3   − x +   − x  x     Ta có:    1 17 16  − − − −   − +     x x  x x x   lim g ( x ) = lim = x →− x →−   3  −  − +   −   x x  x    đường thẳng y = lim− g ( x ) = lim− x →0 x →0 (x tiệm cận ngang ( C ) ) − x − − x x − 17 x + 16 ( )( ) x − 3x + − x ( x − ) = − Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh  đường thẳng x = tiệm cận đứng ( C ) lim − g ( x ) = ( x → 1− ) lim ( x → 1− (x ) ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 − x − x − x x − 17 x + 16 ( x − 3x2 + x − 3x − ) = −  đường thẳng x = − tiệm cận đứng ( C ) Vậy M = 2; m = nên M = m Câu 14: Chọn A Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = f ( x ) = Ta có ( x + − 1) ( ( ( 2x − 3) )( x + −1 x2 + 2x − 4x2 + x + + 2x )  x + = 1  x = −1 x+2 =1     x = −3 4x + x + + 2x =    x   x + x + = −2 x x + =  x = −4  ) Suy tập xác định hàm số y = f ( x ) là: D = ( −; −4 )   2; + ) lim − y = lim − +) x →( −4 ) x →( −4 ) ( x − ) ( −x + )( −x − ) ( x + x + − x ) = lim ( ) ( −x − 3) ( x + ) ( 2x − 3) −x + ( 4x + x + − 2x ) = lim = + ( ) ( x + 3) −x − Suy đường thẳng x = −4 tiệm cận đứng ( C ) ( 2x − 3) ( x + − 1) ( x2 + 2x − x2 + x + + x ) x → −4 − x → −4 −  3 −  1+ −  ( x − ) x + x − = lim  x  x x +) lim y = lim = x →+ x →+ ( x + 1) x2 + x + + x x→+  +   + + +   x   x x2   ) ( ( x − ) x + x − = lim ( x − ) lim y = lim ( −x − 3) ( 4x + x + + 2x ) +) x →− x →− x →−     − + + − 2   − + −   x x  x x    = + = lim ( x − )   x →−   4   − − +    x x        tiệm cận ngang ( C ) Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Suy đường thẳng y = Câu 15: Chọn C 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh x2 + 2x − ( 4x2 + x + − 2x ( − x − )( x + ) ) Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số 1 −2 + x −2 x+2 x x x =0 Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = f ( x ) ; lim y = lim = lim 2 x →+ x →+ x →+ x ( x − 2)  2 1 − x    Suy ( C ) nhận đường thẳng y = đường tiệm cận ngang lim y = lim x →− x →− ( ) x+1 x + x + + x = lim x →− 4x + x + − 2x 1+ = lim x →− − 4+ x 1 + −2 x x2 =− Suy ( C ) nhận đường thẳng y = − tiệm cận ngang x4 − ( x + ) x2 − x + x3 + 2x2 + 4x + lim+ y = lim+ = lim = lim = + 2 x→2 x→2 x → 2+ x → 2+ x ( x − ) x2 + x + x( x − 2) x ( x − ) x2 + x + ( ( ) ) Suy ( C ) nhận đường thẳng x = tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Câu 16: Chọn C Ta có 20 x + 14 x + + ( 14 x + 11) x + = (1)  350 x2 + 245x + 315 35 + (14 x + 11) x + = 2  35   35  35 1225 315 35   14 x +  +  14 x +  x2 + + x2 + + x2 + 2x2 + + =0   16 8   ( )  35 35  315 35   14 x + + 2x2 +  + x2 + 2x2 + + = (2) 4 8   Nhận thấy phương trình (2) vơ nghiệm nên phương trình (1) vơ nghiệm Do 20 x + 14 x + − ( 14 x + 11) x = x4 − 56 x3 + 118 x − 5x − 40 ( 20x +1 = ) 2 = ( ( x − ) x − 12 x − y= ( x − ) ( x − 12 x + m )  y = f ( x) =  20 x ( x − ) ( x − 12 x − )  x2 − 12 x + m ) 20 x + 14 x + + ( 14 x + 11) x + Khi hàm số ) 20 x + 14 x + + ( 14 x + 11) x + 20 x2 + 14 x + + (14 x + 11) x2 + ( + 14 x + − ( 14 x + 11) x + 2 + 14 x + + (14 x + 11) x +    20 x2 + 14 x + + (14 x + 11) x2 +   ( x − ) x − 12 x −  ( ) Hàm số y = f ( x ) có TXĐ D =   14  \ 2;    Dễ thấy để đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng phương trình x − 12 x + m = ( 1) phải có hai ba nghiệm 2;  14 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 + x2 =  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Do đó, (1) phải có hai nghiệm  14 , suy m = −5 Do S = −5 Vậy tổng giá trị S −5 Câu 17: Chọn C Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận ngang y = −5, y =  Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có hai đường tiệm cận ngang y = −5 + m , y = + m Do đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có đường tiệm cận ngang hai đường thẳng y = −5 + m , y = + m đối xứng qua trục Ox  −5 + m + + m =  m = Câu 18: Chọn D Trường hợp 1: lim f ( x ) = x →+  lim  x  x →+   b 1  lim x2  a + − − − +  x →+ x x x  Suy lim  x x →+   ( ) ax + bx − − x − x +  =   =   a − =  a = Thay lại ta ( ) x + bx − − x − x +  =  (  lim  x x + bx − − ( x − 1) + ( x − 1) − x − x + x →+     ( b + 12 ) x3 − 6x2  lim  x →+  x + bx − + ( x − 1) x + bx − + ( x − 1)2  ) ( ) = 45   + = 2 x − + x − x +  ( )  −3x   −3 −3 x = Do lim  lim f ( x ) = nên x →+  x →+  4  ( x − 1) + x − x +    lim  x →+   ( x + bx − ) ( b + 12 ) x + ( x − 1)    phải hữu han 3 x + bx − + ( x − 1)   − 6x2 Do ( b + 12 ) =  b = −12 thay lại ta   lim  x →+     −1 = 2 3 3 x − 12 x − + ( x − 1) x − 12 x − + ( x − 1)   Thay lai lim f ( x ) = − không thỏa mãn x →+ 5 Trường hợp 2: Xét lim f ( x ) =  lim  x ax + bx − − x − x +  =   x →− x →−   4 ( ) −6 x (  b 1  lim x2  a + − + − +  x →− x x x  17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  =   ) Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số Suy a + =  a = −8 Thay lại ta lim  x  x →−  (  lim x  x →−     lim  x →−   ( ) −8 x + bx − − x − x +  =  ( 3 ) −8 x + bx2 − + ( x − 1) − ( x − 1) − x − x +  =  −8 x + bx − ) ( b − 12 ) x − ( x − 1) + 6x2 −8 x + bx − + ( x − 1)   − = ( 2x − 1) − x2 − x +   −3x   −3x  = − lim f ( x ) = Do lim  x →−  x →−  4  ( x − 1) − x − x +    nên lim  x →−   ( −8 x + bx − ) ( b − 12 ) x + ( x − 1)    hữu han −8 x + bx − + ( x − 1)   + 6x2 Do ( b − 12 ) =  b = 12 thay lại ta   lim  x →−     = 2 3 3 −8 x + 12 x − + ( x − 1) −8 x + 12 x − + ( x − 1)   Từ suy lim f ( x ) = thỏa mãn Vậy ta a + b =  ( 3; ) x →− ) ( 6x2 Câu 19: Chọn C  f ( x) =  x  Điều kiện:  Xét phương trình: f ( x ) − f ( x ) =    f ( x ) − f ( x )   f ( x ) =  x = −1 Từ đồ thị  phương trình f ( x ) =   x = x = −1 không tiệm cận đứng đk x  x = nghiệm kép tử số có nghiệm x =  x = đường tiệm cận đứng x = a  Từ đồ thị  phương trình f ( x ) =   x =  x = b (b  2) x = a khơng tiệm cận đứng (vì x  ) x = 1, x = b hai đường tiệm cận đứng Vậy tổng số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) Câu 20: Chọn C lim y = 0, lim y = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 0, m x →− x →+ Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh Do đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  phương trình x − 2mx + = có hai nghiệm phân biệt khác  m  m −             m2  5 m   m      m  −2 Câu 21: Chọn B 1 − x x Ta có lim y = lim = x → x → 2m m − 2m − 1− + x x2 Nên đồ thị hàm số ln có đường tiệm cận ngang y = Do để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận phương trình: x − 2mx + m − 2m − = có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt có nghiệm  m = −3  2m + =  m = −3  m  −       m = −1 Khi  2m +   m = −     m − 4m − =  m =      m = Vậy S = −3; − 1;5 Nên tập S có phần tử Câu 22: Chọn A  f ( x)   Điều kiện  f ( x )    x − 2mx + m +  Nếu f ( x )   x  −2 x = Nếu f ( x ) =   ( x = nghiệm kép)  x = −1  x = −2 Nếu f ( x ) =   ( x = nghiệm kép) x =  x −1 a ( x + 2) ( x + 1) a ( x + )( x − 1) Khi g ( x ) = = ( a  0) 2 a ( x − )( x + 1) ( x − 2mx + m + ) a ( x − )( x + 1) ( x − 2mx + m + ) Ta có lim g ( x ) = , nên hàm số có tiện cận ngang y = x →+ lim g ( x ) =  , nên hàm số có tiện cận đứng x = x→2 lim g ( x ) =  , nên hàm số có tiện cận đứng x = −1 x →−1 Để hàm số g ( x ) có đường tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang) Thì phương trình h ( x ) = x − 2mx + m + = có nghiệm phân biệt lớn −2 x  −1;1; 2 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số   m  −1  m − m −  m     5 m +  m−   −  m  −1   m  −2    m  −  m  m +      m3 m  −1 3 − m     6 − 3m  m  m  Do m có giá trị nguyên m thuộc khoảng ( −2019; 2020 )  '   ah( x ) h ( −2 )  S   −2  2  h ( −1)   h (1)   h ( )  Vậy có 2016 giá trị nguyên m thuộc khoảng ( −2019; 2020 ) 4;5;6 ; 2019 Câu 23: x   x   Điều kiện:  x −    f ( x ) + f ( x )   f x +3f x  ( )  ( ) x = ( L)  Ta có ( x − 3)  f ( x ) + f ( x )  =   f ( x ) = Dựa vào đồ thị ta có  f x = −3  ( )  x = x1  ( −1;0 )  f ( x) =   x = x2  ( 0;1) (loại x3  ), có tiệm cân đứng x = x1 , x = x2  x = x  2; + ( )   x = x4 , x4  f ( x) = −3   , có tiệm cận đứng x = x4 (L) x = Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20