Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 I PHẦN ĐỀ BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho M  1; 2;1 điểm hai đường thẳng x  y 1 z  x 1 y  z    ;  :   1 1  Đường thẳng qua M , đồng thời vng góc với 1  có phương trình 1 : x 1 y  z 1   B  x  y 2 z 3   D x 1 y  z    A x y z   C  A  3;3;1 B  0; 2;1 trình đường thẳng liên quan đến góc khoảng cách Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm , mặt phẳng  P  : x  y  z  0 Đường thẳng d nằm  P  cho điểm d cách hai điểm A , B có phương trình  x t  x 2t    y 7  3t  y 7  3t  z 2t  z t A  B  Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng C  x t   y 7  3t  z 2t   x 1  t  d :  y 1  z t  D mặt phẳng  x  t   y 7  3t  z 2t   P  : z 0 Đường  P  góc 45 Gọi thẳng  vng góc với đường thẳng d hợp với mặt phẳng  u  1; a; b  vectơ phương đường thẳng  Tính 2a  b A  Câu 4: B D Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm I (1;1;1); A(  1; 2;3); B(3; 4;1) Viết phương trình đường thẳng  biết  qua I , đồng thời tổng khoảng cách từ A B đến  đạt giá trị lớn x y z x y z     1 1 A B x y z   2 C Câu 5: C x y z   3 4 D P : x  y  z  0  Q  : x  y  z  0 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng   , x y 1 z    1 Đường thẳng  cách hai mặt phẳng  P   Q  , đường thẳng đồng thời vng góc cắt đường thẳng d có phương trình là: d: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz A Câu 6:  x  15  2t   y 11  5t  z   6t  B  15 x   t  11   y   5t    z   3t C   x  15  t   y 11  5t  z   3t  29   x   t   y 4  5t  z   3t  D  A 3;  1;1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , gọi d qua  , nằm mặt phẳng  P : x  y  z  0 , đồng thời tạo với  : x y z   2 góc 45 Phương trình đường thẳng d Câu 7: A  x 3  t   y   t  z 1  C  x 3  t   y   t  z 1   x 3  7t   y   8t  z 1  15t  B  x 3  7t   y   8t  z 1  15t  D  x 3  7t   y   8t  z   15t  Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x y z   1 ,  x 2  t  d :  y 4  3t  z   t  d điểm M (1 ; ;  2) Gọi  đường thẳng qua điểm M cắt điểm K (a ; b ; c) Tính 2 d giá trị biểu thức P a  2b  3c khoảng cách hai đường thẳng  lớn 67 378 51 298 P P P P 11 11 A B C D Câu 8:    : x  y  z  0 , điểm M  3;1;1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng đường thẳng phẳng A Câu 9:  x 1  d :  y 4  3t  z   2t  Gọi ∆ đường thẳng qua điểm M  3;1;1 , nằm mặt    tạo với đường thẳng d  x 3   :  y 1  t  z 1  2t  góc nhỏ Lập phương trình ∆  x 8  5t  x 3  2t  x   5t     :  y   4t  :  y 1  t  :  y 5  4t  z 2  t  z 1  2t  z   2t    B C D A 1;  1;  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d qua điểm  , song song với  P : 2x  y  z  0 , đồng thời tạo với đường thẳng Phương trình đường thẳng d  : x 1 y  z   2 góc lớn Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh x  y 1 z    5 A Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x  y 1 z    5 B x  y 1 z     D x  y 1 z    C Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : x 1 y z 1    hai điểm A  1; 2;  1 , B  3;  1;   Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ Phương trình đường thẳng d là:  x 1  t  x   3t  x 1  t  x 3  2t      y 2  y t  y 2t  y 2  2t  z   t  z 1  t  z   t  z   t A  B  C  D  M   2;  2;1 , A  1; 2;   Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm đường thẳng x 1 y  z    2  Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé     u  2; 2;  1 u  1;7;  1 u  1;0;  u  3; 4;   A B C D d: Câu 12: Trong không  P : 2x  y  gian z  0 Oxyz , cho hai điểm A  1;  1;  3 ; B  0;1;  1 Đường thẳng  song song với  P , mặt phẳng cắt hai đường thẳng x  y z 5 x y  z 1   d2 :   2 ;  tạo với đường thẳng AB góc lớn có phương trình x 2 y 3 z  x  y 1 z      2 1 A  B x 2 y 3 z  x y  z 1     1 2 C D  d1 : Câu 13: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng d:  P  : 2x  y  z  0 , đường thẳng x 1 y  z   1 điểm A  2; 2;  1 Gọi  đường thẳng qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng x2 y 2 z   20 A  P  Phương trình đường thẳng x2 y 2 z   3 2 C | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh x  y  z 1   20 B x  y  z 1   3 2 D  Hình học tọa độ Oxyz Câu 14: Trong hệ tọa độ    : Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  y  3z  0 đường thẳng x  y  z 1   1 Dựng đường thẳng qua M  1;  2;1 , nằm mặt phẳng ( P) tạo với đường thẳng    góc 30 Biết có hai đường thẳng thỏa mãn u cầu tốn có 9; a; b   29; c; d  vectơ phương   Tính a  b  c  d A B  C  D II PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  1; 2;1 hai đường thẳng x  y 1 z  x 1 y  z    ;  :   1 1  Đường thẳng qua M , đồng thời vng góc với 1  có phương trình 1 : x 1 y  z 1 x 1 y  z      B  A x y z x  y 2 z 3     D C  Lời giải Chọn C  Gọi u vectơ phương đường thẳng  cần tìm   u Gọi , u2 vectơ phương đường thẳng 1;     u  u1 , u2    1;2;3    ;    Vì nên Suy phương trình đường thẳng  x y z   1 Câu 2: A 3;3;1 B  0; 2;1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm  , mặt phẳng  P  : x  y  z  0 Đường thẳng d nằm  P  cho điểm d cách hai điểm A , B có phương trình  x t  x 2t    y 7  3t  y 7  3t  z 2t  z t A  B   x t   y 7  3t  z 2t C  Lời giải  x  t   y 7  3t  z 2t D  Chọn A Q Do điểm d cách hai điểm A , B suy d nằm mặt phẳng   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023   AB  I  ; ;1   2  ; BA  3;1;0  vectơ pháp tuyến mặt phẳng Gọi I trung điểm 3   x    y  0  3x  y  0  Q  , phương trình mặt phẳng  Q     x  y  z  0  d  P    Q  Suy hay phương trình đường thẳng d có dạng  3x  y  0  z 2t  Đặt x t , ta  y 7  3t Vậy phương trình tham số đường thẳng d Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  x 1  t  d :  y 1  z t  mặt phẳng  x t   y 7  3t  z 2t   P  : z 0 Đường  P  góc 45 Gọi thẳng  vng góc với đường thẳng d hợp với mặt phẳng  u  1; a; b  A  vectơ phương đường thẳng  Tính 2a  b B C Lời giải D Chọn D  ud  1;0;1  P  có vectơ pháp d Đường thẳng có vectơ phương Mặt phẳng  nP  0;0;1 tuyến Theo giả thiết, ta có:     d  u ud 0  1.1  0.a  1.b 0  b   u  1; a;  1      u , n  45 ,  P   45   u, nP 135   P  1.0  a.0  1.1 1   cos  u , nP      a  2  a 0 2 a  2.1 Từ đó, ta 2a  b 1 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm I (1;1;1); A(  1; 2;3); B(3; 4;1) Viết phương trình đường thẳng  biết  qua I , đồng thời tổng khoảng cách từ A B đến  đạt giá trị lớn x y z x y z     1 B 1 A x y z x y z     2 D 3 4 C Lời giải Chọn C  u Gọi  vectơ phương đường thẳng  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz   u  AI  Ta có  qua I nên Dấu " " xảy AI   hay   d B ,  BI Dấu " " xảy BI   hay u  BI Tương tự     d A,   d B ,   AI  BI u  AI u Do Dấu " " xảy    BI    u  AI ; BI  Vì tổng khoảng cách từ A B đến  đạt giá trị lớn   AI  2;  1;   ; BI   2;  3;  với   u   6; 4;   u  3;  2;  Do   , ta chọn   x y z   2 Vậy phương trình đường thẳng  là: d A,   AI Câu 5: P : x  y  z  0  Q  : x  y  z  0 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng   , x y 1 z    1 Đường thẳng  cách hai mặt phẳng  P   Q  , đường thẳng đồng thời vng góc cắt đường thẳng d có phương trình là: d: A  x  15  2t   y 11  5t  z   6t  B  x  15  t   y 11  5t  z   3t   15 x   t  11   y   5t    z   3t C  29   x   t   y 4  5t  z   3t  D  Lời giải Chọn D  Q  : x  y  2z  0  Viết lại mặt phẳng R P Q Gọi   mặt phẳng song song cách hai mặt phẳng     1 R : x  y  z   R : x  y  z  0     R Phương trình mặt phẳng   là: ⇔    R  K d   R   Ycbt:   d K ⇒ Khi đó, tọa độ K nghiệm hệ: 15   x   11   x y 1 z  y          x  y  z  0 z    4 ⇔   u  ud      u  n u  n ; u  1;5;3  R    Ta lại có:  Do  có vectơ phương là:    R  d  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 15   x   t  11   y   5t    z   3t Vậy phương trình đường thẳng  là:  29   x   t   :  y 4  5t  z   3t  29   M  ; 4;  1   t   ⇒  Cho ⇒ Câu 6: A 3;  1;1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , gọi d qua  , nằm mặt phẳng  P  : x  y  z  0 thẳng d  x 3  t   y   t  z 1 A  C  x 3  t   y   t  z 1  , đồng thời tạo với B  :  x 3  7t   y   8t  z 1  15t   x 3  7t   y   8t  z 1  15t  x y z   2 góc 45 Phương trình đường D Lời giải  x 3  7t   y   8t  z   15t  Chọn C  a  1; 2;    có vectơ phương   a  a; b; c   d có vectơ phương d  P nP  1;  1;1   có vectơ pháp tuyến   d   P   ad  nP  b a  c  1  , d  450  cos  , d  cos 450   a  2b  2c 2 a b c  2 2 2   a  2b  2c  9  a  b  c   2  c 0 14c  30ac 0    1   , ta có:  15a  7c 0  Từ  Với c 0 , chọn a b 1 , phương trình đường thẳng d | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  x 3  t   y   t  z 1  Hình học tọa độ Oxyz  Với 15a  7c 0 , chọn a 7  c  15; b  , phương trình đường thẳng d  x 3  7t   y   8t  z 1  15t  Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x y z   1 ,  x 2  t  d :  y 4  3t  z   t  d điểm M (1 ; ;  2) Gọi  đường thẳng qua điểm M cắt điểm K (a ; b ; c) Tính 2 d giá trị biểu thức P a  2b  3c khoảng cách hai đường thẳng  lớn 67 378 51 298 P P P P 11 11 A B C D Lời giải Chọn A d2 M F K E H d1 d  Gọi H hình chiếu M lên ; đường thẳng qua M vng góc với HK d EF đoạn vng góc chung  Ta có: EF  MH max EF  MH Vậy  qua M vng góc với MH Tọa độ H nghiệm hệ: Gọi  x 5 x  y  z        y 1  1  x  y  z  0   z 4 suy H (5;1; 4)  K  d  K (2  t ;  3t;   t )  MK (t  1; 3t  1; t )    5   MH  MK MH 0  4(t  1)  2(3 t  1)  t 0  t   K  ; ;    2 2 5 67  a  , b  , c   P  2 2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Câu 8: Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 SGD Quảng Bình-L1-2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  z  0 , điểm M  3;1;1 đường thẳng  x 1  d :  y 4  3t  z   2t  Gọi ∆ đường thẳng M  3;1;1    tạo với đường thẳng d góc nhỏ qua điểm , nằm mặt phẳng Lập phương trình ∆  x 3  x 8  5t  x 3  2t  x   5t      :  y 1  t  :  y   4t  :  y 1  t  :  y 5  4t  z 1  2t  z 2  t  z 1  2t  z   2t     A B C D Lời giải Chọn B  A 1; 4;  u  0;3;     Ta có đường thẳng d qua điểm nhận làm véc tơ phương     : x  y  z  0 nhận n  1;1;  1 làm véc tơ pháp tuyến Mặt phẳng M  3;1;1     : x  y  z  0 Nhận thấy    , cắt d song song với  Khi đó: Gọi  đường thẳng nằm  d ;    d ;    d ;     d ;    hình chiếu Gọi K d     d    Suy ra: +) K  d  K  1;  3t;   2t  +) K         3t      2t   0  t   K  1;1;  1 Gọi H hình chiếu điểm  x 1  t   AH :  y 4  t   z   t   H  AH     suy ra: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh A  1; 4;  3    Phương trình đường thẳng Hình học tọa độ Oxyz H  AH  H   t ;  t ;   t  +) +) H        t     t      t   0  3t    t    4  H   ; ;   3 3   1   HK  ;  ;  a  3  phương với  5;  4;1 véc tơ phương   M 3;1;1 a  5;  4;1   Khi đường thẳng  qua điểm nhận làm véc tơ phương  x 3  5t   :  y 1  4t  z 1  t N  8;  3;     Phương trình đường thẳng Lại nhận thấy Suy đáp án B Câu 9: A 1;  1;  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d qua điểm  , song song với  P : 2x  y  z  0 , đồng thời tạo với đường thẳng Phương trình đường thẳng d x  y 1 z  x  y 1 z      5 B 5 A  : x 1 y  z   2 góc lớn x  y 1 z  x  y 1 z      D 4 C Lời giải Chọn C  2 u  a; b; c   a  b  c 0  Gọi VTCP đường thẳng d  P n  2;  1;  1 VTPT mặt phẳng    a  1;  2;   VTCP đường thẳng  d //  P  n Vì nên u 0  2a  b  c 0  c 2a  b 0  90  Gọi  góc tạo hai đường thẳng d ;    u.a a  2b  2c 5a  4b cos       u a a  b  c 5a  4ab  2b Ta có 25a  40ab  16b 2 cos   45a  36ab  18b Trường hợp b 0 ta có Trường hợp b 0 ta có f t  Xét hàm cos   cos   25t  40t  16 a t 45t  36t 18 với b 25t  40t  16 45t  36t  18 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  t   900t  540t  144 f '  t  0   f ' t    t   45t  36t 18 ;  Bảng biến thiên  4 f  t   f   0  5 Dựa vào bảng biến thiên ta có 0 ;90  Ta có hàm số y cos x hàm số nghịch biến  góc hai đường thẳng d  lớn cos  nhỏ  a  b  5a 4b Chọn a 4  b 5; c 3  u  4;5;3 Suy VTCP đường thẳng d x  y 1 z    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : x 1 y z 1    hai điểm A  1; 2;  1 , B  3;  1;   Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng  cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ Phương trình đường thẳng d là:  x 1  t  x   3t  x 1  t  x 3  2t      y 2  y t  y 2t  y 2  2t  z   t  z 1  t  z   t  z   t A  B  C  D  Lời giải Chọn A x 1 y z 1   :   M   1; 0;  1 u  2; 3;  1  Đường thẳng qua điểm nhận làm véc tơ phương  P Gọi mặt phẳng chứa  A Khi  u  2; 3;  1  P  AM   2;  2;0  không phương có giá song song chứa Suy véc tơ pháp tuyến mặt phẳng     P  n( P )  u , AM    2; 2;  Phương trình mặt phẳng  P  : x  y  z 0 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz  P  d , ta ln có BH BK suy Gọi K , H hình chiếu vng góc B , BH nhỏ H trùng K  P  có phương trình: Đường thẳng qua B vng góc với  x 3  s   y   s  s     z   s   x 3  s  y   s   s   K  0; 2;     z   s  x  y  z 0 Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình:    A  1; 2;  1 KA  1; 0;1 KA  1;0;1 d Ta có , đường thẳng qua nhận làm véc tơ phương có phương trình  x 1  t   y 2  z   t   t   M   2;  2;1 , A  1; 2;   Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm đường thẳng x 1 y  z    2  Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé     u  2; 2;  1 u  1;7;  1 u  1;0;  u  3; 4;   A B C D Lời giải Chọn C d: Xét  P  P   d mặt phẳng qua M Mặt phẳng trình:  P qua  P  : 2x  y  M   2;  2;1 z  0 có vectơ pháp tuyến   nP ud  2; 2;  1 nên có phương  P   Khi đó: AK  AH const nên AK Gọi H , K hình chiếu A lên A  1, 2,   K  H Đường thẳng AH qua có vectơ phương  ud  2; 2;  1 Vì Lại nên AH có phương trình tham số: H  AH  H   2t ;  2t ;   t   x 1  2t   y 2  2t  z   t  H   P     2t     2t      t   0  t   H   3;  2;  1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh    u  HM  1; 0;  Vậy Câu 12: Trong không  P : 2x  y  gian z  0 Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Oxyz , cho hai điểm A  1;  1;  3 ; B  0;1;  1 Đường thẳng  song song với  P , mặt phẳng cắt hai đường thẳng x  y z 5 x y  z 1   d2 :   2 ;  tạo với đường thẳng AB góc lớn có phương trình x 2 y 3 z  x  y 1 z      2 B 1 A  d1 : x 2 y 3 z  x y  z 1     1 D  2 C Lời giải Chọn C  AB   1; 2;  Ta có: M   d1 ;  N    d Gọi   M   2t1 ; t1 ;   2t1   d1 ; N  t2 ;1  2t ;   t   d Khi đó:  MN  t2  2t1  3; 2t2  t1  1;  t2  2t1   Suy ra:  P n  2; 2;  1 Mặt phẳng   có véctơ pháp tuyến P   P  MN  nP  1   Theo giả thiết: Đường thẳng  song song với AB;   90  MN   AB     max Đường thẳng  tạo với AB góc lớn   MN / /  nP ; AB   6;  3;6  / /  2;  1;  Từ     suy 11  t2  2t1  2t2  t1   t2  2t1  t1     1  t2  N  2;  3;1 Suy ra:   N  2;  3;1 u  2;  1;    Phương trình đường thẳng  qua có véc tơ phương  là: x 2 y 3 z    1 Câu 13: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng d:  P  : 2x  y  z  0 , đường thẳng x 1 y  z   1 điểm A  2; 2;  1 Gọi  đường thẳng qua điểm A , cắt đường P thẳng d song song với mặt phẳng   Phương trình đường thẳng  x2 y 2 z x  y  z 1     20 B 20 A x2 y 2 z x  y  z 1     3  D 3 2 C Lời giải 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Chọn B  M d    M    t ;1  t ; 2t   AM    t ;   t ;1  2t  Gọi      //  P   AM  n P   2; 2;  1  AM n P  0 Vì     t      t   1  2t  0  3   t   AM  ; ;10  2  Khi đường thẳng  qua điểm x  y  z 1  :   20 Vậy có vectơ phương Oxyz , cho mặt phẳng Câu 14: Trong hệ tọa độ    : A  2; 2;  1  P : x   u  3;7; 20  y  3z  0 đường thẳng x  y  z 1   1 Dựng đường thẳng qua M  1;  2;1 , nằm mặt phẳng ( P) tạo với đường thẳng    góc 30 Biết có hai đường thẳng thỏa mãn u cầu tốn có 9; a; b   29; c; d  vectơ phương   Tính a  b  c  d A B  C  D Lời giải Chọn B    : x  y  z 1    n 1 có vectơ phương  2;1;1 Gọi  1     góc 30 Suy đường thẳng qua M  1;  2;1 , nằm mặt phẳng ( P) tạo với đường thẳng  u  m; n; t   1  có vectơ phương  n.u 2m  n  t   cos30  n 2 2 ( u m n t )  2m   m  3t   t m   m  3t   t  2 ( m  n  t 0 ) m  n  3t 0  3m  4t  18 2m  6mt  10t 2  t 0   12mt  116t 0    3m  29t  t 0  m n   1  có vectơ phương u1  9;9;    u 3m  29t  3n  20t    có vectơ phương   29;  20;3 Vậy a  b  c  d 9   20   Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023