án Phan Nhật Linh Câu Câu Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  x ; y  thỏa mãn x 2020 x  x  y 3 y Có cặp số nguyên A 2020 B 1010 C D  x ; y  thỏa mãn x , y   5;37  Có cặp số nguyên x y2  y  x   y2  y  A 32 B D 33 C Câu x cos y Có số nguyên dương x thỏa mãn 2.2  x  sin y 2 A B C D  x; y  thỏa mãn x 2020 3x 1  x  3 y  y Có cặp số nguyên 2020 2021 C 2022 D 2023 liên quanA.đến hàm đặc B.trừng Câu Có giá trị nguyên dương tham số m nhỏ 2018 để phương trình Câu   log m  m  x 2 x A 2017 Câu Có có nghiệm thực? B 2018 cặp số nguyên D 2015 C 2016  x; y thỏa  y 100 D 21 x, y   3; 48 mãn x  x y  12 x y  19 y  3x  y 0 A 10 Câu Có B 100 cặp số nguyên C 20  x; y thỏa mãn ( x  2) y   y  x  x  (1) A 46 Câu B C 45 D 4 x 1 log ( )  x 4 sin ycos y  sin 2 y Có số nguyên dương x thỏa mãn A Vô số B C D Câu x y Cho số thực x, y thỏa mãn   y  x Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y 1 P P P P 4 A B C D Câu 10 Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x, y 1 x, y khơng đồng thời  x y  log     x  1  y  1  0   xy  Tìm giá trị nhỏ P với P 2 x  y A B C D  x; y  3  y  y   x  log  x  1  thỏa mãn  x 2020 Câu 11 Có cặp số nguyên ? | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit A Câu 12 Cho C B f  x  2020 x  2020 x m0 Gọi D số lớn số nguyên m thỏa  m  f  m  1  f   2020    2020  Giá trị m0 A m0 2018 B m0 2019 C m0 2020  D m0 2021  x3   y 3xy  x  xy  0 x , y Câu 13 Cho hai số thực thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3  y  xy   x  1  x  y    36 A 36  296 15 B 36  296 15   36 9 C D x 1 log 9 y  y  x y  y x  1 y 1 Câu 14 Cho x, y số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức  x ; y  thỏa mãn bất đẳng thức  1 Biết y 1000 , hỏi có cặp số nguyên dương A 1501100 B 1501300 C 1501400 D 1501500 Câu 15 Cho số thực x, y không âm thỏa mãn : P 1   x  y  x x log  14   y   y   Giá trị biểu thức A B A B C D y Câu 16 Cho x, y số thực thỏa mãn log (2 x  2)  x  y 8 (*) Biết  x 2018 , số cặp x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức (*) C  2a a , b , c Câu 17 Cho số thực thỏa mãn b c D    ( a  1)  (b  1)2  (c  1) 4 a b c Đặt 3a  2b  c a  b  c gọi S tập hợp gồm giá trị nguyên P Số phần tử tập S A Vô số B C D P log ( x +1) = Câu 18 Phương trình có nghiệm A 11 B a b c d abcd Câu 19 Cho 3, 4, 5, 6 Tính A log B log C 101 D 99 D 1 P   x y  z x y z Câu 20 Cho x, y, z ba số thực khác thỏa mãn 5 10 Tính A  B C D C x log x log y log9  x  y  Câu 21 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn Giá trị tỉ số y Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh  1 A Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1  1 1 B C D a a x 1 b y  b Giá trị nhỏ biểu Câu 22 Cho x, y, a, b số dương thỏa mãn a  b  2 thức P  x  y  y  13 B A  C D a b c Câu 23 Cho biết a, b, c số thực dương thỏa mãn 2018 = 2019 = 2020 Hãy tính giá trị a b P= + b c biểu thức B log 2018 2019 + log 2019 2020 D log 2018 2019.2020 A log 2018 2019 C log 2018 2020 P  xy thuộc Câu 24 Cho x, y dương thỏa mãn: log3 ( x  y ) 1  log Giá trị lớn khoảng A 1   ;3  B     1;1 C  5;10  D   2;0  z x y Câu 25 Cho a, b, c  số thực dương x, y, z thỏa mãn a b c  abc Tìm giá trị lớn 1 P    z2 x y A  Câu 26 Cho x  0; y  B 20202019( x A P 4 Câu 27 Cho x  y 0 thỏa mãn C   y  4)  4x  y ( x  2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y  x ? B P 2 3x  y 2 xy   D C P 1 D P 3   xy  xy Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y 50  A B C D   b  a 1 Câu 28 Xét số thực a , b thỏa mãn điều kiện Tim giá trị nhỏ biểu thức  3b   P log a    12 log b a    a P  3 A P 13 B C P  D P 9 x y z Câu 29 Xét số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a  1, b  1, c  a b c  abc Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z thuộc tập hợp ? 2;  A  4;  B  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 6;8  C  8;10  D  Mũ Logarit x y Câu 30 Xét số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a  , b  a b  ab Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Pmin  m m n với n phân số tối giản n   , giá trị biểu thức T m  n có giá trị bao nhiêu? A 79 B 25 C 34 D 85 xy  3x  y  log ( y  3)( x  1)  0 x   1, y   x , y x 1 Câu 31 Cho số thực thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức P x  y  10 thuộc tập đây: A  1;3 B  3;  C  4; 5 D  5;  Câu 32 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn  a  b  0, 25 Giá trị nhỏ biểu thức 1  P log a  b    log a b 4  b thuộc tập hợp đây?  11   4;  B   0;1 A  Câu 33 Cho x, y 5   ;4 C    5  1;  D   xy 4 y  Giá trị nhỏ số thực dương thỏa mãn  2x  y  x  2y  ln x y a  ln b Giá trị tích a.b A 45 B 81 C 108 P D 115 x y Câu 34 Xét số thực dương a, b, x, y thỏa mãn  a b a a b  ab Giá trị lớn biều thức P  x  y thuộc tập hợp đây? 3;  4;  C  D  Câu 35 Cho hai số thực a, b thỏa mãn log a + log b =1 Giá trị lớn biểu thức A  1;  B P = log a + log b A log + log  2; 3 ( log + log 2) C B log + log D log + log 2x  y y log16 x log 20 y log 25 T x , y Tính giá trị x Câu 36 Cho số thực dương thỏa mãn 3 T T T  T  3 A B C D q Câu 37 Cho p q số thực dương cho: log p log12 q log16 ( p  q) Tìm giá trị p A B 1 1 1 C D Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 |     Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 38 Cho x, y hai số nguyên không âm thỏa mãn bao nhiêu? A B log  x  y  log3  x  y  C Hỏi tổng x  y D Câu 39 Cho số thực  x 8 Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức x 128  log P log x  log 2 x A ab 5 Câu 40 Có bao a, b Tính ab B ab 35 nhiêu cặp số nguyên C ab   x; y  , x 2020 D ab 35 thỏa mãn phương trình log x  log  x  y  1  log y A 2020 Câu 41 Biết B 1010 a  A P  khoảng  A 2020  b ,  a, b   Tính giá trị biểu thức P a  b B P 6 Câu 42 Cho phương trình D 1011  x  x 1  log   6 x  x x   hai nghiệm phương trình x1 , x2  x1  x2  x1  x2  C 2019 log  cot x  log  cos x  D P 4 C P  Phương trình có nghiệm 0; 2020  B 2019 C 1009 D 1010 x log  x  y   y y 2020 Câu 43 Có giá trị nguyên y thỏa mãn Biết A B C D Câu 44 Cho bất phương trình log10 x  log x  m log100 x với m tham số thực Có 1;   giá trị m ngun dương để bất phương trình có nghiệm thuộc  A B C vô số D   log  x  y  log x  y Câu 45 Cho x, y số thực thỏa mãn Tập giá trị biểu thức P  x3  y có chứa giá trị nguyên A B C D Vô số 2 x y 2.2 y  x ? Câu 46 Có số nguyên x cho tồn số thực dương y thỏa mãn A B C D   m  1 log 21  x     m   log    4m  0 x    m 2 Câu 47 Tìm để phương trình có nghiệm 5   ;  3m A B m   | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C m   1 D  m  Mũ Logarit Câu 48 Phương trình log  cot x  log  cos x  A 2020 nghiệm Câu 49 Có 0; 2020  có nghiệm khoảng  ? B 1010 nghiệm số nguyên x log ( x  y  3) log  x  y  x  y   C 2018 nghiệm cho tồn số ? B A Câu 50 Cho x, y thỏa mãn 2 x  y 1 D 1009 nghiệm thực y thỏa mãn C x  y 1 3 5 x  y 1 5  x  y 1 D Vô số 2  x  y 1  x  y 1 3 Tìm giá trị lớn 2 biểu thức P 2 x  y  x  y  A B  C D   log x  y log  x  y  y x Câu 51 Có số nguyên cho tồn số thực thỏa mãn B A C D Vơ số y Câu 52 Có cặp số ( x; y ) thuộc đoạn [1;2020] thỏa mãn y số nguyên x  ln x  y  e ? A 2021 B 2020 Câu 53 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn C x D 10 log x  log y  log  x  y  Giá trị nhỏ biểu thức S  x  y thuộc tập hợp đây? 5   ;  A  4  0;  B 4   ;  D  5  ;  C BẢNG ĐÁP ÁN 1D 2C 3D 4B 5A 6D 7B 8B 9D 10B 11D 12A 13B 14D 15C 16C 17D 18D 19D 20C 21A 22D 23B 24B 25C 26D 27A 28D 29A 30D 31B 32B 33B 34B 35B 36A 37D 38A 39B 40B 41B 42D 43A 44A 45A 46B 47D 48B 49B 50D 51B 52C 53B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Chọn D Ta có: x  x  y 3 y  x  x 3 y   y  2 t  0 (1) Xét hàm f (t ) t  t ,  ' 0;    Ta có: f (t ) 1  2t  0, t   f (t ) hàm đồng biến  Vì vậy, (1)  f ( x)  f  y   x 3 y y Theo giả thiết, x 2020  3 2020   y log 2020 y   0;1; 2;3; 4;5; 6  x   1;3;9; 27 ;81; 243; 729 Vì y nguyên nên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x; y Vậy có cặp  thỏa mãn Câu Chọn C x  y  y  x   y  y   x  x  y  y   y  y  (2) Ta có: 0;   Xét hàm số f (t ) t  t khoảng  ta có: f '(t ) 1  t  0, t   f (t ) 0;   đồng biến  (2)  f ( x)  f  y  y    x  y  y  Do x , y   5;37  2 nên  y  y  37  ( y  1) 36   y  6   y 5 y   5;37  x 37   5;37  Do y  nên y 5 , với giá trị y cho ta giá trị thoả đề Câu x; y Vậy có cặp số nguyên  thoả toán Chọn D x cos Có 2.2  x  sin y 2 y  x 1  x  2 cos y  cos x (3) t t y  f  t 0;   Đặt f (t ) 2  t  f '(t ) 2 ln   0, t   Hàm số đồng biến  Vì phương trình (3)  f  x  1  f  cos x   x  cos x  x  sin x  x 0 Mà x số ngun dương Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Câu Chọn B Ta có: 3x 1  x  3 y  y  f  x  1  f  y  Xét hàm số Do f  t  3t  t  f  t  3t.ln   0, t  R f  x  1  f  y   x   y  x  y  Vì x 2020   y  2020   y 2021 y   1; 2;3; ; 2021 Mà y  nên x; y Câu  thỏa mãn yêu cầu toán Vậy có 2021 cặp số ngun  Chọn A Phương trình cho tương đương với phương trình :   x x 2x x m  m  x 2 x  m   m  2   1 Ta có m  x 0 , 2 x  Xét hàm đặc trưng f  t  t  t  0;    f  t  2t  0, t   0;    | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit  f  f  t  đồng biến khoảng  0;    1   m  2x  f  2x   m  x 2 x  m 22 x  x x  m  g  a  a  a Đặt a 2 , a  Ta có Phương trình cho có nghiệm m   1; 2; 3; ; 2017 Câu  m  mà m nguyên dương nhỏ 2018 nên Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D 2 2 3 Ta có x  x y  12 x y  19 y  x  y 0  x  x y  12 x y  y  27 y  3x  y 0  x  x y 12 x y  y  x  y 27 y  y  ( x  y )3  3( x  y )  y   3.3 y  2 ' Xét hàm f (t ) t  3t Ta có f (t ) 3t   0, t    f (t ) hàm đồng biến  Vì vậy, (2)  f ( x  y )  f  y   x  y 3 y  x  y Theo giả thiết:  y 100   x 100   10  x 10 x    10;  9;  8; 8;9;10 Vì x nguyên nên Với x xác định giá trị y  x x; y Vậy có 21 cặp  thỏa mãn toán Câu Chọn B (1)  ( x  2) ( y  1)   y 1 ( x  2)   ( y  1)  y 1  f (t )  Xét hàm số f '(t )  2t 1 t ( x  2)   x ( y  1) 1 ( x  2)   y 1 ( x  2) (2) t 1 t khoảng  0;   ta có:  0, t   f (t ) 0;   nghịch biến  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 (2)  f ( y  1)  f (( x  2) )  y  ( x  2)  y ( x  2)  Do x, y   3; 48 nên ( x  2)  48   x   49  x  7   x 9 x   4;5;6;7;8;9 Do x   nên , với giá trị x cho ta giá trị y thoả mãn đề x; y Câu  thoả đề Vậy có cặp số nguyên  Chọn B 4 4 x 1 log ( )  x 4 sin ycos y  sin 2 y  log  x  1  x  4 sin ycos y  sin 2 y Ta có: y cos y )  4sin y.cos y  y  cos y )  4sin y.cos y   sin y  cos y  y cos y )   sin y  cos y   log  x  1  x 1 2 2(sin  log  x  1  x  2 2(sin  log  x  1  x  22(sin (2) t t Xét hàm số f (t ) 2  t  f '(t ) 2 ln   0, t   hàm số y  f (t ) đồng biến  0;  Vì (2)  f  log ( x  1)   f  2(sin y  cos y )   x  2 2(sin sin y  cos y 1  Ta có: y cos y ) 1  sin y   ;1 4   nên 2(sin y  cos y ) 2   x  4   x 3 Mà Câu x số nguyên dương  x  {1, 2,3} Vậy có giá trị x thỏa mãn Chọn D Ta có: 2 x  y  y  x  x  x 2 y  y  f  x   f  y  Xét hàm số t t f  t  2  t  f  t  2 ln   0, t  R , với f  t  2t  t Do f  x   f  y   x  y P  x  y x  x 8 1 P x y 4, 16 đạt Vậy giá trị lớn biểu thức Câu 10 Chọn B xy  0;  xy 0  x  y  0;  xy  Khi  xy Từ điều kiện đề  xy  log     x  1  y  1  0  log  x  y    x  y  log   xy     xy    xy  Xét hàm số g  t  log t  t ,  t   có   0, t  t.ln 0;   hàm số đồng biến khoảng  1 x 1 x  P 2 x   1  x  y 1  xy  y  1 x 1 x Vậy phương trình Suy g t g  t   | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  1 Mũ Logarit Xét hàm số f  x  2 x  2 1 x f  x  2   x  1 x  với x   0;1 Ta có  x 0 f  x  0   f   1; f  1 2  f ( x) 1  0;1  x  Câu 11 Chọn D Ta có:  y  y   x  log  x  1   3.9 y  y  x  3log  x 1   32 y 1   y  1  x  1  3log  x  1 Xét hàm số f  t  3t  3t Suy hàm số Do  * f  t Ta có: f  t  3t.ln   0, t  * liên tục đồng biến   f  y  1  f  log  x  1   y  log  x  1 y1 Vì  x 2020 nên 3  2020   x 32 y 1  log 2021  1 y  2 y   0;1; 2 Do y nguyên nên   x; y     2;  ;  26;1 ;  242;   x; y  có cặp số nguyên  thỏa mãn Câu 12 Chọn A f   x  2020 x  2020 x Ta có  f  x    2020 x  2020 x   f   x   f  x  f x nên   hàm số lẻ nên m  m    f  m  1  f   2020    f  m  1  f    2020   2020   2020  (*) f  x  2020 x  2020  x hàm số đồng biến ¡ m 2019.2020  2020  m   *  m   2020 2021 Vậy m0 2018 Nên Lại có Câu 13 Chọn B   x3   y 3xy  x  3xy  0  27 x  x  xy xy   3 xy  0     3x    x   3xy   xy   * Xét hàm số f  t  t  2t  *  f  x   f  có f t f  t  3t   t   nên hàm   đồng biến  Do  3xy   x  xy   x 0 x 3 xy  Với x 0 không thỏa mãn Với x  P x  y  xy  3 x   x  y   x  y  xy  x   x  y       Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x   1, y    x   0, y   Với điều kiện: Ta có: xy  3x  y  log ( y  3)( x  1)  0  log ( y  3)  log ( x  1)  ( y  3)  0 x 1 x 1  log ( y  3)  ( y  3) log Xét hàm số: f (t ) log t  t (t  0), f '(t )  khoảng (0; ) Do đó: Khi đó: 1  x  x 1 (1)  y   P x  y  10  x  3( Dấu '' '' xảy  x1  (1)   0, t  t ln Suy f (t ) đồng biến x 1  3)  10 x   2 x 1 x 1  ( x  1)  x   x 1 , (vì x   ) Vậy: P 2 Câu 32 Chọn B Đặt log b a t đó: log b  log b a  log b b 1  t  (0;1) Với điều kiện: 1 1 1   b  b  0  b  b  log a  b   log a b  log a  b    4 4 4 t   Ta có: 1 a b  1   log b a  1  t  1 1  P log a  b    log a b   4 t 2(1  t )  b b Do 2 f (t )   f '(t )   t 2(1  t ) với t  (0;1) có t 2(1  t ) Xét hàm f '(t ) 0  x  t  (0;1) Với ta có: log a b  2 2   lim f (t ) lim    lim f (t ) lim      t t t1 t1 t 2(1  t ) t 2(1  t )     Do: ; f (t )   t 2(1  t ) với t  (0;1) ta có: Lập BBT hàm số Dựa vào BBT ta tìm Min f (t )  t Vậy giá trị nhỏ P 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit Câu 33 Chọn B Ta có: xy 4 y   y  xy  2 xy  y 2 xy nên:  2x  y  x  x 2y y P  ln 12   ln    x y x y  Xét t Đặt x x 2  4 y y x P  f  t  12   ln  t   y ,  t 4 Suy : t 2  t  6t  12  t  3  21 f  t    t 2. t  2 t 2. t  2 t t 2 Ta có: 2   t  1   t  3  t  3  21  0, t   0; 4 Với  t 4 nên  f t 0 f t Do đó:   Hàm số   nghịch biến (0; 4] 27 P  f (4) 12   ln  P   ln Suy ra: Hay x  x 2  4   y 27 Pmin   ln  xy 1  y  2 Vậy Dấu xảy  27 a  ; b 6 Khi : nên ab 81 f  t   f   ,  t  (0; 4] Câu 34 Chọn B 1 a x  ab  x    log a b  , b y  ab  y    log b a  3 Ta có 1 P  x  y    log a b    log b a   log a b  3 log a b t 1  a b a  log a b 3  t   1; 3  P    log b  t a 3 t Đặt , t f (t )    3 t ; với t   1; 3 Xét hàm số 1 f '(t )   ; f '(t ) 0  t f  1  f  3  ; f Câu 35 t    t  Do t   1; 3  t      32  max f (t )   1;3 8 Vậy giá trị lớn P Chọn B Biến đởi u cầu tốn ta được: P = log a + log b = f ( t) = Xét hàm số log3 b log a log a 1- log a + = + log log log log log t + log 1- t ị f Â( t ) = log t log - t Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 18 Phan Nhật Linh f ¢( t ) = Û Ta có Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1- t = log t Û 1- t = t log 22 Û t = + log 22 ổ ữ ữ ị f ( t) f ỗ = log + log Þ P = log + log ỗ ữ ỗ ố1 + log ÷ ø Câu 36 Chọn A   x 16t    y 20t  2x  y 2x  y  25t log16 x log 20 y log 25 t  t    Đặt   t     N   4  2t t  t 2.16t  20t 5 5 t t t t      L   25  2.16  20 3.25        0     4  4 t t y  20         Vậy x  16    Câu 37 Chọn D Đặt: t log p log12 q log16 ( p  q)  t   t  p 9t  t q 12  p  q 16t  ta có 2t  4  4      t t t  3  3   12  16 Từ suy  1 x x  x  0   t  q  4 1 x     x  p  3  Đặt phương trình trở thành: q 1 1  x Vậy p Do x  nên suy Câu 38 Chọn A log  x  y  log  x  y  t Điều kiện: x  y 0 Đặt:  2t  3t x    x  y 2     t t t  x  y 3  y 2   t 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Mũ Logarit Ta có y 0  2t  3t 0  2t 3t  t 0 0  2t 1 2t  3t t t       1   x 1; x    x 1  t    Khi  Với x 1  t 0  y 0 Vậy x  y 1 Câu 39 Chọn B x 128  log P log x  log 2 x l og x  log 128 log x   log x   log x log x  log x  t P  2t  0;3 t  log x (0  t  3) t 1 Đặt Ta có: t 1 P'   P ' 0     t 1  t  , Bảng biến thiên: Giá trị lớn biểu thức b  , Giá trị lớn biểu thức a  Khi ab 35 Câu 40 Chọn B Điều kiện: Ta có x   y  x  y   log x  log  x  y  1  log y  log x  x  y  1  log y  log x  x  y  log 2 y  x 2 y    x  xy 2 y   x  y   x  y  0  x  y  L  y   1; 2; 1010 Xét x 2 y , mà x 2020  y 2020  y 1010 , kết hợp điều kiện ta có  x; y  thỏa mãn tốn Vậy có 1010 giá trị y , tương ứng với có 1010 cặp số Câu 41 Chọn B x 0    x  Điều kiện Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 20